第十五章电路方程的矩阵形式 本章教学重点 (1)图的矩阵表示 关联矩阵A单连支回路矩阵B单树支割集矩阵Q (2)矩阵形式的KCL、KVL (3)结点电压方程的建立
第十五章 电路方程的矩阵形式 本章教学重点 （1）图的矩阵表示 关联矩阵A 单连支回路矩阵B 单树支割集矩阵Q （2）矩阵形式的 KCL、KVL （3）结点电压方程的建立
15-1割集 割集Q是连通图G中一个支路的集合,具有下述性质: (1)把Q中全部支路移去,将图分成两个分离部分; (2)保留Q中的一条支路,其余都移去,G还是连通的。 4 6 Q1:{2,5,4,6}
15-1 割集 (1) 把Q 中全部支路移去，将图分成两个分离部分； (2)保留Q 中的一条支路，其余都移去， G还是连通的。 ① 4 3 1 2 ② ④ 5 ③ 6 ① 1 ② 3 ④ ③ 4 2 5 6 Q1: { 2 , 5 , 4 , 6 } 割集Q是连通图G中一个支路的集合，具有下述性质：
①人5 (@K5 6 Q2:{2,3,6} Q3:{1,4,6}Q4:{1,5,2} 由于KCL适用于任何一个闭合面,对于每一个割集来说, 组成割集的所有支路的电流应满足KCL。 对于一个连通图,可有多个割集,可以列出与割集数相等 的KCL方程。这些方程彼此之间并不独立。 借助于“树”来确定独立割集
① 4 3 1 2 ② ④ 5 ③ 6 ① 4 3 1 2 ② ④ 5 ③ 6 ① 4 3 1 2 ② ④ 5 ③ 6 Q4 Q : { 1 , 5 , 2 } 3 Q : { 1 , 4，6} 2: { 2 , 3 , 6 } 由于KCL适用于任何一个闭合面，对于每一个割集来说， 组成割集的所有支路的电流应满足KCL。 对于一个连通图，可有多个割集，可以列出与割集数相等 的KCL方程。这些方程彼此之间并不独立。 借助于“树”来确定独立割集
单树支割集(基本割集) 连支集合不能构成割集。即使所有连支都去掉,剩下 的树支仍然构成连通图,与割集的定义矛盾。 由一条树支和部分连支可以构成割集。对于一个有n个 结点和b条支路组成的电路,树支数有(n-1)个,因此可 以构成(n-1)单树支割集。称之为基本割集组。 2 2 ③)①5 ① 4 3 ③6 Q1:{2,3,6} Q2:{3,5,4Q3:{1,5,3,6}
单树支割集（基本割集） ① 4 3 1 2 ② ④ 5 ③ 6 ① 4 3 1 2 ② ④ 5 ③ 6 Q3 Q : { 1 , 5 ,3 , 6 } 2: { 3 , 5 , 4} ① 4 3 1 2 ② ④ 5 ③ 6 Q1: { 2 , 3 , 6 } 连支集合不能构成割集。即使所有连支都去掉，剩下 的树支仍然构成连通图，与割集的定义矛盾。 由一条树支和部分连支可以构成割集。对于一个有n个 结点和b条支路组成的电路，树支数有（n-1）个，因此可 以构成（n-1）单树支割集。称之为基本割集组
§15-2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 关联矩阵A 一条支路连接于某两个结点,则称该支路与这两个结点 相关联。 用矩阵形式描述结点和支路的关联性质 关联矩阵 A iine b 结点数支路数 an=1有向支路j与结点i关联且背离结点i {a=-1有向支路卢与结点i关联且指向结点i an=0支路与诰结点无关
§15- 2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 一. 关联矩阵A 用矩阵形式描述结点和支路的关联性质 aij aij = 1 有向支路 j 与结点 i 关联且背离结点 i aij= -1 有向支路 j与结点 i 关联且指向结点 i aij =0 j 支路与i结点无关 关联矩阵 Aa ={aij}n b 结点数 支路数 一条支路连接于某两个结点，则称该支路与这两个结点 相关联
结支123456 2 00-10 ① 5 234 1-10010 01100-1 00-11-10 ④ 结又123456 结支123456 1100-101 00-101 A 2-1-10010 A=2-1-10010 301100-1 301100-1 400-1-10 每一支路,连接在两个结称A为降阶关联矩阵(n-1)xb 点上,必然要背离一个结表征独立结点与支路的关联性质 点,指向另一结点。 设④为参考结点
6 4 5 3 2 1 ① ② ④ ③ Aa = 1 2 3 4 结 支 1 2 3 4 5 6 1 0 0 -1 0 1 -1 -1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 -1 0 0 -1 1 -1 0 Aa = 1 2 3 4 结 支 1 2 3 4 5 6 1 -1 0 0 0 -1 1 0 0 0 1 -1 -1 0 0 1 0 1 0 -1 1 0 -1 0 每一支路，连接在两个结 点上，必然要背离一个结 点，指向另一结点。 A= -1 -1 0 0 1 0 1 2 3 结 支 1 2 3 4 5 6 1 0 0 -1 0 1 0 1 1 0 0 -1 称A为降阶关联矩阵 (n-1)b ， 表征独立结点与支路的关联性质 设④为参考结点
2 123456 ① 5 A=2-1-10010 301100-1 ④ 设: L 支路电流 支路电压42结点电压「u nI l u] n2 4 3456 n 3 5 6
设: 6 4 5 3 2 1 ① ② ④ ③ A= -1 -1 0 0 1 0 1 2 3 结 支 1 2 3 4 5 6 1 0 0 -1 0 1 0 1 1 0 0 -1 6 5 4 3 2 1 u u u u u u u 支路电压 6 5 4 3 2 1 i i i i i i i 支路电流 3 2 1 n n n n u u u u 结点电压
2 00-10 ① 5x8A=-1-100 0 01100-1 4 -4+「结点的∑i(6 4-2+i5=结点2的=0 +i2-」结点3的∑ 矩阵形式的 KCL Ai=0
矩阵形式的KCL Ai = 2 3 6 1 2 5 1 4 6 i i i i i i i i i -1 -1 0 0 1 0 1 0 0 -1 0 1 0 1 1 0 0 -1 6 5 4 3 2 1 i i i i i i 6 4 5 3 2 1 ① ② ④ ③ A i = 0 0 i i i 结点 的 结点 的 结点 的 3 2 1
矩阵形式KVL 2 结支123456 00-101 ① 5 A=2-1-100 0 301100-1 1-10 nI 2 u1 6 0-11 u+u u2 001 u 100 2 nI 2 us 010 nI u6 10 结点电压 支路电压 矩阵形式的KVLA1u,=u 上式表明电路中的各支路电压可以由该支路关联的两个结点的结 点电压表示,这正是结点电压法的基本思想
矩阵形式KVL 1 3 2 1 3 2 3 1 2 n n n n n n n n n u u u u u u u u u u u u u u u 6 5 4 3 2 1 3 2 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 n n n u u u un u T A 6 4 5 3 2 1 ① ② ④ ③ 结点电压 支路电压 A= -1 -1 0 0 1 0 1 2 3 结 支 1 2 3 4 5 6 1 0 0 -1 0 1 0 1 1 0 0 -1 矩阵形式的KVL 上式表明电路中的各支路电压可以由该支路关联的两个结点的结 点电压表示，这正是结点电压法的基本思想
二.基本回路矩阵B 用矩阵形式描述基本回路和支路的关联性质 4 5 B=b)Ixb 基本回路数支路数 约定: 1.回路的绕行方向取连支电流方向 2.支路排列顺序为先树支后连支。 支路连在回路沖且与回路联,方向一致 bn={-1支路在回路冲且与回路送联,方向相反 0支路j不在回路沖
二. 基本回路矩阵B 2. 支路排列顺序为先树支后连支。 1 支路j在回路i中且与回路i关联，方向一致 -1 支路j在回路i中且与回路i关联，方向相反 0 支路j 不在回路i中 bij= 1 ２ ３ ６ ４ ５ 约定： 1. 回路的绕行方向取连支电流方向。 用矩阵形式描述基本回路和支路的关联性质 B = { b i j} l b 基本回路数 支路数
