大学文科数学 第一章微积分 1.2极限
第一章 微积分 1.2 极限
大蔻文科数学 2.2极限 主要教学内容： >数列极限 >函数极限 >极限的性质 >函数的连续性 》两个重要极限 >无穷小量与无穷大量 >极限应用举例 回⊙回☒
上页 下页 返回 结束 2.2 极限 主要教学内容： ➢ 数列极限 ➢ 函数极限 ➢ 极限的性质 ➢ 函数的连续性 ➢ 两个重要极限 ➢ 无穷小量与无穷大量 ➢ 极限应用举例
士堂文科数学 2.2极限 数列的极限 例1《庄子》中记载着庄子朋友惠施名言：“一尺之 捶，日取其半，万世不竭 .n 日子序号n1 2 3 4 5 ...n 截取量fn)1/2 1/41/81/16 1/32 1/2n 通项1/2无限接近0，但又永远不会等于0. 正如《庄子》所说：“万世不竭” 哲学辩证的思想：有限和无限的统一 数学的思想：数列极限 o⊙回☒
上页 下页 返回 结束 数列的极限 例1 《庄子》中记载着庄子朋友惠施名言：“ 一尺之 捶，日取其半，万世不竭．” 通项1/2n无限接近0，但又永远不会等于0． 正如《庄子》所说：“万世不竭”． 哲学辩证的思想：有限和无限的统一 数学的思想：数列极限 日子序号 n 1 2 3 4 5 … n … 截取量 f(n) 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 … 1/2n … 2.2 极限
太堂文科数堂 2.2极限 例2刘徽运用割圆术算出圆周率π. 东汉科学家张衡：元=3.16；东汉天文学家王蕃：π=3.156 三国时代数学家刘徽：割圆术，用圆的内接正边形周长逼 近圆周.无限增大时，其周长无限接近圆周πd,算出 元=3.1416。南北朝数学家祖冲之：用刘微割圆术计算11 次，分割圆为12288边形，π=3.14159265，成为此后千 年世界上最准确的圆周率。 ⊙o☒
上页 下页 返回 结束 例2刘徽运用割圆术算出圆周率． 东汉科学家张衡：=3.16;东汉天文学家王蕃：=3.156 三国时代数学家刘徽：割圆术，用圆的内接正n边形周长逼 近圆周．n无限增大时，其周长无限接近圆周d，算出 =3.1416。南北朝数学家祖冲之：用刘徽割圆术计算11 次，分割圆为12288边形，=3.14159265 ，成为此后千 年世界上最准确的圆周率。 2.2 极限
太兰文科数学 2.2极限 看几个实例：观察在一定条件下，数列的变化趋势 数列：按一定次序排列的一列数。 124“m→0 1111(-1)” 2’48'16… 2”,→0 3456n+2 1234…, 。…>1 n 1,-1,1,-1,…,(-1)”1…无极限 -1,-3,-5,-7,…,(2n-1),…无极限 回o可☒
上页 下页 返回 结束 看几个实例：观察在一定条件下，数列的变化趋势 数列：按一定次序排列的一列数。 2.2 极限 , 0 1 , , 4 1 , 3 1 , 2 1 1, → n , 0 2 ( 1) , , 16 1 , 8 1 , 4 1 , 2 1 → − − − n n , 1 2 , , 4 6 , 3 5 , 2 4 , 1 3 → + n n 1,−1,1,−1, ,(−1) n+1 无极限 −1，−3，−5，−7，，(2n −1),无极限
太堂文科教学 2.2极很 数列与函数的关系 x,=f(m),它的定义域是全体正整数 用Mathematica在平面上画出数列的散点图 Table [f[n](n min max step} 利用ListPlot[]和Table[]语句作图，如画出{n/(n+1)} ListPlot[Table[n/(n+1),(n,1,100)]] 0.98 80 3 上页下页返回结束
上页 下页 返回 结束 数列与函数的关系 用Mathematica在平面上画出数列的散点图 Table [f[n]，{n，min，max，step} ] 利用ListPlot[ ]和Table[ ]语句作图，如画出{n/(n+1)} ListPlot[Table[ n/(n+1),{n,1,100}]] 2.2 极限 x f (n) n = ,它的定义域是全体正整数 20 40 60 80 100 0.92 0.94 0.96 0.98
太堂文剂数学 2.2极限 数列极限的定义 给定数列{x},当项数无限增大时（记作 n→o),通项X,无限地接近常数A,则称常数 A为数列x的极限，记作imx同时说数列 {X收敛到A.否则称数列X发散 注：“读作“趋于无穷大时x的极限是 A”,也简化读作"limitx等于A” 思考：如何理解“无限接近”？ o⊙o☒
上页 下页 返回 结束 数列极限的定义 给定数列{xn }，当项数n无限增大时（记作 n→），通项xn无限地接近常数A，则称常数 A为数列{xn }的极限，记作 ,同时说数列 {xn }收敛到A．否则称数列{xn }发散． 注:“ ”读作“n趋于无穷大时xn的极限是 A”，也简化读作“limit xn等于A”． 思考：如何理解“无限接近”？ 2.2 极限
太堂文科数堂 2.2极限 例3求 lim 2+(-1) 2子m 解.因+() =1+)* 2 2 其中〔~1通无限增大时无限地逼近0， 2 0.1 故 1+-限地逼近1 +S1 20 40.6090100 因此m 0.0 N→四 01 (-1)/n的图像 回⊙回☒
上页 下页 返回 结束 例3 求 解．因 其中 随n无限增大时无限地逼近0， 故 无限地逼近1． 因此 =1． 2.2 极限 20 40 60 80 100 -0.1 -0.05 0.05 0.1 (-1)n/n的图像
太学文科夔学 2.2极限 例4等比数列的极限 解.数列：a,ao9,a0g2,…,a0q,… 称为等比数列，9是其公比.例如，例1中每日截取 量形成的数列，从惠施名言得出它是0=1/2， 9=1/2的等比数列. 若ao≠0，则有 0, a1 ▣⊙⊙☒
上页 下页 返回 结束 例4 等比数列的极限 解．数列：a0，a0q，a0q2 ，…，a0qn ，… 称为等比数列，q是其公比．例如，例1中每日截取 量形成的数列，从惠施名言得出它是a0=1/2， q=1/2 的等比数列． 若a00，则有 2.2 极限
太堂文科濑堂 2.2极限 例如：考察{aoq 1 1111 a=29=2 2'2222420,→0 a=2,q=1 2,2,2,2,…,2,…→2 a=3,9=3 3,32,33,34,…,3”,…→0极限不存在 0.25 3000 0.2 2500 015 0.1 0.05 500 贵思
上页 下页 返回 结束 例如：考察{a0qn} 2.2极限 , 0 2 1 , , 2 1 , 2 1 , 2 1 , 2 1 2 3 4 n → 2 1 , 2 1 a0 = q = a0 = 2,q =1 2,2,2,2, ,2, → 2 0 a q = = 3, 3 3,3 ,3 ,3 , ,3 , → 2 3 4 n 极限不存在