大学文科徽学 第一章微积分 1.7积分应用
第一章微积分 1.7积分应用
大学文剂徽学 2.7积分应用 主要教学内容： >*变化率的反问题（不讲) >用定积分计算面积 >*定积分一般应用举例（不讲) >*可分离变量的微分方程（不讲) >*几种数学模型（不讲) ▣⊙⊙☒
上页 下页 返回 结束 主要教学内容： ➢ *变化率的反问题（不讲） ➢ 用定积分计算面积 ➢ *定积分一般应用举例（不讲） ➢ *可分离变量的微分方程（不讲） ➢ *几种数学模型（不讲） 2.7 积分应用
大学文科数学 2.7积分应用 §2.7.2用定积分计算面积 1.由直线x=a,x=b(a0(<0), 围成的曲边梯形D的面积 2.由直线x=a,x=b(a<b)与曲线y=f(x),y=g(x) (f(x)≥g(x))围成图形D的面积 3.由直线y=C,y=d与曲线x=p(y),x=(y)围成图形 D的面积 4.一般图形D的面积的计算 o⊙o☒
上页 下页 返回 结束 §2.7.2 用定积分计算面积 1.由直线 x=a, x=b (a0(<0), 围成的曲边梯形D的面积 2. 由直线 x=a, x=b (a<b)与曲线y=f (x), y=g (x) ( ) 围成图形D的面积 2.7 积分应用 3. 由直线y=c, y=d与曲线 围成图形 D的面积 4. 一般图形D的面积的计算 x y x y = = ( ), ( ) f (x) g(x)
大学文科数学 2.7积分应用 1.由直线x=a,x=b(a0(0所围曲边梯形的面积为A,则 dA=fx)dr∫心fx)dr 回⊙▣☒
上页 下页 返回 结束 2.7 积分应用 1.由直线 x=a, x=b (a0(<0),围成的边 梯形D的面积 （1）设直线 x轴与曲线 所围曲边梯形的面积为A，则 O a b y f x = ( ) x x dx + x D dA = f (x)dx ( )d . b a A f x x =
大学文科数学 2.7积分应用 (2)设直线x=a,x=b(a0,于是由(1)有 y=-f(x) A=∫-fx)d =-J"f(x)dx. (利用图形关于x轴的对称性，即得结果。 =f(x) ▣⊙⊙☒
上页 下页 返回 结束 2.7 积分应用 （2）设直线 ( )d ( )d . b a b a A f x x f x x = − = − x轴与曲线 所围曲边梯形D 的面积为A，则 （ 利用图形关于x 轴的对称性，即得结果。） 于是由（1）有 O a b y f x = − ( ) x y f x = ( ) D
大掌文科数学 2.7积分应用 2. 由直线x=a,x=b(a<b)与曲线y=fx),y=g(x,f(x)≥g(x) 围成图形D的面积A y=f(x) (1)若g(x)则 D A=∫fax)dr-∫2gx)d y=g(x) -ff(x)-g(x)ldx o a xx+dx b x 如右图所示。 o⊙o☒
上页 下页 返回 结束 2.7 积分应用 2. 由直线 x=a, x=b (a<b)与曲线y=f (x), y=g (x), 围成图形D的面积 A [ ( ) g( )]d . ( )d g( )d f x x x A f x x x x b a b a b a = − = − （1）若 g(x) ,则 0 如右图所示。 O a b y f x = ( ) x y = g(x) x x + dxf (x) g(x) D
大学文科数学 2.7积分应用 (2)若g(x)不成立，则将x轴向下平移充分大的k个单位 至轴使得图形D位于轴方，如下图所示。于是 4=[Lf(x)-g(x)]dx y=f(x) 公式17.1A=fx)-g(xd O a y=gx) h x 注：此时积分变量为x。 回⊙▣☒
上页 下页 返回 结束 2.7 积分应用 A [ f (x) g(x)]dx. b a = − （2）若 不成立,则将x 轴向下平移充分大的k 个单位 至 轴 x ,使得图形 1 D 位于 轴上方，如下图所示。于是 1 x 公式1.7.1 A [ f (x) g(x)]dx. b a = − g(x) 0 O a b y f x = ( ) y = g(x) x D -k x1 注：此时积分变量为x
大学文科藏学 2.7积分应用 3.由直线y=C,y=d与曲线x=p(y),x=w(y)围成图形D 的面积A y x=W(y)》 D 公式1.7.2A=[p(y)-w(y]dy x=p(y) 注：此时积分变量为y。 o⊙⊙☒
上页 下页 返回 结束 2.7 积分应用 3. 由直线y=c, y=d与曲线 围成图形D 的面积 A x =( y) , x = ( y) c d x = ( y) O x D x = ( y) 公式1.7.2 A y y d y d c [( ) ( )] = − 注：此时积分变量为y
大学文料数学 2.7积分应用 4.一般图形D的面积的计算 一般图形的面积计算可以通过与 x轴或y轴平行的直线分割D成前面 所列的图形，然后再进行计算总和。 右图用x=a,x=b和x=c将整个图形 分为三个部分D,D2,D3。 ▣⊙⊙☒
上页 下页 返回 结束 2.7 积分应用 4. 一般图形D的面积的计算 O x D3 D1 D2 a b c 一般图形的面积计算可以通过与 x 轴或y 轴平行的直线分割D成前面 所列的图形，然后再进行计算总和。 右图用x=a,x=b和x=c将整个图形 1 2 3 分为三个部分 D , D , D
大学文科数学 2.7积分应用 例1.求椭圆 等+所围图形的面积。 解：由对称性，椭圆的面积是第一象限 图形面积的4倍，而这部分图形可看成 xx+dx 由x0.x=a与y=0,y=61 围成，因此由公式1.7.1有 -2abi(+co2)dr=2ab)-zab. 特别地，当a=b时，即得圆的面积公式A=πa。 回⊙▣☒
上页 下页 返回 结束 例1. 求椭圆 所围图形的面积 . 2.7 积分应用 2 A = a a b o x y xx +d x 解 y : 由对称性，椭圆的面积是第一象限 图形面积的4倍, 而这部分图形可看成 2 2 0, 0, 1 x x x a y y b a 由 = = = = − 与 0) . 2 2 (1 cos 2 )d 2 ( d 4 cos dsin 4 4 1 d 2 0 2 0 sin 0 2 2 0 2 2 ab t t ab ab a x x ab t t a b x a x A b x a t a a = + = + = = − = − = 令 = 特别地，当a=b 时，即得圆的面积公式 。 2 A = a 围成，因此由公式1.7.1有