第二章数学模型 2.3 传递函数 用拉氏变换求解微分方程，虽思路清晰，简单实 用，但如果系统参数改变，特征方程及其解都会随之 改变。要了解参数变化对系统动态响应的影响，就 必须多次计算，方程阶次愈高，计算工作量越大， 故引入另一种数模一传递函数。利用传递函数不必 求解微分方程就可研究初始条件为零的系统在输入 信号作用下的动态过程。它是控制理论中的重要概 念和工具，也是经典理论中两大分支一根轨迹和频 率响应的基础。 German:
2.3 传 递 函 数 用拉氏变换求解微分方程，虽思路清晰,简单实 用,但如果系统参数改变，特征方程及其解都会随之 改变。要了解参数变化对系统动态响应的影响，就 必须多次计算，方程阶次愈高，计算工作量越大， 故引入另一种数模—传递函数。利用传递函数不必 求解微分方程就可研究初始条件为零的系统在输入 信号作用下的动态过程。它是控制理论中的重要概 念和工具，也是经典理论中两大分支—根轨迹和频 率响应的基础。 第二章 数学模型
第二章数学模型 2.3 传递函数 2.3.1传递函数 定义性质 三种表达式 2.3.2典型环节及其传递函数 Germany
2.3 传 递 函 数 第二章 数学模型 2.3.1 传递函数 2.3.2 典型环节及其传递函数 定义 性质 三种表达式
第二章数学模型 2.3.1传递函数与脉冲响应函数 1、传递函数的定义：以RC网络为例。 RC +w。=uy 设u.(0)=0 dt 则有RCU,(s)+U.(s)=I,(s) 即(RCs+1)U,(S)=U,(s .U.(s)= 0,(S) RCs+1 其中U,(s)随m,()形式而变， 1 而RCs+完全由网络的结构及参数确定。 令G(s)= U.(s) U,(s) RCs+1 则有U,(s)=G(s)U,(s)
2.3.1 传递函数与脉冲响应函数 ur uc R C i c r c u u d t d u R C + = ，设 ( 0 ) = 0 c u 则有 R C s U ( s ) U ( s ) U ( s ) c c r + = ( ) U (s) R C s U s c r 1 1 + = U ( s ) r u (t ) 其中 随 r 形式而变， 而 1 完全由网络的结构及参数确定。 1 RCs + 1 1 + = = U s R C s U s G s r c ( ) ( ) ( ) U ( s ) G ( s )U ( s ) . c r 令 ,则有 = 以 R C 网络为例。 第二章 数学模型 ( RCs 1 )U ( s ) U ( s ) c r 即 + = 1、传递函数的定义：
第二章数学模型 传递函数（续） 若·，(s不变，则U.(s)的特性完全由G(s)的形式与 数值来决定，且G(s)将U,(s)传到了U(s) :,G()反映了系统自身的动态本质，表达了传递信 号的性质和能力，故称它为RC网络的传函。 定义：对于线性定常系统来说，当初始条件为零时， 输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比叫做 系统的传递函数 G(s)= C(s) R(s) G →C R(s) France Germany
定义：对于线性定常系统来说，当初始条件为零时， 输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比叫做 系统的传递函数 。 ( ) ( ) ( ) R s C s G s = R ( s ) G ( s ) C ( s ) 反映了系统自身的动态本质，表达了传递信 号的性质和能力，故称它为RC网络的传函。 数值来决定，且 U ( s ) r U ( s ) c G ( s ) G ( s ) U ( s ) r G ( s ) 若 不变，则 的特性完全由 将 传到了 的形式与 U ( s ). c 传 递 函 数(续) 第二章 数学模型
第二章数学模型 传递函数（续） 传递函数是在零初始条件下定义的，控制 系统的零初始条件有两方面的含义： ①指（©是在t≥0时才作用于系统，在t=0一时， ()及其各阶导数均为零。 ②指)加于系统之前，系统处于稳定的工作状 态，即c(①)及其各阶导数在t=0二时的值也为零。 （(t=0一时系统内部没有能量储存)
传递函数是在零初始条件下定义的，控制 系统的零初始条件有两方面的含义： ①指r(t)是在t ≧0 时才作用于系统，在t = 0－时， r(t)及其各阶导数均为零。 第二章 数学模型 ②指r(t)加于系统之前，系统处于稳定的工作状 态，即c(t)及其各阶导数在t = 0－时的值也为零。 （ t = 0－时系统内部没有能量储存） 传 递 函 数(续)
第二章数学模型 传递函数（续） 设线性定常系统的微分方程一般形式为： d"c(t) de(t) a、dt +1 d"'c(t) dt"-1 a,c(t) dt d@+b, (t) dt m dtm-1 dr(t)br(t) dt 当初始条件为零时有： [aos"+as++ans+anIC(s) =[bos"+bis+bm=is+bmIR(s) German
设线性定常系统的微分方程一般形式为： ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 1 a c t d t d c t a d t d c t a d t d c t a n n n n n n + + + + − − − ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 1 b r t d t d r t b d t d r t b d t d r t b m m m m m m = + + + + − − − 当初始条件为零时有： [ ] ( ) [ ] ( ) b s b s b s b R s a s a s a s a C s m m m m n n n n = + + + + + + + + − + − − 1 1 0 1 1 1 0 1 传 递 函 数(续) 第二章 数学模型
第二章数学模型 传递函数（续） 则G(s)= C(s) bosm+bism+bm=is+bm R(s) aos"ais"+.+anis+an :S=0+j0为复数，.G(s)是复变量s的函数， 故称为复放大系数。 可见：有了微分方程，可以直接写出其传递函数，与 c()有关的项为分母，与)有关的项为分子。 例1，RC网络：微分方程 -+uc u, dt 则传递函数 G(S)= Ts+
是复变量s 的函数， 故称为复放大系数。 s = + j 为复数， G ( s ) n n n n m m m m a s a s a s a b s b s b s b R s C s G s + + + + + + + + = = − − − − 1 1 0 1 1 1 0 1 ( ) ( ) ( ) 则 可见：有了微分方程，可以直接写出其传递函数，与 c(t) 有关的项为分母，与r(t) 有关的项为分子。 c r c u u d t d u 例 T + = 1. RC网络：微分方程 则传递函数 1 1 ( ) + = T s G s 传 递 函 数(续) 第二章 数学模型
第二章数学模型 传递函数（续） 例2.RLC网络：微分方程LC duc e ur dt 1 则传递函数G(s)= LCs2+RCs+1 例3.闭环调速系统。 TG
例3．闭环调速系统。 c r c c u u d t d u R C d t d u L C + + = 2 2 例2.RLC网络：微分方程 1 1 ( ) 2 + + = L C s R C s 则传递函数 G s 传 递 函 数(续) 第二章 数学模型
第二章数学模型 闭环调速系统 系统微分方程： TTm d2@Tm+Kotdo 1+K,d21+K。dt +⊙ K ::)-T+K -(T- 1+Kdt (T。 dM M) dt 由于传函只适用于单输入、单输出情况： France Germany
+ + + + + d t d K T K d t d K Ta T m m 0 0 2 2 0 1 1 ( ) 1 ( ) 1 0 0 c c a m g g M d t d M T K K u d t d u K K + + + − + = 第二章 数学模型 系统微分方程： 闭环调速系统 由于传函只适用于单输入、单输出情况：
第二章数学模型 闭环调速系统 系统传递函数： K (+1) M.=0-→Φ.(S)= 2(s) 1+K U.(s) T72+ Tm+Ko 1+K0 1+K0 s+1 2(s) 1+K (T.s+1) 4g=0-→④u(s)= M.(s) -5+1 1+Ko 1+Ko Germany
+ + + + + + + − = = → = + + + + + + + = = → = 1 1 1 ( 1) 1 ( ) ( ) 0 ( ) 1 1 1 ( 1) 1 ( ) ( ) 0 ( ) 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 s K T K s K T T T s K K M s s u s s K T K s K T T s K K U s s M s a m m a m c g M a a m m c u 系统传递函数： 第二章 数学模型 闭环调速系统