7-3z变换与反变换 一z变换 1z变换的定义 设一离散序列{f(k)},k=0,12,.构成的级数∑f(k)z收敛， n=0 则定义该级数为离散序列{f(k)的z变换。 记作：F(e)=Zf(k】=∑f(K)z
7-3 z变换与反变换 则定义该级数为离散序列 的 变换。 设一离散序列 构成的级数 收敛， f k z f k k f k z n k { ( )} { ( )}, 0,1,2, ( ) 0 + = − = 记作： 一 z变换 F(z) = + = − = 0 ( ) n k f k z 1 z变换的定义 Z[ f (k)]
7-3Z变换与反变换 2z变换的应用背景 采样信号e(t)=∑e(nT)6t-nT)的拉氏变换 n=0 E(s)=L[e'(t】=∑e(nT)-lem n=0 含有关于s的超越函数e",不易进行计算分析 当令z=e时，一z变换与拉氏变换的关系 E(e)=Z[e(nT】=∑e(nT)zM =0
7-3 Z变换与反变换 当令 时, Ts z = e 2 z变换的应用背景 + = − 0 ( ) n n e nT z + = = − 0 * ( ) ( ) ( ) n 采样信号e t e nT t nT 的拉氏变换 含有关于s的超越函数e −nTs ,不易进行计算分析 E(z) = Z[e(nT)] = + = − = = 0 * * ( ) [ ( )] ( ) 1 n nTs E s L e t e nT e —— z变换与拉氏变换的关系
7-3Z变换与反变换 3关于z变换的几个重要问题 (1)只有离散信号才能进行z变换 E(e)=ZIe(t】=ZIe'(t】=Z[e(nT]=∑e(nT)z (2)关于Z[G(s)] g(t)=L[G(s)] 单位脉冲信号6(t) 单位脉冲响应g(t) 传函G(s) 记作 Z[G(s)]=ZL[G(s)]]=Z[g(1)]=Z[g(t)]
7-3 Z变换与反变换 [ ( )] = * Z[e(t)] = Z e t + = − 0 ( ) n n E(z) = Z[e(nT)] = e nT z 3 关于z变换的几个重要问题 （1）只有离散信号才能进行z变换 （2）关于Z[G(s)] 单位脉冲响应g(t) [ ( )] * = Z[g(t)] = Z g t − [ [ ( )]] 1 Z L G s 记作 Z[G(s)] = ( ) [ ( )] 1 g t L G s − = 单位脉冲信号 (t)
7-3 Z变换与反变换 (3) 若f(t)≠f2(t),则一定有ZL(t)】≠ZL(t)] 若f(t)≠f(t),不一定有ZLf(t)]≠Zf(t)] 若F(z)=F(z),一定有f(t)=f乃(t) 但不一定有()=(t)
7-3 Z变换与反变换 ( ) ( ), [ ( )] [ ( )] 1 2 1 2 若f t f t 不一定有Z f t Z f t ( ) ( ), ( ) ( ) * 2 * 1 2 1 若F z = F z 一定有 f t = f t （3） ( ) ( ), [ ( )] [ ( )] 1 2 * 2 * 1 若f t f t 则一定有Z f t Z f t ( ) ( ) 1 2 但不一定有 f t = f t
7-3 Z变换与反变换 二z变换的求法 1级数求和法： 将离散级数(t)展开： f()=∑f(nT)ot-nT) n=0 =f(0)6(t)+f(T)δ(t-T)+f(2T)6(t-2T)+. +f(nT)6(t-nT)+. 则F(z)=ZLf(t)] =f(0)×1+f(T)z+f(2T)z2+.+f(nT)z"+
7-3 Z变换与反变换 1 级数求和法： 将离散级数 ( ) : f * t 展开 = + + ++ + = − − −n f f T z f T z f nT z F z Z f t (0) 1 ( ) (2 ) ( ) ( ) [ ( )] 1 2 则 * = = − 0 * ( ) ( ) ( ) n f t f nT t nT + − + = + − + − + ( ) ( ) (0) ( ) ( ) ( ) (2 ) ( 2 ) f nT t nT f t f T t T f T t T 二 z变换的求法
7-3Z变换与反变换 例1：求单位阶跃1()的Z变换。 解：1()在任何采样点的值均为1，.1(nT)=1 .Z1(t)]=z°+z1+z2+.+z"+ 公比为z;若满足2) z-1 只要知道)在各个采样时刻的数值，即可求得其z 变换。这种级数展开式是开放形式，有无穷多项， 通常不易写成闭合形式，应用少
7-3 Z变换与反变换 解：1(t)在任何采样点的值均为1， Z[1(t)] = z 0 + z −1 + z −2 ++ z −n + −1 公比为 z ；若满足 1 1 − z ，则有： 1(nT) =1 例1：求单位阶跃1(t)的Z变换。 ( 1) 1 1 1 [1( )] 1 − = − = − z z z z Z t 只要知道f(t)在各个采样时刻的数值，即可求得其z 变换。这种级数展开式是开放形式，有无穷多项， 通常不易写成闭合形式， 应用少
7-3 Z变换与反变换 例2：求f(t)=e(a>0)的z变换。 解：f()=f(nT)=eam7 F(z)=1+e-aTz-I+e2aTz2+. 公比为(erz)1,若|earz>1,则有： 1 F(a)=1-(e'2）=z-e7 (z>ea）
7-3 Z变换与反变换 解： anT f t f nT e − ( ) = ( ) = * F(z) =1+ e −aT z −1 + e −2aT z −2 + 例2： ( ) = ( 0) − f t e a 求 at 的z变换。 公比为 ( ) , −1 e z aT 若| e aT z|1,则有： ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 a T a T a T z e z e z e z F z − − − − = − =
7-3 Z变换与反变换 2 部分分式法： 若F(S)= M(s) 则展开为部分分式和的形式为： N(s) A F(S)= 1S-S 4e]=.且Z4e]=4E S-Si Fa)= A,2 i=1 z-e,7
7-3 Z变换与反变换 2 部分分式法： ( ) ( ) ( ) N s M s 若F s = ，则展开为部分分式和的形式为： ( ) , 1 = − = k i i i s s A F s i s t i i s s A L Ae i − [ ] = 且 i si t i si T ； z e A z Z Ae − [ ]= = − = k i s T i i z e A z F z 1 ( )
7-3 Z变换与反变换 例3：求具有F(s)= 的f)的z变换Fz)。 s(s+a) a 解：F(s)= -11 s(s+a)s s+a 则f(t)=1-e F(z)= z-12-ea7 z(1-ea1) 22-(1+ear)z+e7
7-3 Z变换与反变换 例3：求具有 ( ) ( ) s s a a F s + = 的f(t)的z变换 F(z)。 解： , 1 1 ( ) ( ) s s a s s a a F s + = − + = at f t e − 则 ( ) =1− a T z e z z z F z − − − − = 1 ( ) aT aT aT z e z e z e − − − − + + − = (1 ) (1 ) 2
7-3 Z变换与反变换 例4：求f(t)=sin ct的F(z) 解：F(s)= =-11 .11 32+02 2 2js+jo 2js-jo 1 z 1 F(a)= 2j2-em+ 212-eioT z(eior-e-ioT) zsin @T 2jz2-(eoT+e 1oT)z+1]22-(2cos@T)z+1
7-3 Z变换与反变换 j s j j s − j + + = − 1 2 1 1 2 1 例4： 求 f (t) = sin t的F(z) 解： 2 2 ( ) + = s F s j T j T z e z z e j z j F z − + − = − − 2 1 2 1 ( ) (2cos ) 1 sin 2 [ ( ) 1] ( ) 2 2 − + = − + + − = − − z T z z T j z e e z z e e j T j T j T j T