《自动控制原理》课程教学资源（课件讲稿）第3章 时域分析法_3.6 线性系统的稳态误差

3.6稳态误差的分析计算 系统稳态误差是系统的稳态性能指标，是系统控制精度的一种度 量，它是控制系统设计中的一项重要技术指标。 3.6.1误差与稳态误差 1、误差：被控量的希望值c(t) 和实际值c(t)之差： 6(t)=co(t)-c(t) 2、稳态误差：当t→0时系统误差的极限值： ess lim &(t) t→00

3 . 6 稳态误差的分析计算 系统稳态误差是系统的稳态性能指标，是系统控制精度的一种度 量，它是控制系统设计中的一项重要技术指标。 3.6.1 误差与稳态误差 ( ) 0 c t c(t) ( ) ( ) ( ) 0  t  c t  c t 1、误差：被控量的希望值 和实际值 之差： t   e lim (t) t ss    2、稳态误差：当 时系统误差的极限值：

稳态误差的分析计算（续） ▲稳态误差是指在稳定条件下，加入输入信号后经过足够长的时间， 其瞬时响应已衰减到微不足道时，稳态响应的期望值与实际值之差。 因此，只有稳定的系统讨论稳态误差才有意义。 ●单位反馈系统的r0即为要求值：r(t)=c(t) 所以偏差等于误差：(t)=e(t)∴.es=lime(t) t>oo ●非单位反馈系统，偏差不等于误差，但它们存在一定的关系： E(s)=R(s)-B(s)=H(s)Cn(s)-H(s)C(s)=H(s)8(s)

▲稳态误差是指在稳定条件下，加入输入信号后经过足够长的时间， 其瞬时响应已衰减到微不足道时，稳态响应的期望值与实际值之差。 因此，只有稳定的系统讨论稳态误差才有意义。 e lim e(t) t ss  所以偏差等于误差： (t)  e(t)   ●单位反馈系统的r(t)即为要求值： ( ) ( ) 0 r t  c t ●非单位反馈系统，偏差不等于误差，但它们存在一定的关系： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 E s  R s  B s  H s C s  H s C s  H s  s 稳态误差的分析计算（续）

稳态误差的分析计算（续） 而且偏差容易测量，误差不易测量， 故用偏差代替误差： ess lim e(t)=lim[r(t)-b(t)] 根据拉氏变换的终值定理有：e,=lime(t)=lim sE(s) 100 >0 而ES)有两种 E(s)=Φ.(s)R(s E(S)=Φm(s)N(s 1 sR(s) Φ(s)= E(s) ∴.e,=lim sE(s)=lim R(s) 1+G(s) s→0 01+G(S Φn(s)= E,(s) -G,H .esn=lim sE,(s)=lim -SG2 HN(s) N(s) 5→0 1+G(s) 1+G6(s)

而且偏差容易测量，误差不易测量，故用偏差代替误差： e lim e(t) lim[r(t) b(t)] t t ss      根据拉氏变换的终值定理有： lim ( ) lim ( ) 0 e e t sE s t s ss     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e n en E s s R s E s s N s        而E(s)有两种 , 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) R s G s E s s k e     1 ( ) ( ) lim ( ) lim 0 0 G s sR s e sE s k s s sr       稳态误差的分析计算（续） 1 ( ) ( ) lim ( ) lim 2 0 0 G s sG HN s e sE s k s n s sn       

稳态误差的分析计算（续） e =e+e lim sE(s)+lim sE,(s)=lim st R(s)-G2HN(s) 50 50 5→0 1+G(s ◆可见：稳态误差与G,(s)和RS)、Ns)等有关。 当r(0、(0的形式确定后，系统是否存在稳 态误差，就取决于G(s) 根据G,(s)分类以及考察各类系统跟踪()的能力。 ,+1) 设G(⊙)= K(s+1)(2s+1).(s+1)K j=l °(T3+1)(T2s+1).(T+1) I-U Is+1

故 ] 1 ( ) ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) lim [ 2 0 0 0 G s R s G HN s e e e sE s sE s s k s n s s ss sr sn           G (s) ◆可见：稳态误差与 k 和R(s) 、N(s)等有关。 当r(t)、 n(t)的形式确定后，系统是否存在稳 态误差，就取决于 Gk (s)。 根据Gk (s)分类以及考察各类系统跟踪r(t)的能力。                       n i i m j j n m k T s s s K s T s T s T s K s s s G s 1 1 1 2 1 2 ( 1) ( 1) ( 1)( 1) ( 1) ( 1)( 1) ( 1) ( )   设 稳态误差的分析计算（续）

3、系统的类型： ΠG+) 令G(s)= 当s→0时G,(0)→1。 ΠI,s+1) .esr lim sE(s)=lim- sR(s) =lim sR(s) s→0 s01+G(s) s-→0 s+K 故影响e,的因素是K、R(S)及G,(s中积分环节的数目. 当v=0、1、2、时，分别叫做0型、1型、2型. 系统

3、系统的类型： 令 ，当 0时 (0) 1。 ( 1) ( 1) ( ) 0 1 1 0           s G T s s G s n i i m j j   s K s R s G s sR s e sE s s k s s sr             ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) lim 1 0 0 1 0 的因素是K、R(s)及 中积分环节的数目. 分别叫做0型、1型、2型. 系统。 sr 故影响e G (s) k 当  0、1、2、时

3.6.2给定输入下的稳态误差与静态误差系数 1,阶跃输入作用下的稳态误差与静态位置误差系数K。 r)=A1(eR(S)=4 er=lim sE(s)=im、 5→0 01+Gk s 1+lim G&(s) 5-→0 令K,=limG(s) A 50 e= 1+K 0型：K。=imKG(s)=K ∴.esr= 0 1+K 1型：K,=mG,=四 CURR s-→0S .e=0 1型以上：同型一样s=0

3.6.2 给定输入下的稳态误差与静态误差系数 s A r(t)  A1(t)，R(s)  lim ( ) lim ( ) lim G s A s A G s e sE s k s k s s sr 0 0 0 1 1           p k sr s p K A K G s e      1 lim ( ) 0 令                     1 1 0 1 lim ( ) 0 1 0 lim ( ) 0 0 0 0 ss sr s p sr s p e G s e s K K K A K K G s K e 型以上：同 型一样 型： 型： 1．阶跃输入作用下的稳态误差与静态位置误差系数Kp

给定稳态误差（续） △显然：型系统不含积分环节，阶跃输入下的 为一定值，且与K有关，称有差系统。K个-→e↓ 若要求系统对阶跃输入下的es=0,则系统须为型 或型以上，G.(s)中至少应设置一个积分环节。 2.斜坡输入作用下的稳态误差与静态速度误差系数K, RS) B .r(t)=Bt.1(t) B .esr lim =lim 01+G%s2 s-05+SG lim sG&(s) B 0 令K。=lim sG(s) s→0 .esr= K

入下的ess =0，则系统须为I型 为一定值，且与K有关，称有差系统。 K ess  若要求系统对阶跃输 ▲显然：0型系统不含积分环节，阶跃输入下的 sr e 或I型以 上，Gk(s)中至少应设置一个积分环节。 r(t)  Bt 1(t) 2 ( ) s B R s  lim ( ) lim 1 lim 0 0 2 0 sG s B s sG B s B G s e k s k s k s sr             K B K sG s e k sr s     lim ( ) 0 令 给定稳态误差（续） 2．斜坡输入作用下的稳态误差与静态速度误差系数Kv

给定稳态误差（续） 0型：K。=lims·K.G(s)=0,∴.er=oo 5→0 1型：K。=ms.G(s=Ke= K B 5→0 K 2型：K。=ims Go(S)=o,∴.esr=0 5-→0 2型以上： 同型一样es=0 ▲显然：0型系统不能跟踪斜坡信号，型系统在斜 坡输入下的Esr为-定值。K个-→es↓。 若要求系统在斜坡输入下的e,=0

                             2 2 0 2 : lim ( ) , 0 1 lim ( ) , 0 lim ( ) 0, 2 0 0 0 0 0 0 ss sr s sr s sr s e G s e s K K s K B G s K e s K K s K s K G s e 型以上：同 型一样 型 型： 型：    ▲显然：0型系统不能跟踪斜坡信号，I型系统在斜 坡输入下的esr为一定值。 K  ess  。 若要求系统在斜坡输入下的 esr  0， 给定稳态误差（续）

给定稳态误差（续） 则系统须为2型或2型以上，即G(s)中至少应设 置两个积分环节。 3,抛物线作用下的稳态误差与静态加速度误差系数K。 C C 卿1+0+G同 ∴.e=lim, lim s2Gk(s) 5→0 令K。=ims2G(s) C .es-Ka

( ) lim ( ) lim 1 lim 2 0 2 2 0 3 0 s G s C s s G s C s C G s e k s k s k s sr           a sr K C e  2 2 1 r(t)  Ct 3 ( ) s C R s  lim ( ) 2 0 K s G s k s a  令  给定稳态误差（续） 3．抛物线作用下的稳态误差与静态加速度误差系数Ka 则系统须为2型或2型以上，即 中至少应设 置两个积分环节。 ( ) Gk s

给定稳态误差（续） 0型：Kn=lims2.K.Go(s)=0.e=∞ 5-→0 1型：K。=1ims2. .1.Go(s)=0,∴.esr=o∞ 5-→0 S 2理：水，-s名Go=水 C 5-→0 3腿：，=2冬G6-0 5→0 CURRENC 3型以上：同型一样和=0

                                    3 3 0 3 : lim ( ) , 0 2 : lim ( ) , 1 lim ( ) 0, 0 lim ( ) 0, 3 0 2 0 2 0 2 0 0 2 0 0 2 0 sr sr s a sr s a sr s a sr s a e G s e s K K s K C G s K e s K K s G s e s K K s K s K G s e 型以上：同 型一样 型 型 型： 型： 给定稳态误差（续）