7-4离散控制系统的数学模型 连续系统 离散系统 反映系统 导数 运动过程 差分 (动态) 微分方程 差分方程 拉氏变换 z变换 传递函数 脉冲传递函数
7-4 离散控制系统的数学模型 连续系统 传递函数 脉冲传递函数 微分方程 差分方程 离散系统 反映系统 运动过程 （动态） 拉氏变换 导数 差分 z变换
7-4离散控制系统的数学模型 一差分方程 1差分：两相邻采样信号值的差值。 (1)前向差分 设连续函数为y(t),其采样函数为y(k), 通常将y(kT)简记作y(k) 其一阶前向差分为△y(k)=y(k+1)-y(k) 其二阶前向差分： △2y(k)=△[△y(k)】=A[yk+I)-y(k] =△y(k+1)-△y(k)=y(k+2)-2y(k+1)+y(k)
7-4 离散控制系统的数学模型 一 差分方程 1 差分：两相邻采样信号值的差值。 设连续函数为 y(t) ，其采样函数为 y(k)， 其一阶前向差分为 y(k ) = y(k +1) − y(k ) 其二阶前向差分： ( ) [ ( )] [ ( 1) ( )] 2 y k = y k = y k + − y k （1）前向差分 通常将y(kT)简记作y(k) = y(k +1) − y(k ) = y(k + 2) − 2 y(k +1) + y(k )
7-4离散控制系统的数学模型 (1)前向差分 一阶前向差分为： △y(k)=y(k+1-y(k) 二阶前向差分为： △2y(k)=△[△y(k)]=△[y(k+1)-(k)] =△y(k+1)-△y(k)=y(k+2)-2y(k+1)+y(k) (2)后向差分 一阶后向差分为： Vy(k)=y(k)-y(k-1) 二阶后向差分为： V2y(k)=7[Vy(k)】]=V[y(k)-y(k-1] =Vy(k)-7y(k-1)=y(k)-2y(k-1)+y(k-2)
7-4 离散控制系统的数学模型 （2）后向差分 一阶后向差分为： y(k ) = y(k ) − y(k −1) 二阶后向差分为： = y(k ) − y(k −1) = y(k ) − 2 y(k −1) + y(k − 2) 一阶前向差分为: y(k ) = y(k +1) − y(k ) 二阶前向差分为： ( ) [ ( )] [ ( 1) ( )] 2 y k = y k = y k + − y k （1）前向差分 = y(k +1) − y(k ) = y(k + 2) − 2 y(k +1) + y(k ) ( ) [ ( )] [ ( ) ( 1)] 2 y k = y k = y k − y k −
7-4离散控制系统的数学模型 2差分方程：采用差分形式描述离散系统输入/输出之间 动态关系的方程。 设离散控制系统的输入序列为r(n),输出序列为c(n) (1)前向差分方程 c(k+n)+ac(k+n-1)+.+a,-c(k+1)+a,c(k) =bor(k+m)+br(k+m-1)+.+bmr(k+1)+br(k) n阶常系数线性前向差分方程 (2)后向差分方程 c(k)+ac(k-1)+.+an-c(k-n+1)+a,c(k-n) =bor(k)+br(k-1)+.+bmr(k-m+1)+br(k-m) n阶常系数线性后向差分方程
7-4 离散控制系统的数学模型 2 差分方程：采用差分形式描述离散系统输入/输出之间 动态关系的方程。 （1）前向差分方程 设离散控制系统的输入序列为r(n)，输出序列为c(n) ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( ) 0 1 1 1 1 b r k m b r k m b r k b r k c k n a c k n a c k a c k m m n n = + + + − + + + + + + + − + + + + − − ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( ) 0 1 1 1 1 b r k b r k b r k m b r k m c k a c k a c k n a c k n m m n n = + − + + − + + − + − + + − + + − − − （2）后向差分方程 n阶常系数线性前向差分方程 n阶常系数线性后向差分方程
7-4离散控制系统的数学模型 例1：求如图所示系统的差分方程。 r(t) c(t) 解：.c(t)=Ke(t)=Kr(t)-Kc(t) .c(t)+Kc(t)=Kr(t) c☑)= dc(t) 在t=kT时的值可用一阶前向 dt 差分来近似，即： e(()=de()=lim (k+-c(k)c(k+1)-c(k) dt T→0 T T 差分方程为：c(k+1)+(kT-1)c(k)=kTr(k)
7-4 离散控制系统的数学模型 例1：求如图所示系统的差分方程。 dt dc t c t ( ) ( ) = 在t = k T 时的值可用一阶前向 解： c (t) = K e(t) = K r(t) − K c(t) c (t) + K c(t) = K r(t) 差分来近似，即： dt dc t c t ( ) ( ) = T c k c k T ( 1) ( ) lim 0 + − = → 差分方程为： c(k +1) + (k T −1)c(k ) = kTr(k ) T c(k +1) − c(k)
7-4离散控制系统的数学模型 3差分方程的解法 (1)迭代法 例2已知差分方程为c(k)-5c(k-1)+6c(k-2)=r(k) 其输入系列为r(k)=1,初始条件为c(0)=0,c(I)=1 试用迭代法求解系统的输出序列c(k):k=0,12,.,10。 解：根据差分方程得递推关系：c(k)=r(k)+5c(k-1)-6c(k-2) c(0)=0,c(1)=1,c(2)=r(2)+5c(1)-6c(0)=6 c(3)=r(3)+5c(2)-6c(1)=25c(4)=r(4)+5c(3)-6c(2)=90 c(5)=r(5)+5c(4)-6c(3)=301c(6)=r(6)+5c(5)-6c(4)=966 c(7)=r(7)+5c(6)-6c(5)=3025 c(8)=r(8)+5c(7)-6c(6)=9330 c(9)=r(9)+5c(8)-6c(7)=28501c(10)=r(10)+5c(9)-6c(8)=86526
7-4 离散控制系统的数学模型 3 差分方程的解法 （1）迭代法 例2 已知差分方程为c(k) − 5c(k −1) + 6c(k − 2) = r(k) 其输入系列为r(k) = 1,初始条件为c(0) = 0, c(1) = 1 试用迭代法求解系统的输出序列c(k): k = 0,1,2, ,1 0。 解： 根据差分方程得递推关系： c(0) = 0，c(1) = 1，c(2) = r(2) + 5c(1) − 6c(0) = 6 c(3) = r(3) + 5c(2) − 6c(1) = 2 5 c(6) = r(6) + 5c(5) − 6c(4) = 966 c(4) = r(4) + 5c(3) − 6c(2) = 9 0 c(5) = r(5) + 5c(4) − 6c(3) = 301 c(8) = r(8) + 5c(7) − 6c(6) = 9330 c(9) = r(9) + 5c(8) − 6c(7) = 28501 c(1 0) = r(1 0) + 5c(9) − 6c(8) = 86526 c(7) = r(7) + 5c(6) − 6c(5) = 3025 c(k ) = r(k ) + 5c(k −1) − 6c(k − 2)
7-4离散控制系统的数学模型 (2)z变换法 •先对差分方程两边求z变换，得到以z为变量的代数方程， 整理得到C(z) •对C(z)求反变换求得输出序列c(k)。 例3己知差分方程c(k+1)-bc(k)=r(k),输入系列为r(k)=a, 设初始条件为c(0)=0,试求输出序列c(t)。 解：对差分方程两边求变换 由z变换的超前定理：Zft+kT)〗=[F(z)-∑f(mT)z" =[C(=)-c(0)=]-bC(=)==C(2)-bC()= -a
7-4 离散控制系统的数学模型 （2）z变换法 •先对差分方程两边求z变换，得到以z为变量的代数方程， •整理得到C(z) •对C(z)求反变换求得输出序列c(k)。 设初始条件为 ，试求输出序列 。 例 已知差分方程 输入系列为 (0) 0 ( ) 3 ( 1) ( ) ( ), ( ) , * c c t c k bc k r k r k a k = + − = = [ ( ) (0) ] ( ) 1 0 z C z − c z − bC z 解： 对差分方程两边求z变换 − = − + = − 1 0 [ ( )] [ ( ) ( ) ] k m k m 由z变换的超前定理：Z f t k T z F z f m T z z a z zC z bC z − = ( ) − ( ) =
7-4离散控制系统的数学模型 EC(z)-bC(2)=- z-0 整理得：C(z)= (z-a)(z-b) 令 C() 1 (z-a)(z-b)(a-b)(z-a)(a-b)(z-b) 则C(z)= 1 (a-b)z-a z-b cn)=Z'[C(e】= a-a”-b") 注意：c(nT)有可能和T没有关系！
7-4 离散控制系统的数学模型 ( )( ) ( ) z a z b z C z − − 整理得： = z a z zC z bC z − ( ) − ( ) = ( )( ) ( ) 1 z z a z b C z − − 令： = ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 a b z a a b z − b − − − − = [ ] ( ) 1 ( ) z b z z a z a b C z − − − − 则 = ( ) ( ) 1 ( ) [ ( )] 1 n n a b a b c nT Z C z − − = = − ( )] ( ) ( ) 1 ( ) [ 0 * a b t nT a b c t n n n − − − = + = 注意：c(nT ) 有可能和T 没有关系！
7-4离散控制系统的数学模型 二脉冲传递函数 1定义 零初始条件时，系统输出信号的z变换与输入信 号的z变换之比，定义为脉冲传递函数。 c(1 C(a) T G(z)= F(s R() T c(t) 式中，C(z)=Zc(t)l,R(z)=Z[r(t)] 所谓零初始条件，是指在t≤O时，输入脉冲序列的各采 样值r(一T),r(一2T),以及输出脉冲序列的各采 样值c(-T),c(-2T),.均为零。 脉冲传递函数反映了采样开关与连续环节的组合体的输入输 出关系
7-4 离散控制系统的数学模型 二 脉冲传递函数 1 定义 零初始条件时，系统输出信号的 z 变换与输入信 号的 z 变换之比，定义为脉冲传递函数。 ( ) ( ) ( ) R z C z G z = 脉冲传递函数反映了采样开关与连续环节的组合体的输入/输 出关系。 ( ) [ ( )], ( ) [ ( )] * * 式中，C z = Z c t R z = Z r t 所谓零初始条件，是指在 时，输入脉冲序列的各采 样值 ，以及输出脉冲序列的各采 样值 均为零。 t 0 r(−T ),r(−2T ), c(−T ), c(−2T ),
7-4离散控制系统的数学模型 2脉冲传递函数的求法 (1)准备知识 8(t)=L[G(s)] ① 单位脉冲信号6(t) 单位脉冲响应g(t) 传函G(s) tr(nT).g(kT-nT) n=0 ZIr(nT)*g(nT)]=Z[r(nT)].Z[8(nT)]
7-4 离散控制系统的数学模型 2 脉冲传递函数的求法 ( ) [ ( )] 1 g t L G s − （ = 1）准备知识 ① 单位脉冲信号 (t) 单位脉冲响应g(t) ② + = = − 0 * ( ) ( ) ( ) n g t g nT t nT + = − = 0 * [ ( )] ( ) n n Z g t g nT z ③ = = = − k n c nT r nT g nT r nT g k T nT 0 ( ) ( )* ( ) ( ) ( ) Z[r(nT)* g(nT)] = Z[r(nT)]Z[g(nT)] t 0时，g(t) = 0 = = = − [ ( )] [ [ ( )]] [ ( )] 1 Z G s Z L G s Z g t