第二章数学模型 2.3 传递函数 用拉氏变换求解微分方程，虽思路清晰，简单实 用，但如果系统参数改变，特征方程及其解都会随之 改变。要了解参数变化对系统动态响应的影响，就 必须多次计算，方程阶次愈高，计算工作量越大， 故引入另一种数模一传递函数。它是控制理论中的 重要概念和工具，也是经典理论中两大分支一根轨 迹和频率响应的基础。利用传递函数不必求解微分 方程就可研究初始条件为零的系统在输入信号作用 下的动态过程
2.3 传 递 函 数 用拉氏变换求解微分方程，虽思路清晰,简单实 用,但如果系统参数改变，特征方程及其解都会随之 改变。要了解参数变化对系统动态响应的影响，就 必须多次计算，方程阶次愈高，计算工作量越大， 故引入另一种数模—传递函数。它是控制理论中的 重要概念和工具，也是经典理论中两大分支—根轨 迹和频率响应的基础。利用传递函数不必求解微分 方程就可研究初始条件为零的系统在输入信号作用 下的动态过程。 第二章 数学模型
第二章数学模型 2.3 传递函数 2.3.1传递函数与脉冲响应函数 2.3.2典型环节及其传递函数 CURRENC Germany
2.3 传 递 函 数 第二章 数学模型 2.3.1 传递函数与脉冲响应函数 2.3.2 典型环节及其传递函数
第二章数学模型 2.3.1传递函数与脉冲响应函数 1、 传递函数的定义：以RC网络为例。 RC eu R 设4，(0)=0 dt 则有RCsU(s)+U.s)=U,s) 即RC+1)U.(s)=U,(s .U(S)= RCs+1 U,(s) 其中U,s)随4，()形式而变， 1 RC+完全由网络的结构及参数确定。 而 U(s) 令G(s)= U,(s)RCs+1 则有U(s)=G(s)U,(s)
2.3.1 传递函数与脉冲响应函数 ur uc R C i c r c u u dt du RC + = ，设 uc (0) = 0 则有 RCsU (s) U (s) U (s) c + c = r ( ) U (s) RCs U s c r 1 1 + = U (s) r u (t) 其中 随 r 形式而变， 而 1 完全由网络的结构及参数确定。 1 RCs + 1 1 + = = U s RCs U s G s r c ( ) ( ) ( ) U (s) G(s)U (s). 令 ,则有 c = r 以 RC 网络为例。 第二章 数学模型 (RCs 1)U (s) U (s) 即 + c = r 1、传递函数的定义：
第二章数学模型 传递函数（续） 若U,s不变，则U.(s)的特性完全由Gs)的形式与 数值来决定，且G(s)将U,(s)传到了U(s. .G(s)反映了系统自身的动态本质，表达了传递信 号的性质和能力，故称它为RC网络的传函。 定义：对于线性定常系统来说，当初始条件为零时， 输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比叫做 系统的传递函数 C(s) G(s)= R G R(s) -C(s)
定义：对于线性定常系统来说，当初始条件为零时， 输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比叫做 系统的传递函数 。 ( ) ( ) ( ) R s C s G s = R(s) G(s) C(s) 反映了系统自身的动态本质，表达了传递信 号的性质和能力，故称它为RC网络的传函。 数值来决定，且 U (s) r U (s) c G(s) G(s) U (s) r G(s) 若 不变，则 的特性完全由 将 传到了 的形式与 U (s). c 传 递 函 数(续) 第二章 数学模型
第二章数学模型 传递函数（续） 设线性定常系统的微分方程一般形式为： d"c(t + d"-c( de(t) +.+-l a,c(t) dt d"r dtm dr()r(t) dt 当初始条件为零时有： [aos"as"++ans+an IC(s) =[bos"+bs"++bm=is+bmIR(s)
设线性定常系统的微分方程一般形式为： ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 1 a c t dt dc t a dt d c t a dt d c t a n n n n n n + + + − + − − ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 1 b r t dt dr t b dt d r t b dt d r t b m m m m m m = + + + − + − − 当初始条件为零时有： [ ] ( ) [ ] ( ) b s b s b s b R s a s a s a s a C s m m m m n n n n = + + + + + + + + − + − − 1 1 0 1 1 1 0 1 传 递 函 数(续) 第二章 数学模型
第二章数学模型 传递函数（续） 则G(s)= C(s)bos"+bs"++bm1s+bm R(s) aos"ais"++an-is+an .S=o+j0为复数，.G(S是复变量s的函数， 故称为复放大系数。 可见：有了微分方程，可以直接写出其传递函数，与 c()有关的项为分母，与0有关的项为分子。 例1，RC网络：微分方程 dt 则传递函数 G(s)= Ts+1
是复变量s 的函数， 故称为复放大系数。 s = + j 为复数， G(s) n n n n m m m m a s a s a s a b s b s b s b R s C s G s + + + + + + + + = = − − − − 1 1 0 1 1 1 0 1 ( ) ( ) ( ) 则 可见：有了微分方程，可以直接写出其传递函数，与 c(t) 有关的项为分母，与r(t) 有关的项为分子。 c r c u u dt du 例1. RC网络：微分方程 T + = 则传递函数 1 1 ( ) + = Ts G s 传 递 函 数(续) 第二章 数学模型
第二章数学模型 传递函数（续） 例2.RLC网络：微分方程LCd+RC dt 则传递函数G(s)= LCs2+RCs+1 例3.闭环调速系统。 TG
例3．闭环调速系统。 c r c c u u dt du RC dt d u LC + + = 2 2 例2.RLC网络：微分方程 1 1 ( ) 2 + + = LCs RCs 则传递函数 G s 传 递 函 数(续) 第二章 数学模型
第二章数学模型 闭环调速系统 Rs R -Mf 1)运放日 ·,微分方程u1=K1u=K(ug-urb ∴.传递函数G(s)= U⑨=K AU(s) 2)运放川： 微分方程4，=K, +u,) d证 传递函数G,(S)=U, U,(s) =K2(+1)
闭环调速系统 第二章 数学模型 1 1 1 ( ) ( ) ( ) K U s U s G s = = 传递函数 2）运放Ⅱ：微分方程 u2 = ( ) 1 1 2 u dt du K + ( 1) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 = = K s + U s U s 传递函数 G s 1）运放 ： 微分方程 u1 = K1 u = K1 (ug − uf )
第二章数学模型 闭环调速系统 3)功放： 微分方程4n=K3u2,传递函数G(s)=K3 4)电机：微分方程 do do T.T.d + +0=K.U。-K_T, m dt dM+M.) 由于传函只适用于单输入、单输出情况： M。=0-→G(s)= 2(s) K U.s)T。Tms2+Tms+1 4,=0-→Gm= 2(s)=-Km(Ts+1) e(s)TTs2+Tns+1 迭加原理有：2(s)=G.(s)U.(s)+GM(S)M.(s)
ua = K3 u2 3 3 3）功放：微分方程 ，传递函数 G (s) = K 4）电机：微分方程 ( ) 2 2 c c a m m u a m a M dt dM K U K T dt d T dt d T T + + = − + 由于传函只适用于单输入、单输出情况： + + − + = = → = + + = = → = 1 ( 1) ( ) ( ) 0 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 2 2 T T s T s K T s M s s u G T T s T s K U s s M G s a m m m a c a M a m m u a c u 迭加原理有： (s) G (s)U (s) G (s)M (s) = u a + M c 第二章 数学模型 闭环调速系统
第二章数学模型 闭环调速系统 5)测速机： 微分方程u,=K,·O 传递函数G,(s)= U 2(s) 6) 系统总传递函数： 系统微分方程： TaTm d2@Tm+Kot do 1+K。d21+K。d x⊙ K du 1+五6 1+K (Ta dM&+M. dt Germany
5）测速机：微分方程 uf = K f f f f K s U s G s = = ( ) ( ) ( ) 传递函数 6）系统总传递函数： + + + + + dt d K T K dt d K Ta Tm m 0 0 2 2 1 0 1 ( ) 1 ( ) 1 0 0 c c a m g g M dt dM T K K u dt du K K + + + − + = 第二章 数学模型 系统微分方程： 闭环调速系统