3.5线性系统的稳定性分析 3.5.1稳定性的基本概念 3.5.2线性系统稳定的充要条件 3.5.3古尔维茨判据 3.5.4劳斯判据 3.5.5稳定判据的应用
3.5 线性系统的稳定性分析 3.5.1 稳定性的基本概念 3.5.2 线性系统稳定的充要条件 3.5.3 古尔维茨判据 3.5.4 劳斯判据 3.5.5 稳定判据的应用
3.51稳定性的基本概念 ■实际中关于稳定性的实例很多，如：设计振荡器最关心振幅和频率 的稳定性，适当选择电路结构和参数，使电源电压、负载和环境变化 时都能得到几乎恒定的振幅和频率，才符合要求。再如：收音机若有 自激，就会啸叫，无法收听。而电视机若不稳，无法看图像等等。 ■可见：自控系统的稳定性十分重要。一个系统一旦受到外界或内 部干扰，就偏离原来的平衡工作状态，且越来越远，扰动消失后
3.5.1 稳定性的基本概念 n实际中关于稳定性的实例很多，如：设计振荡器最关心振幅和频率 的稳定性，适当选择电路结构和参数，使电源电压、负载和环境变化 时都能得到几乎恒定的振幅和频率，才符合要求。再如：收音机若有 自激，就会啸叫，无法收听。而电视机若不稳，无法看图像等等。 n可见：自控系统的稳定性十分重要。一个系统一旦受到外界或内 部干扰，就偏离原来的平衡工作状态，且越来越远，扰动消失后
线性系统的稳定性分析（续） 也不能恢复原状，显然无法满足要求，也无法正常工作。因此，稳定 性是系统正常工作的首要条件及重要性能。分析稳定性并找出保证系 统稳定的条件，是设计的基本任务之一。 ■任何系统在扰动作用下都会偏离原平衡状态，产生初始偏差。 系统的稳定性一是指系统在扰动消失后，由初始偏差状态恢复 原来状态的性能。若能恢复则为稳定系统；若不能恢复且偏差越来 越大，则为不稳定系统
也不能恢复原状，显然无法满足要求，也无法正常工作。因此，稳定 性是系统正常工作的首要条件及重要性能。分析稳定性并找出保证系 统稳定的条件，是设计的基本任务之一。 n任何系统在扰动作用下都会偏离原平衡状态，产生初始偏差。 线性系统的稳定性分析（续） 系统的稳定性 — 是指系统在扰动消失后，由初始偏差状态恢复 原来状态的性能。若能恢复则为稳定系统；若不能恢复且偏差越来 越大，则为不稳定系统
3.5.2线性系统稳定的充要条件 设：a,c()+4,cn-()+.+anc()+anc() bor((t)+br(m(t)+.+bm(t)+br(t) 拉氏变换有： (as”+a,s"-1+.+an1s+an)C(s) =(bos"+bc"+.+bms+bm)R(S)+Mo(S) 其中M,(S)是与初始状态有关的s多项式 设D(s)=a”+a,s”-+.+an-1S+an M(s=bs"+bc+.+bmS+bm
设： 拉氏变换有： 3.5.2 线性系统稳定的充要条件 其中 是与初始状态有关的s多项式
线性系统的稳定性分析（续） 则有D(s)C(s)=M(S)R(s)+M(s) ∴.C(s)= M(s) D(s) Rs)+ M,(s) D(s) 设R(s)= P(s) 假设D(s)=0具有n个互异根： 2(s) R(s)具有q个互异极点， :co-号 品附名，4名 iS-Si c0-2(4+ce”+之8e
线性系统的稳定性分析（续）
线性系统的稳定性分析（续） 取消扰动后，系统的恢复能力应由瞬时分量决定， 与输入无关。 只要有：1im∑(4+C)e”=0系统一定稳定。 ,00 i✉1 可见：各子项必须均趋于零才行，即 lim(A,+C,)e=0→lime0
取消扰动后，系统的恢复能力应由瞬时分量决定， 与输入无关。 只要有： 系统一定稳定。 可见：各子项必须均趋于零才行，即 线性系统的稳定性分析（续）
稳定的充要条件（续） ◆若出现共轭复数根，则有： w-名含等 .e()(+Ce+Dc 若要系统稳定，必须前三项在↑→∞时均为零
◆若出现共轭复数根，则有： 若要系统稳定，必须前三项在 时均为零。 稳定的充要条件（续）
稳定的充要条件（续） 故仍有：im(4,+C,)e=0 lim De 5eu cos1-=0 以及lim Fe'sinon1-Sk2t=0 所以需ime=0及lim e-5=0。 1>00 1→0∞ ◆若有重根，如有α重实根s,和B重共轭复根o,±j0 则瞬时分量中相应出现： AneApteAte Dnesin@nV1-5t,Faecos@1-5
及 故仍有： ◆若有重根，如有 则瞬时分量中相应出现： 稳定的充要条件（续）
稳定的充要条件（续） Diate sinm1-5t,Fmte cos1-5t, Dptesint,Fpt-ecos 可见：只要有一个根的实部为正，则系统不稳，分量发散。 ★系统稳定的充要条件为： 系统特征方程的根（即闭环极点）都为负实数或都具 有负的实部。亦即，特征根都严格位于5左半面上。 ■因此，要判断一个系统是否稳定，需求出系统的全部特征根
可见：只要有一个根的实部为正，则系统不稳，分量发散。 ★系统稳定的充要条件为： 系统特征方程的根（即闭环极点）都为负实数或都具 有负的实部。亦即，特征根都严格位于s左半面上。 n 因此，要判断一个系统是否稳定，需求出系统的全部特征根。 稳定的充要条件（续）
稳定的充要条件（续） 这对于一、二阶系统很简单： 一阶：as+a=09=- Ao 只要ao,4均大于零系统就稳定 二阶：aos2+aS+a2=0sa -41±V41 -4ao42 20 当a,a1,均大于零时，S1,2均小于零，系统稳定
二阶： 当 均大于零时， 均小于零，系统稳定。 这对于一、二阶系统很简单： 稳定的充要条件（续）