《自动控制原理》课程教学资源（课件讲稿）第7章 线性离散控制系统_7.3 Z变换

7.3Z变换 ■线性连续控制系统可采用线性微分方程来描述，用拉普拉斯变换 分析它的暂态性能及稳态性能。 ■而对于线性离散系统，则可以采用线性差分方程来描述，用变 换来分析它的暂态性能及稳态性能。 ■变换是研究离散系统的主要数学工具，它是由拉普拉斯变换 导出来的，实际上就是离散信号的拉普拉斯变换

n线性连续控制系统可采用线性微分方程来描述，用拉普拉斯变换 分析它的暂态性能及稳态性能。 n而对于线性离散系统，则可以采用线性差分方程来描述，用Z变 换来分析它的暂态性能及稳态性能。 n Z变换是研究离散系统的主要数学工具，它是由拉普拉斯变换引 导出来的，实际上就是离散信号的拉普拉斯变换。 7.3 Z 变换

7.3.1Z变换的定义 已知连续信号f)的拉普拉斯变换为： F(s)=f()e-dt 而连续信号)经过采样后的离散信号f“()为： f(->fuT)6(-nT) n=0 它的拉普拉斯变换为： F(s=f(0=ΣfT)e 可见：上式含有s的超越函数-n,不便于计算，故 引入一个新的复变量：

它的拉普拉斯变换为：       0 * * ( ) [ ( )] ( ) n nTs F s L f t f nT e 7.3.1 Z 变换的定义 已知连续信号f(t)的拉普拉斯变换为：     0 F(s) L[ f (t)] f (t)e dt st 而连续信号f(t)经过采样后的离散信号f *(t)为：      0 * ( ) ( ) ( ) n f t f nT  t nT 可见：上式含有s的超越函数e -nTs ，不便于计算，故 引入一个新的复变量z

Z变换（续） F()=4f(l=∑fTen =0 1 令z=e或s=二lnz(是一个复变量)，则有： (=F) n=0 如果上式所示的级数收敛，则定义F(2为f()的z变换，记作 Zf*(t)=F(a。 指出：F(e)是f(的：变换，它只考虑了采样时刻的信号值f(nT刀。 但对于连续信号f0而言，由于在采样时刻f(0的值就是fmI), 所以也称Fε)是)的：变换，即 ZIf()=ZIf()=F()=f(nT)

Ts 令z  e z (z是一个复变量)，则有： T s ln 1 或  Z 变换（续）        0 ln 1 * ( ) ( ) ( ) n n z T s F z F s f nT z 如果上式所示的级数收敛，则定义F(z)为f *(t)的z 变换，记作 Z[f *(t)]=F(z)。 指出: F(z)是f *(t)的z 变换，它只考虑了采样时刻的信号值 f (nT) 。 但对于连续信号 f (t)而言，由于在采样时刻 f (t) 的值就是 f (nT) ， 所以也称 F(z)是f(t)的z 变换， 即        0 * [ ( )] [ ( )] ( ) ( ) n n Z f t Z f t F z f nT z

7.3.2Z变换的求法 1.级数求和法： 将离散级数f(u)展开： f(0)=∑f(nT)6t-nT n=0 =f(0)6(t)+f(T)6(t-T)+f(2T)6(t-2T)+. +f(nT)6(t-nT)+. 则F(s)=f(0)×1+f(T)e-+f(2T)e-2 +f(nT)e-ms f(nT)e+ 或F(z)=f(0)×1+f(T)z+f(2T)z2+· +f(nT)z "+

7.3.2 Z 变换的求法 1．级数求和法： 将离散级数 ( ) : f * t 展开             n f nT z F z f f T z f T z ( ) ( ) (0) 1 ( ) (2 ) 或 1 2      0 * ( ) ( ) ( ) n f t f nT  t nT           ( ) ( ) (0) ( ) ( ) ( ) (2 ) ( 2 ) f nT t nT f t f T t T f T t T                  nTs nTs Ts Ts f nT e f nT e F s f f T e f T e ( ) ( ) ( ) (0) 1 ( ) (2 ) 则 * 2

变换的求法（续） F(z)=f(0)×1+f(T)z1+f(2T)z2+.+f(nT)z"+. ■这是离散信号f*(①的Z变换展开形式，只要知道)在各个采样时 刻的数值，即可求得其Z变换。这种级数展开式是开放形式，有 无穷多项，应用少，通常写成闭合形式。 例1：求单位阶跃1(0的Z变换。 解：1()在任何采样点的值均为1，∴1(nT)=1 .Z1(0=z°+z1+z2+.+zn 公比为z；若满足<1，则有：

n 这是离散信号f *(t) 的Z变换展开形式，只要知道f(t)在各个采样时 刻的数值，即可求得其Z变换。这种级数展开式是开放形式，有 无穷多项，应用少，通常写成闭合形式。 Z变换的求法（续） F(z)  f (0)1  f (T)z 1  f (2T)z 2  f (nT )z n  解：1(t)在任何采样点的值均为1，  Z[1(t)]  z 0  z 1  z 2  z n  1 公比为 z ；若满足 1 1   z ，则有： 1(nT) 1 例1：求单位阶跃1(t)的 Z 变换

变换的求法（续） Z11(t)1= z-1 a>) 例2：求ft)=em(a>0)的Z变换。 解：f()=f(nT)=er F(z)=1+e-aTz-+e-2aTz2+. 公比为(erz)1若1e7z>l,则有： 1 F(z) 1-(e7z) &-e7(>e 如已知：=1，T=0.5,则F()= 2-e-05 z-0.606

解： anT f t f nT e  ( )  ( )  * F(z)  1  e aT z 1  e 2aT z 2  ( 1) 1 1 1 [1( )] 1       z z z z Z t 例2： ( )  (  0)  f t e a 求 at 的Z变换。 Z变换的求法（续） 公比为 1 ( )  e z aT 若 | e aT z | 1,则有： ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 aT aT aT z e z e z e z F z         如已知：a=1,T=0.5,则 0.606 ( ) 0.5      z z z e z F z

Z变换的求法（续） 2.部分分式法： 若F(s)= M(s) 则展开为部分分式和的形式为： N(s) F(s)= 而4 对应A,e S-Si S-Si 且4，e对应 -F()-4 2-e7 例3：求具有 F(s)= a 的t)的Z变换F(z)。 s(S+a) 解： 1 1 F(S)= 则f(t=1-em s(s+a) s+a

2. 部分分式法： ( ) ( ) ( ) N s M s 若F s  ，则展开为部分分式和的形式为： ( ) , 1    k i i i s s A F s s t i i i i A e s s A 对应  而 Z 变换的求法（续）      k i s T i s T s t i i i i i z e A z F z z e A z A e 1 且 对应 ； ( ) 例3：求具有 的f(t)的Z变换 F(z)。 解： at f t e  则 ( )  1

Z变换的求法（续） f(t)=1-e-ar F(z)= z(1-e-r) z-1 z-e-ar z2-(1+ea7)z+e-a7 例4：求f()=sin wtf的F(z) 0 11 解：F(s)= ，1 1 2js+j@ 2js-jo 1 F(3)= 2jz-elor 2jz-e-jor CURRE z(ejor-ejmT)】 zsinol 2jlz2-(ejor +e-joT)z+22-(2cos@T)z+1

aT aT aT aT z e z e z e z e z z z F z               (1 ) (1 ) 1 ( ) 2 例4：求f (t)  sint的F(z) 解：     s j s j j s j F s        1 2 1 1 2 1 ( ) 2 2 at f t e  ( )  1  (2cos ) 1 sin 2 [ ( ) 1] ( ) 2 1 2 1 ( ) 2 2                z T z z T j z e e z z e e z e z z e j z j F z j T j T j T j T j T j T         Z 变换的求法（续）

变换的求法（续） 3.留数计算法：（电气自学） 若已知)的拉氏变换为Fs)及其全部极点，则可 用留数法求得F(z): F8=/I-2Rer:-1毫风 英中ReF6,-内F)-在=时的 留数。 当FSs)具有一阶极点s=s时，其留数R为 R=ms-sIFW:-e

若已知f(t)的拉氏变换为F(s)及其全部极点si ,则可 用留数法求得F(z) ： 3. 留数计算法：（电气自学）         k i i k i i s T R z e z F z Z f t F s i 1 1 * ( ) [ ( )] Res[ ( ) ] Z变换的求法（续） 其中Res[ ( i ) s T ]为 i z e z F s  s T z e z F s  ( ) i 在s  s 时的 留数。 当F(s)具有一阶极点 i s  s 时，其留数Ri为 lim( )[ ( ) ] i sT s s i z e z R s s F s i    

变换的求法（续） 若Fs)具有q阶重极点(s=s,为重根)，则： d9> R= 2s-l 例5：求F(S)=, 5+3 的ft)的F(z) (s+1)(s+2) 解：F-容ReP,- 5+3 2 5+3 5+2z-e万-+ s+1z-e 5s=-2 2a Z z+e-7-2e-27 -e- -e-27 z2-(e7+e27)z+e37

lim [( ) ( ) ] ( 1)! 1 1 1 sT q q i q s s i z e z s s F s ds d q R i        若F(s)具有q阶重极点 (s  si为重根),则： Z变换的求法（续） 例5： ( 1)( 2) 3 ( )     s s s 求F s 的f (t)的F(z) 解： ( ) Re [ ( ) ] 1 s T n i i i z e z F z s F s    T T Ts s Ts s z e z z e z z e z s s z e z s s 2 1 2 2 1 3 2 3                 T T T T T z e e z e z z e e 2 2 3 2 ( ) [ 2 ]           