第三章李雅普诺夫稳定性分析 概述 个自动控制系统要毹常的工作,它必须首 先是一个稳定的系统。也就是说,当系统受到界 干扰后,虽然它的原有平衡状态相对稳定状态被破 AAAa 坏,但在外部干扰去掉后仍有能力自动地在另新 的平衡状态相对稳定状态下继续工作下去系统的 这一种本能通常叫做系的稳定性。例如常见的电 压自动调节系统中保持电机电压为恒定的能力电机
第三章 李雅普诺夫稳定性分析 $1 概 述 压自动调节系统中保持电机电压为恒定的能力电 机 这一种本能通常叫做系统的稳定性。例如常见的电 的平衡状态相对稳定状态下继续工作下去系统的 坏 但在外部干扰去掉后仍有能力自动地在另一新 干扰后 虽然它的原有平衡状态相对稳定状态被 破 先是一个稳定的系统。也就是说，当系统受到外 界 一个自动控制系统要能正常的工作，它必须首 , , ( ) , , , , ( )
自动调速系统中保持机转速为一定的能 力以及火箭飞行中保持舟为一定的能力 等都是。具有稳定性皊系统被称为稳定的 系统反之不具有稳定性的系被称为不稳 定系统。 由上面所讲的含义可见所谓系统的稳 定性就是系统受到小的外界干扰后系统的 偏差量的过渡过程的性假如系统在受 到外界干扰后其偏差量越来越大显然它不 可能是一个稳定的系统可见稳定性乃是 系统的一个动态属性
系统的一个动态属性。 可能是一个稳定的系统。可见稳定性乃是 到外界干扰后其偏差量越来越大显然它不 偏差量的过渡过程的收敛 性 假如系统在受 定性就是系统受到小的外界干扰后系统的 由上面所讲的含义可见所谓系统的稳 定系统。 系 统 反之不具有稳定性的系统被称为不稳 等都是。具有稳定性的系统被称为稳定的 力以及火箭飞行中保持航行为一定的能力 自动调速系统中保持电机转速为一定的能 , , , , , ;
im△x(t)≤5 t→a1 式中△x(t)→系统的被调量偏高其平位置的大小 →任意小的规定量 若所论的系统是一个线生定常系统可用 Routh - Hurwitz判据或 Nyquist稳定性判据对系统的稳定性进行判 断,但对于非线性或时变掰,虽说通过一些对系统熊转专化 方法,上述稳定判据尚能在特定的系统上应用但一般 来说,是很难胜任的现代控制系统的结构比复杂,而且大 都是一些非线性或时系统.即使是系统结构的本身往 往需要根据性能指标崾要求而加以改变,才熊适应新的情 AAAAA AAAAA 况,保证系统的正常穢最佳运行状态。在解)类系统的
况，保证系统的正常和最佳运行状态。在解决这类系统的 往需要根据性能指标的要求而加以改变，才能适应新的情 都是一些非线性或时变系 统 即使是系统结构的本身， 往 来 说 是很难胜任的现代控制系统的结构比较复杂 而且大 方 法 上述稳定判据尚能在某些特定的系统上应用但一般 断 但对于非线性或时变系统 虽说通过一些对系统的转 化 判据或 稳定性判据对系统的稳定性进行判 若所论的系统是一个线性定常系统 可 用 任意小的规定量 式 中 系统的被调量偏高其平衡位置的大小 . , . , , , , , - Hurwitz Nyquist , outh x(t) lim x(t) R t → → →
稳定性方面,最通用的法还是基于李雅普诎第二法 而得到的一些稳定性的锂里论。 1892年,李雅普诺夫就如倒断系统稳定性的问题 归纳成两种方法简称第一法和第二沟。第一法是通过求 解系统的微分方程,镛根据解的性质来判送系统的稳 定性,同时,他还指出排线性系统在工作点近的一定 ∠ 范围内可以用线性化了的微分方程来近似地加以描述 如果线性化的特征方的根全部是负实数根或者是 具有负实数部分的复根则该系统在工作点陈近周围是 稳定的,否则便是不稳的
稳定的，否则便是不稳定的。 具有负实数部分的复根，则该系统在工作点附近周围是 如果线性化的特征方程式的根全部是负实数根，或者是 范围内可以用线性化了的微分方程来近似地加以描述。 定性，同时，他还指出非线性系统在工作点附近的一定 解系统的微分方程，然后根据解的性质来判断系统的稳 归纳成两种方法简称第一法和第二法。第一法是通过求 年，李雅普诺夫就如何判断系统稳定性的问题， 而得到的一些稳定性的理论。 稳定性方面，最通用的方法还是基于李雅普诺夫第二法 ( ) 1892
李氏第二法(亦称直法去)的特点是不必 求解系统的微分方程以对系统的稳定性进 行分析和判断。它是能量的观点出发得来的 他指出:若系统有一伻衡点,则当→∞时, 系统运动到平衡点时,则系统积蓄的能量必达 到一个极小值。由此,李雅普诺夫创造了一个 辅助函数,可以用它量系统积蓄的能量, 但它并非是一个真正量函数。只要这 函数符合李雅普诺夫提出的稳定性理论准则 就能用来判断系统的稳性。因此应用李氏
就能用来判断系统的稳定性。因此应用李氏 函数符合李雅普诺夫提出的稳定性理论准则 但它并非是一个真正的能量函数。只要这一 辅助函数，可以用它来衡量系统积蓄的能量， 到一个极小值。由此，李雅普诺夫创造了一个 系统运动到平衡点时，则系统积蓄的能量必达 他指出：若系统有一个平衡点，则当 时 ， 行分析和判断。它是从能量的观点出发得来的 求解系统的微分方程就可以对系统的稳定性进 李氏第二法（亦称直接法）的特点是不必 t →
定理的关键在于能否捌到一个合适的辅 助函数,此函数通常称为李雅普若夫函 数 可惜直到目前为止还消一个简便 的寻求李氏函数的一舫方法,这也是在 AAAAAAAAAAXAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA 过去的一段相当长的时期内李氏稳定理 论未能得到广泛应用轶稳定理论未能 得到广泛应用的原因之,何况过去的 控制系统在结构上相对说较简单采用
控制系统在结构上相对来说较简单 采 用 得到广泛应用的原因之一，何况过去的 论未能得到广泛应用李氏稳定理论未能 过去的一段相当长的时期内李氏稳定理 的寻求李氏函数的一般方法，这也是在 可惜直到目前为止还没有一个简便 数 。 助函数 此函数通常称为李雅普诺夫函 定理的关键在于能否找到一个合适的辅 ,
前面提到的其他一些判据已是能解决问题 但正如前面所说的,曲系统的结构日益复杂 用其他已知的一些稳定判据对系统稳定性分析 遇到很大困难所以近期对李氏理论的开究分析 和应用又重为人们所動,而且已经有了许多卓 有成效的结果在如何寻求李氏函数面,也颇有 进展。 由于李氏理论用到了点,渐近稳定性 等概念所以就这一类问题作,然后再谈稳定 理论
理论。 等概念 所以就这一类问题作介绍 然后再谈稳定 由于李氏理论用到了平衡点，渐近稳定性 进展。 有成效的结果在如何寻求李氏函数方面 也颇有 和应用又重为人们所重视 而且已经有了许多卓 遇到很大困难所以近期对李氏理论的研究分析 用其他已知的一些稳定判据对系统稳定性分析 但正如前面所说的，由于系统的结构日益复杂 前面提到的其他一些稳定判据已是能解决问题 , , . , , ,
$2系统微分方程的奇异解 和稳定性的关系 二阶系统 为明了起见先从二阶系统谈起 dx x、c +A1(x, 0=xxp dt dt +A2(x,,) 式中A,A,为变化率及变量x的函数 dt
$2 系统微分方程的奇异解 和稳定性的关系 式 中 为变化率 及变量 的函数 为明了起见先从二阶系统谈起 一 二阶系统 x ( , ) ( , ) 0 (1) d , . . 1 2 2 1 2 2 dt dx A A x dt dx A x dt dx dt dx A x dt x + + = 一、二阶系统
1)式用两个2来描浏 上式可写成 aX =p(x1,x2) (2) dt dt O(xix) 2 (3) 由微分方程理论可知凡能使(2),(3)式等 于零的点就是奇点或说在奇点上变量1,X2 的变化率等于零即变量在奇点处无变优因此, 系统的微分方程的奇代表的就是系统
( , ) (3) dt dx ( , ) (2) dt dx 上式可写:成 若(1)式用两个变X量和X 来描述,则 1 2 2 1 2 1 1 2 Q x x p x x = = 系统的微分方程的奇点所代表的就是系统 的变化率等于零即变量在奇点处无变化因 此 于零的点就是奇点或说在奇点上变量 由微分方程理论可知凡能使 式 等 , . , , , , (2),(3) X1 X2
在运动过程中的平衡点所以在分析系 统的稳定性时必须明了奇点的分布状 况,才能对系统的稳定性在面的了解。 在不失一般性的情况下可以通过 坐标轴的转换将平衡移多至坐标原点的 位置然后在坐标原点附近泰勒定理 将原有函数展开为级数就可以近似地估 计出系统在平衡点附稳定性如何
计出系统在平衡点附近的稳定性如何。 将原有函数展开为级数就可以近似地估 位 置 然后在坐标原点附近利用泰勒定理 坐标轴的转换将平衡点移至坐标原点的 在不失一般性的情况下可以通过 况 才能对系统的稳定性有全面的了解。 统的稳定性时必须明了奇点的分布状 在运动过程中的平衡点所 以 在分析系 , , , , .