中国石油大学（华东）：《自动控制原理》课程教学资源（PPT课件讲稿）第十章 线性系统的状态空间综合法

第十章线性票统的状态空间综合法 $1线性系统的能控性与能观测性 能控性概念 举例如下:交流电桥 a mA u(t) 4

第十章 线性系统的状态空间综合法 mA 4 z 1 z 2 z 3 z a b ~u(t) 一、能控性概念 举例如下：交流电桥 $1 线性系统的能控性与能观测性

能控性的概念为: 如果存在一个不受约控制作用u(t)在有限的时 间间隔tr~t,能使系统从任意的始状态X(t)转 移到任意的终端(t),则称初始状态t)是能控的如果 系统的所有状态t)都是能控的,称系统态完全 能控的。 说:(1)定义仅要求输入u(t)能在有限的时间内,使 系统的状态由状态空间中的一点转移到另 任意状态。 (2)没有限制输出量的大小,没有规定转移轨迹

能控的。 系统的所有状态 都是能控的，称系统是状态完全 移到任意的终端 则称初始状态 是能控的 如 果 间间隔 内，能使系统从任意的初始状态 转 如果存在一个不受约束的控制作用 在有限的时 能控性的概念为： X(t ) X(t), X(t ) , (t ~ t ) X(t ) u(t) 0 0 f 0 0 说明：(1) 定义仅要求输入u(t)能在有限的时间内， 使 系统的状态由状态空间中的一点转移到另 一 任意状态。 (2) 没有限制输出量的大小，没有规定转移轨迹

平统的我袖碰和不由至t5L)作 面中的任意一成作为X(t)和任意一点作为 X()时均能找到这样的(t),则系统就是完全能控的 x(t0) to

时均能找到这样的 则系统就是完全能控的。 状态平面中的任意一点作 为 和任意一点作为 用下，系统的状态转移过程如下图所示。如果说 以 例：一个二维系统，在某一个 的 作 ( ) ( ), ( ) ( ) ( t t ) 0 0 f X t u t X t u t t f   t 1 x 2 x 0 t f t ( ) 0 x t ( ) f x t

线性系统的能控性 1、线性定常离散系统的能控空 性1)单输入n阶禽嫩系统能控的条件 x[+1)T]=AX(KT )+Bu(kT)(1) 式中叫()在k≤t≤(k+1)I内为常值, A为非奇异阵 人

  为非奇异阵 式 中 在 内为常值， A u(t) kT t (k 1)T X (k 1)T AX(kT ) Bu(kT ) (1) 0 0 0 0 0   + + = + 二、线性系统的能控性 1、线性定常离散系统的能控 性(1) 单输入n阶离散系统能控的条件

定理1单输入阶离散系统 x[k+1)To]=AX(KT )+Bu(kT, 状态完全能控的充要斜为: rankB AB A'B…A"B=n() 其中A为nxn的系统矩阵 B为n×1的控制矩阵; [BABA2B…A"B是nxn的能控性矩阵 当()式成立时,称矩阵对AB能控

      当 式成立时，称矩阵对 为能控。 是 的能控性矩阵。 为 的控制矩阵； 其 中 为 的系统矩阵 状态完全能控的充要条件为： 单输入 阶离散系统 (*) A B B AB A B A B n n B n 1 A n n rank B AB A B A B n (*) X (k 1)T AX(kT ) Bu(kT ) n 2 n-1 2 n-1 0 0 0    = + = +   定理1

例1设线性定常离散系统的犬态方程为 100 x[k+)m]=02-2kTn)+|0m(kr) 110 试分析该系统的能控性 解: rank B AB A2B」 1 「110 =rank0-2-2|=rank0-20=3 1-1-3 20-2 因此系统的状态完全能空

  试分析该系统的能控性。 例 设线性定常离散系统的状态方程为 u(kT ) 1 0 1 X(kT ) - 1 1 0 0 2 - 2 1 0 0 X (k 1)T 1. 0 0 0           +           + =   因此系统的状态完全能控 。 解 ： 3 2 0 - 2 0 - 2 0 1 1 0 rank 1 -1 - 3 0 - 2 - 2 1 1 1 rank rank B AB A B 2 =           =           =

例2设线性定常离散系统的犬态方程为: 12-11 x(k+1)T]=010XT)+|0m(kT) 1-43 试分析该系统的能控性 12-1 解:AB=0100=0 43‖1 3 08407「-4 A2B=010‖0 1-28 08 0-1 rank B AB A b=rank0 00=2<3 138 ∴该系统不完全能控,徹不能控

  试分析该系统的能控性。 例 设线性定常离散系统的状态方程为： u(kT ) 1 0 0 X(kT ) 1 - 4 3 0 1 0 1 2 - 1 X (k 1)T 2. 0 0 0           +           + = 3 0 1 1 0 0 1 - 4 3 0 1 0 1 2 -1 AB          − =                     解 ： =   该系统不完全能控，简称不能控。 2 3 1 3 8 0 0 0 0 -1 - 4 rank B AB A B rank 8 0 - 4 1 0 0 1 - 2 8 0 1 0 0 8 - 4 A B 2 2  =            =           =                     =

2、多输入n阶线性离散系统的能控性的条件 足座2设多输入阶离散系统为 X(k +1)T.=AX(kTo)+Bu(kTo) (1 状态完全能控的充要斜为: rank B AB AB A1B=n(2) 其中A为n×n的系统矩阵; B为n×r的控制矩阵; X是n×1的向量 u是r×1的控制向量 当(2)式成立时,称矩阵对B能控

    当 式成立时，称矩阵对 为能控。 是 的控制向量 是 的向量 为 的控制矩阵； 其 中 为 的系统矩阵； 状态完全能控的充要条件为： 设多输入 阶离散系统为 (2) A B u r 1 ; X n 1 ; B n r A n n rank B AB A B A B n (2) X (k 1)T AX(kT ) Bu(kT ) (1) n 2 n-1 0 0 0     = + = +  2、多输入n阶线性离散系统的能控性的条件 定理2

例3设多输入线性定常离薏系统的状态方程为 12 10 xk+]=|010r)+01ar, 103 试分析该系统的能控性 12-1T101「12 解:AB=01001=01 10300」10 12-1 04 AB=A(AB)01001=0 1031042 rank B AB A'B=3 该系统是状态完全能择的

  u(kT ) 0 0 0 1 1 0 X(kT ) 1 0 3 0 1 0 1 2 - 1 X (k 1)T 3. 0 0 0 试分析该系统的能控性。 例 设多输入线性定常离散系统的状态方程为           +           + =   该系统是状态完全能控的 。 解 ： rank B AB A B 3 4 2 0 1 0 4 1 0 0 1 1 2 1 0 3 0 1 0 1 2 -1 A B A(AB) 1 0 0 1 1 2 0 0 0 1 1 0 1 0 3 0 1 0 1 2 -1 AB 2 2  =           =                     =           =                     =

说明 1)当 B AB AZB…A"B能控性矩阵的秩为时,多输 入离散系统状态完全能,在计算该阵的秩时,不定要全部 计算,当计算到某步宠现上述条件已经成立,即可停止计算 (2)在计算行数少于列数的矩阵的秩时,应用下式较方便: rank|BABA2B…A"B = rank B AB A2B…A"BBAB…A"B」 3)当rnkB=r时,应用下式比较方便 rank B AB A2B…A"B=n

rank B AB A B A B n (3) rankB r , 2 n-r = =  当 时 应用下式比较方便： 说明：      2 n-1 n-1 T 2 n-1 rank B AB A B A B B AB A B rank B AB A B A B (2)    = 在计算行数少于列数的矩阵的秩时，应用下式比较方便：   , (1) B AB A B A B n 2 n-1 计算，当计算到某步发现上述条件已经成立，即可停止计算。 入离散系统状态完全能控 在计算该阵的秩时，不一定要全部 当  能控性矩阵的秩为 时，多输