D0I:10.13374/i.i8sn1001t53.2010.06.011 第32卷第6期 北京科技大学学报 Vol 32 No 6 2010年6月 Journal of Un iversity of Science and Technology Beijing Jun 2010 搅拌剪切作用下凝固组织演变过程的数学描述 朱光磊徐骏张志峰刘国钧石力开 北京有色金属研究总院国家有色金属复合材料工程技术研究中心，北京100088 摘要分析了凝固组织在搅拌剪切作用下的有效溶质分配系数，将凝固速度和搅拌转速作为凝固组织演变过程的主要因 素，建立了凝固组织演变与凝固速度和搅拌转速的数学模型.结果表明：搅拌转速和凝固速度对凝固组织的形貌有较大影响， 增大搅拌转速和降低凝固速度有利于提高形状因子.通过与实验结果比较，数学模型与实验结果基本一致· 关键词半固态；数学模型：形状因子：凝固速度：搅拌转速 分类号TG249.2TG1462 M athe atical description of solid ification structure evolution under shearing and stirring cond itions ZHU Guang-lei XU Jun ZHANG Zhi-feng LIU Guo-jn SHI Li-kai National Engneering&Technobgy Researh Center for Nonferous Metal Matrix Canposites Beijing General Research Institte for Non-fermous Metals Beijing 100088 China ABSTRACT The effective distribution coefficient of solidification stmucmres under shearing and stirring was investigated to under stand the effects of solid ification velcity and motation speed on soldification structures A mathematicalmodel of solidification stmucture evolution to solidification velocity and rotation speed was set up Siulation results show that the mopholgy of solidification structures is strongly dependent on solid ification velocity and motation speed W ith decreasing solid ification velocity or increasing rotation speed the shape factor of solidification structures increases The mathematical model shows a very good agreem ent w ith expermental results KEY WORDS sem i-solidk mathematicalmodel shape factos solidification velocitys motation speed 制备优质的半固态金属浆料是金属半固态加工 出了球晶组织是由液相直接形核长大而成，而非传 技术的关键所在，理想的浆料要求具有细小、等轴和 统的枝晶断裂而成，目前这些研究的重点是剪切速 分布均匀的球状凝固组织，这种组织可以通过机械 率低于1000s的浆料制备规律，而对高剪切速率 搅拌、电磁搅拌等方法获得.搅拌作用下产生紊流 条件下的状况研究较少 引起熔体的质量、动量和能量的传递，其传递速率比 双螺旋剪切为最典型的高剪切率剪切工艺，它 自然对流中的传递速率大得多，扩散、剪切应力和传 突破了现有的半固态浆料制备技术主要为低剪切率 热也比层流中的大得多，大大加速了熔体的传热和 下浆料制备技术，目前已经用来制备铝合金与镁合 传质的过程.至今，对此过程中凝固组织形成的 金半固态浆料，其指导思想是过热度合金凝固初期 原因乃存在多种不同解释，Doherty等[提出枝晶折 的连续冷却和剪切混合，主要是快速散去合金熔体 断破碎的机制，此机制在过去相当时间内处于主导 的过热，实现合金熔体的大量形核而获得组织细 地位.Pilling和Hellawall提出了弹性或塑性弯曲 化8] 理论而形成蔷薇状组织，张景新等[提出了在电磁 本文通过分析搅拌剪切作用下的有效溶质分配 搅拌下凝固组织漂移和混合抑制机制，L等[提 系数，将凝固速度与搅拌转速作为凝固组织演变过 收稿日期：2009-09-02 基金项目：国家重点基础研究规划资助项目(N。2006CB605203):国家高技术研究发展计划资助项目(N。2009AA03Z534) 作者简介：朱光磊(197)男，博士研究生：徐骏(1954)男，教授，博士生导师，Email xujur@grnm com
第 32卷 第 6期 2010年 6月 北 京 科 技 大 学 学 报 ＪｏｕｒｎａｌｏｆＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＢｅｉｊｉｎｇ Ｖｏｌ．32Ｎｏ．6 Ｊｕｎ．2010 搅拌剪切作用下凝固组织演变过程的数学描述 朱光磊 徐 骏 张志峰 刘国钧 石力开 北京有色金属研究总院国家有色金属复合材料工程技术研究中心北京 100088 摘 要 分析了凝固组织在搅拌剪切作用下的有效溶质分配系数将凝固速度和搅拌转速作为凝固组织演变过程的主要因 素建立了凝固组织演变与凝固速度和搅拌转速的数学模型．结果表明：搅拌转速和凝固速度对凝固组织的形貌有较大影响 增大搅拌转速和降低凝固速度有利于提高形状因子．通过与实验结果比较数学模型与实验结果基本一致． 关键词 半固态；数学模型；形状因子；凝固速度；搅拌转速 分类号 ＴＧ249．2；ＴＧ146．2 Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎｏｆｓｏｌｉｄｉｆｉｃａｔｉｏｎｓｔｒｕｃｔｕｒｅｅｖｏｌｕｔｉｏｎｕｎｄｅｒｓｈｅａｒｉｎｇａｎｄ ｓｔｉｒｒｉｎｇｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ＺＨＵＧｕａｎｇ-ｌｅｉＸＵＪｕｎＺＨＡＮＧＺｈｉ-ｆｅｎｇＬＩＵＧｕｏ-ｊｕｎＳＨＩＬｉ-ｋａｉ ＮａｔｉｏｎａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ＆ＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＲｅｓｅａｒｃｈＣｅｎｔｅｒｆｏｒＮｏｎｆｅｒｒｏｕｓＭｅｔａｌＭａｔｒｉｘＣｏｍｐｏｓｉｔｅｓＢｅｉｊｉｎｇＧｅｎｅｒａｌＲｅｓｅａｒｃｈＩｎｓｔｉｔｕｔｅｆｏｒＮｏｎ-ｆｅｒｒｏｕｓＭｅｔａｌｓ Ｂｅｉｊｉｎｇ100088Ｃｈｉｎａ ＡＢＳＴＲＡＣＴ Ｔｈｅｅｆｆｅｃｔｉｖｅｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｏｆｓｏｌｉｄｉｆｉｃａｔｉｏｎｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓｕｎｄｅｒｓｈｅａｒｉｎｇａｎｄｓｔｉｒｒｉｎｇｗａｓｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄｔｏｕｎｄｅｒ- ｓｔａｎｄｔｈｅｅｆｆｅｃｔｓｏｆｓｏｌｉｄｉｆｉｃａｔｉｏｎｖｅｌｏｃｉｔｙａｎｄｒｏｔａｔｉｏｎｓｐｅｅｄｏｎｓｏｌｉｄｉｆｉｃａｔｉｏｎｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ．Ａｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｍｏｄｅｌｏｆｓｏｌｉｄｉｆｉｃａｔｉｏｎｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｅｖｏｌｕｔｉｏｎｔｏｓｏｌｉｄｉｆｉｃａｔｉｏｎｖｅｌｏｃｉｔｙａｎｄｒｏｔａｔｉｏｎｓｐｅｅｄｗａｓｓｅｔｕｐ．Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅｍｏｒｐｈｏｌｏｇｙｏｆｓｏｌｉｄｉｆｉｃａｔｉｏｎｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ｉｓｓｔｒｏｎｇｌｙｄｅｐｅｎｄｅｎｔｏｎｓｏｌｉｄｉｆｉｃａｔｉｏｎｖｅｌｏｃｉｔｙａｎｄｒｏｔａｔｉｏｎｓｐｅｅｄ．Ｗｉｔｈｄｅｃｒｅａｓｉｎｇｓｏｌｉｄｉｆｉｃａｔｉｏｎｖｅｌｏｃｉｔｙｏｒｉｎｃｒｅａｓｉｎｇｒｏｔａｔｉｏｎｓｐｅｅｄ ｔｈｅｓｈａｐｅｆａｃｔｏｒｏｆｓｏｌｉｄｉｆｉｃａｔｉｏｎｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓｉｎｃｒｅａｓｅｓ．Ｔｈｅｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｍｏｄｅｌｓｈｏｗｓａｖｅｒｙｇｏｏｄａｇｒｅｅｍｅｎｔｗｉｔｈｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌｒｅｓｕｌｔｓ． ＫＥＹＷＯＲＤＳ ｓｅｍｉ-ｓｏｌｉｄ；ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｍｏｄｅｌ；ｓｈａｐｅｆａｃｔｏｒ；ｓｏｌｉｄｉｆｉｃａｔｉｏｎｖｅｌｏｃｉｔｙ；ｒｏｔａｔｉｏｎｓｐｅｅｄ 收稿日期：2009--09--02 基金项目：国家重点基础研究规划资助项目 （Ｎｏ．2006ＣＢ605203） ；国家高技术研究发展计划资助项目 （Ｎｏ．2009ＡＡ03Ｚ534） 作者简介：朱光磊 （1976— ）男博士研究生；徐 骏 （1954— ）男教授博士生导师Ｅ-ｍａｉｌ：ｘｕｊｕｎ＠ｇｒｉｎｍ．ｃｏｍ 制备优质的半固态金属浆料是金属半固态加工 技术的关键所在理想的浆料要求具有细小、等轴和 分布均匀的球状凝固组织这种组织可以通过机械 搅拌、电磁搅拌等方法获得．搅拌作用下产生紊流 引起熔体的质量、动量和能量的传递其传递速率比 自然对流中的传递速率大得多扩散、剪切应力和传 热也比层流中的大得多大大加速了熔体的传热和 传质的过程 ［1--3］．至今对此过程中凝固组织形成的 原因乃存在多种不同解释Ｄｏｈｅｒｔｙ等 ［4］提出枝晶折 断破碎的机制此机制在过去相当时间内处于主导 地位．Ｐｉｌｌｉｎｇ和 Ｈｅｌｌａｗａｌｌ ［5］提出了弹性或塑性弯曲 理论而形成蔷薇状组织．张景新等 ［6］提出了在电磁 搅拌下凝固组织漂移和混合 —抑制机制．Ｌｉ等 ［7］提 出了球晶组织是由液相直接形核长大而成而非传 统的枝晶断裂而成．目前这些研究的重点是剪切速 率低于 1000ｓ —1的浆料制备规律而对高剪切速率 条件下的状况研究较少． 双螺旋剪切为最典型的高剪切率剪切工艺它 突破了现有的半固态浆料制备技术主要为低剪切率 下浆料制备技术目前已经用来制备铝合金与镁合 金半固态浆料．其指导思想是过热度合金凝固初期 的连续冷却和剪切混合主要是快速散去合金熔体 的过热实现合金熔体的大量形核而获得组织细 化 ［8--9］． 本文通过分析搅拌剪切作用下的有效溶质分配 系数将凝固速度与搅拌转速作为凝固组织演变过 DOI :10．13374／j．issn1001—053x．2010．06．011
,760 北京科技大学学报 第32卷 程的主要因素，建立了凝固组织演变与凝固速度和 搅拌转速的数学模型，旨在揭示其本构联系， 1搅拌下凝固组织有效分配系数 凝固组织形态是表征半固态组织的重要参数之 一， Flem ings提出，伴随着搅转速增加或凝固速度 的减小，凝固组织依次为枝晶状、蔷薇状、等轴晶以 及近球状组织，为了表达凝固组织的圆整度，通常 采用形状因子或球形度来描述实际凝固组织与球形 凝固组织的差异程度，它定义为与实际凝固组织体 积相同的球体表面积和实际凝固组织的表面积之 RR,R 比].在本实验中，为了简化分析凝固组织形态， 放弃了使用球形度来衡量凝固组织形态，故此，提 心扩散层厚度：C,一固相浓度：C∞)一液相浓度：Cxy一界面溶 出了相对简化的形状因子$来描述凝固组织，其定 质浓度；Co一固相初始成分：R1一晶粒平均半径：R2一枝晶尖端 义为：S为B与B2的比值，其中B与R2分别表示 半径：R3一晶粒最终半径 凝固等效半径和枝晶尖端半径，反映凝固组织接近 图1凝固组织形状与溶质分布图 理想球状的程度，S=1表示凝固组织为球状，最为 Fig I Schematic of a solidification stmuctme shape and solte distri bution 理想；S数值越小，圆整度越差，越趋近枝晶组织. 在宏观尺度上，通常固相在过冷熔体中生长被 为距离固界面的距离，C)为界面x处的溶质浓 简化为平衡凝固模式、Scheil模式和扩散控制模式 度，R。为剪切速率常数，v为凝固速度（界面向前推 (liquid diffiusion control LDC)三种形式.平衡凝固 移的速度) 模式是一种理想模式，只有在极其缓慢的凝固过程 其边界条件为：当x=0时， 中，溶质原子在固、液相中完全扩散，Scheil模式，即 aCd二=0 (1-k)Cx十D1x (2) 液相中溶质完全扩散，固相中无扩散的生长模式. 在冷却速度比较小或者液相存在搅拌时，固相在过 当xo时， 冷熔体中可以用这种生长模式，扩散控制模式，即 C→Cee) (3) 固相无扩散，液相中溶质扩散不完全模式.在比较 通过对上面方程进行求解可以知道，其对应的 快的冷却速度下，固相在过冷熔体中遵循这个模式， 有效分配系数为： 其局限是没有考虑到对流效应，忽略了沿界面的横 Cs→ k-Gxo 1-(1-k) 4 (4) 向流动对溶质传输的贡献；在边界层之内切向速度 要比径向速度大，因此它对于对流传输的贡献非常 3+1+DR 明显山.它将界面前沿的溶质带走，从而使界面浓 度降低，同时使边界层厚度减小，即边界层厚度要远 根据Cocharan和Golstein!]研究发现熔体在 远小于由DC扩散边界层模型所确定的边界层厚 搅拌剪切作用下，存在着R。=Kn的关系，n为熔体 度，半固态浆料中初生相的生长通常可视为在过冷 搅拌转速，K为比例系数，因此上面方程可以写为： 熔体中的生长，但其生长条件不符合上述任何一个 k C. C1-(1一k) 4 (5) 模型条件，很难直接使用其中一个模型描述其长大过 程.图1为凝固组织形状与固一液界面溶质分布图 3+ 1+ 4KDin 参照Yem和Tile的(the lteral fow consid- N 2 ering)模型来分析凝固组织有效分配系数，则一维 式中，k为溶质有效分配系数，它把溶质的分布与 稳态传输方程可以写为： 晶体的生长条件有效地联系起来，当凝固速度·一 子Co十u0x 定，搅拌转速n=0时，k接近上而当n接近无穷大 Di a aCyd一 时，k趋近于k当搅拌转速n一定，凝固速度v为 R[1一exp(一px)](C一C))=0(I)无穷大时，k接近1而凝固速度v=0时，k趋近于 式中，p为参数，D,为溶质在液相中的扩散系数，xk其与由DC模型（下式）所确定的有效分配系数
北 京 科 技 大 学 学 报 第 32卷 程的主要因素建立了凝固组织演变与凝固速度和 搅拌转速的数学模型旨在揭示其本构联系． 1 搅拌下凝固组织有效分配系数 凝固组织形态是表征半固态组织的重要参数之 一．Ｆｌｅｍｉｎｇｓ ［1］提出伴随着搅转速增加或凝固速度 的减小凝固组织依次为枝晶状、蔷薇状、等轴晶以 及近球状组织．为了表达凝固组织的圆整度通常 采用形状因子或球形度来描述实际凝固组织与球形 凝固组织的差异程度．它定义为与实际凝固组织体 积相同的球体表面积和实际凝固组织的表面积之 比 ［10］．在本实验中为了简化分析凝固组织形态 放弃了使用球形度来衡量凝固组织形态．故此提 出了相对简化的形状因子 Ｓ来描述凝固组织．其定 义为：Ｓ为 Ｒ1与 Ｒ2的比值．其中 Ｒ1与 Ｒ2分别表示 凝固等效半径和枝晶尖端半径反映凝固组织接近 理想球状的程度．Ｓ＝1表示凝固组织为球状最为 理想；Ｓ数值越小圆整度越差越趋近枝晶组织． 在宏观尺度上通常固相在过冷熔体中生长被 简化为平衡凝固模式、Ｓｃｈｅｉｌ模式和扩散控制模式 （ｌｉｑｕｉｄｄｉｆｆｕｓｉｏｎｃｏｎｔｒｏｌＬＤＣ）三种形式．平衡凝固 模式是一种理想模式只有在极其缓慢的凝固过程 中溶质原子在固、液相中完全扩散．Ｓｃｈｅｉｌ模式即 液相中溶质完全扩散固相中无扩散的生长模式． 在冷却速度比较小或者液相存在搅拌时固相在过 冷熔体中可以用这种生长模式．扩散控制模式即 固相无扩散液相中溶质扩散不完全模式．在比较 快的冷却速度下固相在过冷熔体中遵循这个模式． 其局限是没有考虑到对流效应忽略了沿界面的横 向流动对溶质传输的贡献；在边界层之内切向速度 要比径向速度大因此它对于对流传输的贡献非常 明显 ［11］．它将界面前沿的溶质带走从而使界面浓 度降低同时使边界层厚度减小即边界层厚度要远 远小于由 ＬＤＣ扩散边界层模型所确定的边界层厚 度．半固态浆料中初生相的生长通常可视为在过冷 熔体中的生长但其生长条件不符合上述任何一个 模型条件很难直接使用其中一个模型描述其长大过 程．图1为凝固组织形状与固 —液界面溶质分布图． 参照 Ｙｅｎ和 Ｔｉｌｌｅｒ ［12］的 （ｔｈｅｌａｔｅｒａｌｆｌｏｗｃｏｎｓｉｄ- ｅｒｉｎｇ）模型来分析凝固组织有效分配系数则一维 稳态传输方程可以写为： Ｄｌ ∂ 2Ｃｌ（ｘ） ∂ｘ 2 ＋υ ∂Ｃｌ（ｘ） ∂ｘ — Ｒ′∞ ［1—ｅｘｐ（—ｐｘ） ］ （Ｃｌ（ｘ） —Ｃｌ（∞ ） ）＝0 （1） 式中ｐ为参数Ｄｌ为溶质在液相中的扩散系数ｘ δ—扩散层厚度；Ｃｓ—固相浓度；Ｃｌ（∞ ）—液相浓度；Ｃｌ（ｘ）—界面溶 质浓度；Ｃ0—固相初始成分；Ｒ1—晶粒平均半径；Ｒ2—枝晶尖端 半径；Ｒ3—晶粒最终半径 图 1 凝固组织形状与溶质分布图 Ｆｉｇ．1 Ｓｃｈｅｍａｔｉｃｏｆａｓｏｌｉｄｉｆｉｃａｔｉｏｎｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓｈａｐｅａｎｄｓｏｌｕｔｅｄｉｓｔｒｉ- ｂｕｔｉｏｎ 为距离固--界面的距离Ｃｌ（ｘ）为界面 ｘ处的溶质浓 度Ｒ′∞为剪切速率常数υ为凝固速度 （界面向前推 移的速度 ）． 其边界条件为：当 ｘ＝0时 υ（1—ｋ）Ｃｌ（ｘ） ＋Ｄｌ ∂Ｃｌ（ｘ） ∂ｘ ＝0 （2） 当 ｘ→∞时 Ｃｌ（ｘ）→Ｃｌ（∞ ） （3） 通过对上面方程进行求解可以知道其对应的 有效分配系数为： ｋｅ＝ Ｃｓ Ｃｌ（ｘ） ＝ ｋ 1—（1—ｋ） 4 3＋ 1＋ 4ＤｌＲ′∞ υ 2 （4） 根据 Ｃｏｃｈａｒａｎ和 Ｇｏｌｄｓｔｅｉｎ ［13］研究发现熔体在 搅拌剪切作用下存在着 Ｒ′∞ ＝Ｋｎ的关系ｎ为熔体 搅拌转速Ｋ为比例系数．因此上面方程可以写为： ｋｅ＝ Ｃｓ Ｃｌ（ｘ） ＝ ｋ 1—（1—ｋ） 4 3＋ 1＋ 4ＫＤｌｎ υ 2 （5） 式中ｋｅ为溶质有效分配系数它把溶质的分布与 晶体的生长条件有效地联系起来．当凝固速度 υ一 定搅拌转速 ｎ＝0时ｋｅ接近 1；而当 ｎ接近无穷大 时ｋｅ趋近于 ｋ．当搅拌转速 ｎ一定凝固速度 υ为 无穷大时ｋｅ接近 1；而凝固速度 υ＝0时ｋｅ趋近于 ｋ．其与由 ＬＤＣ模型 （下式 ）所确定的有效分配系数 ·760·
第6期 朱光磊等：搅拌剪切作用下凝固组织演变过程的数学描述 ,761. 式相比，可以看出能够更直接地反映外界搅拌转速 将式(12)代入式(9)得： 和凝固速度v对界面溶质再分配的影响作用， s-k(1-k) C k k(1-k) (12) k 6) C k+(1一k)eTD,) 将式(6)代入到式(13)中，可以得到搅拌下凝固组 织的形态数学模型： LDC模型将对流对溶质分配的影响简单归结 为一个实验中很难测量的σ，无法做出定量分析，而 S=1 (13) 3+1+ 4KDin 只能够进行近似推算.即搅拌对流越强时，扩散层 2 o越小，故C,越小：凝固速度U越大时，C越向C 趋近.即小凝固速度·和强搅拌（在强迫对流下，溶 3模拟结果 质边界层厚度变小)使得k趋近于k大凝固速度 采用上面凝固组织的形态数学模型，可以描述 和弱搅拌使得k趋近于1当凝固过程稳定时，凝 AZ91D镁合金在双螺旋搅拌条件下形状因子随搅 固速度·和扩散层σ为定值，溶质有效分配系数k 拌转速和凝固速度的趋势(D,=5.8×109m2. 保持不变，因此，采用式(7)只能间接近似推算，而 g1),根据Cocharan和Gokdstein实验数据，取K 式(6)能对搅拌过程中的搅拌转速n和凝固速度v约为0.01)图2为搅拌转速对形状因子的变化曲 条件下凝固组织生长的溶质分配进行定量分析， 线(v分别为25和10m·s),当凝固速度一定 2搅拌下凝固组织的形貌 时，形状因子呈现出随着搅拌转速增大而增大的趋 势，其中初始阶段速度变化对形状因子的影响最为 根据凝固组织形貌随着搅拌转速和凝固速度 明显，而后续阶段过程对形状因子影响变化不大， 之间的关系，可以得到理想边界条件下，极小凝固 图3为凝固速度对形状因子的变化曲线(n分别为 速度与极强搅拌作用下，R和R近似相等，形状因 100300和500mn)若搅拌转速一定时，随着 子$值约为上：而极大凝固速度和无任何搅拌作用 凝固速度的升高，形状因子先快速降低，但达到一定 下，B远小于B2,形状因子S也远小于1因此，根 临界值后，下降趋势明显减缓，图4为搅拌转速与 据上面的关系，可以合理假设RR与C)/ 凝固速度对形状因子的三维曲线图，它立体描述了 Cro之间存在下面的关系： 搅拌转速与凝固速度共同作用下对形状因子变化趋 装 (7) 势，由图可见，增大搅拌转速或减小凝固速度都有 利于形状的增大， 式中，a为待定系数，因为C)=C,,Cro= 1.0 aCv=k aC.么得到C0上 0.9 S-R-ak+8 0.8 (8) 07 式中，$为积分系数，其边界条件如下. (1)当k=k时，液相在极强搅拌下完全混合且 Q凝固速度2Hm% 0凝固速度5um 极小凝固速度的情况下，组织以球状方式生长，此时 05, +瓷凝固速度10um, 组织中B和B2几乎相等，S值约为1.此时可 以得： 0.1020030040050060700800900100 搅拌转速rmin) a+8=1 (9) (2)当k=1时，液相中完全没有任何搅拌且极 图2搅拌转速n对凝固组织形状因子S的影响 Fig 2 Effect of mtation speed n on the shape factor S of solidifica- 大凝固速度，只能以完全扩散的生长模式生长，组织 tion stnichres 中R远远小于R2,S近似等零.此时可以得： ak十3=0 (10) 为了更加直观地描述凝固组织形态参数与凝固 将式(10)代入式(11)得： 速度和搅拌转速的关系，凝固组织形态简化为六角 星形，采用以上建立的凝固组织形态参数与凝固速 (11) 度和搅拌转速的数学模型，描述凝固组织的动态生
第 6期 朱光磊等： 搅拌剪切作用下凝固组织演变过程的数学描述 式相比可以看出能够更直接地反映外界搅拌转速 ｎ和凝固速度 υ对界面溶质再分配的影响作用． Ｃｓ Ｃｌ ＝ ｋ ｋ＋（1—ｋ）ｅｘｐ — υ Ｄｌ σ ＝ｋｅ （6） ＬＤＣ模型将对流对溶质分配的影响简单归结 为一个实验中很难测量的 σ无法做出定量分析而 只能够进行近似推算．即搅拌对流越强时扩散层 σ越小故 Ｃｓ越小；凝固速度 υ越大时Ｃｓ越向 Ｃ0 趋近．即小凝固速度 υ和强搅拌 （在强迫对流下溶 质边界层厚度变小 ）使得 ｋｅ趋近于 ｋ；大凝固速度 和弱搅拌使得 ｋｅ趋近于 1．当凝固过程稳定时凝 固速度 υ和扩散层 σ为定值溶质有效分配系数 ｋｅ 保持不变．因此采用式 （7）只能间接近似推算而 式 （6）能对搅拌过程中的搅拌转速 ｎ和凝固速度 υ 条件下凝固组织生长的溶质分配进行定量分析． 2 搅拌下凝固组织的形貌 根据凝固组织形貌随着搅拌转速 ｎ和凝固速度 υ之间的关系可以得到理想边界条件下极小凝固 速度与极强搅拌作用下Ｒ1和 Ｒ2近似相等形状因 子 Ｓ值约为 1；而极大凝固速度和无任何搅拌作用 下Ｒ1远小于 Ｒ2形状因子 Ｓ也远小于 1．因此根 据上面的关系可以合理假设∂Ｒ1／∂Ｒ2 与∂Ｃｌ（∞ ）／ ∂Ｃｌ（0）之间存在下面的关系 ［14］： ∂Ｒ1 ∂Ｒ2 ＝α ∂Ｃｌ（∞ ） ∂Ｃｌ（0） （7） 式中α为待定系数因为∂Ｃｌ（∞ ） ＝∂Ｃｓ／ｋｅ∂Ｃｌ（0） ＝ ∂Ｃｓ／ｋ得到 ∂Ｃｌ（∞ ） ∂Ｃｌ（0） ＝ ｋ ｋｅ ． Ｓ＝ Ｒ1 Ｒ2 ＝α ｋ ｋｅ ＋β （8） 式中β为积分系数其边界条件如下． （1）当 ｋｅ＝ｋ时液相在极强搅拌下完全混合且 极小凝固速度的情况下组织以球状方式生长此时 组织中 Ｒ1 和 Ｒ2 几乎相等Ｓ值约为 1．此时可 以得： α＋β＝1 （9） （2）当 ｋｅ＝1时液相中完全没有任何搅拌且极 大凝固速度只能以完全扩散的生长模式生长组织 中 Ｒ1远远小于 Ｒ2Ｓ近似等零．此时可以得： αｋ＋β＝0 （10） 将式 （10）代入式 （11）得： β＝ ｋ ｋ—1 α＝— 1 ｋ—1 （11） 将式 （12）代入式 （9）得： Ｓ＝ ｋ（1—ｋｅ） ｋｅ（1—ｋ） （12） 将式 （6）代入到式 （13）中 可以得到搅拌下凝固组 织的形态数学模型： Ｓ＝1— 4 3＋ 1＋ 4ＫＤｌｎ υ 2 （13） 3 模拟结果 采用上面凝固组织的形态数学模型可以描述 ＡＺ91Ｄ镁合金在双螺旋搅拌条件下形状因子随搅 拌转速和凝固速度的趋势 （Ｄｌ＝5∙8×10 —9 ｍ 2· ｓ —1［15］根据 Ｃｏｃｈａｒａｎ和 Ｇｏｌｄｓｔｅｉｎ ［13］实验数据取 Ｋ 约为 0∙01）．图 2为搅拌转速对形状因子的变化曲 线 （υ分别为 2、5和 10μｍ·ｓ —1 ）．当凝固速度一定 时形状因子呈现出随着搅拌转速增大而增大的趋 势其中初始阶段速度变化对形状因子的影响最为 明显而后续阶段过程对形状因子影响变化不大． 图 3为凝固速度对形状因子的变化曲线 （ｎ分别为 100、300和 500ｒ·ｍｉｎ —1 ）．若搅拌转速一定时随着 凝固速度的升高形状因子先快速降低但达到一定 临界值后下降趋势明显减缓．图 4为搅拌转速与 凝固速度对形状因子的三维曲线图它立体描述了 搅拌转速与凝固速度共同作用下对形状因子变化趋 势．由图可见增大搅拌转速或减小凝固速度都有 利于形状的增大． 图 2 搅拌转速 ｎ对凝固组织形状因子 Ｓ的影响 Ｆｉｇ．2 ＥｆｆｅｃｔｏｆｒｏｔａｔｉｏｎｓｐｅｅｄｎｏｎｔｈｅｓｈａｐｅｆａｃｔｏｒＳｏｆｓｏｌｉｄｉｆｉｃａ- ｔｉｏｎｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ 为了更加直观地描述凝固组织形态参数与凝固 速度和搅拌转速的关系凝固组织形态简化为六角 星形采用以上建立的凝固组织形态参数与凝固速 度和搅拌转速的数学模型描述凝固组织的动态生 ·761·
,762 北京科技大学学报 第32卷 1.0 d搅拌转速100rmin 1.00 08 o搅拌转速300rmin 0.95 ◆搅拌转速500r·min -0.90 0.6 0.75 600 20 0.2 搅拌转速rmn 400 15 200 10 5 00 凝固速度ums 20 40 60 80 疑固速度m） 图4搅拌转速与凝固速度"对凝固组织形状因子S的影响 图3凝固速度v对凝固组织形状因子S的影响 Fig 4 Effects of solidl ification velcity and motation speed on the Fig 3 Effect of solidification velocity v on the shape factor S of so shape factor of sold ification stnctures ldification stmucs 4数学模型与实验结果对比 长过程，图5为其部分模拟结果：降低凝固速度或 提高搅拌转速有利于凝固组织形状因子S的改善 为了验证数学模型可靠性，考察了AZ91D镁合 =10m =10 um-s.n=500 r.min r=10 um.s.n=800r.min =8 um.s,n=100 r.min- =8 um.s,n=500 r.min r=8 um.s.n=800 r-min" =5am.s,n=100 r.min =5 um.s.n=500 r.min r=5um.s.n=800 r.min- 图5搅拌转速n和凝固速度v对凝固组织形状因子S的模拟结果 Fig5 Smulation results of the shape factorS of solidification stmuchres at different solidlification vebcities v and motation speeds n 金在双螺旋搅拌连续冷却过程中搅拌转速和凝固速 固时间比值，如下式所示： 度对凝固组织形貌的影响，即在搅拌转速和凝固速 v=R (14) 度各异的条件下，得到形貌不同的凝固组织，实验 t 中凝固速度为凝固组织已凝固半径值与其对应的凝 图6为凝固速度为v=10m·s,搅拌转速n= 100m 100 um 图6AZ91D合金不同搅拌转速n的微观组织.(a)n=300rmm;(b)n=800mim1 Fig 6 Solidlification stnuictures ofAZ91D allby at different motation speeds (a)n=300rmn (b)n-=800rmn
北 京 科 技 大 学 学 报 第 32卷 图 3 凝固速度 υ对凝固组织形状因子 Ｓ的影响 Ｆｉｇ．3 ＥｆｆｅｃｔｏｆｓｏｌｉｄｉｆｉｃａｔｉｏｎｖｅｌｏｃｉｔｙυｏｎｔｈｅｓｈａｐｅｆａｃｔｏｒＳｏｆｓｏ- ｌｉｄｉｆｉｃａｔｉｏｎｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ 长过程．图 5为其部分模拟结果：降低凝固速度或 提高搅拌转速有利于凝固组织形状因子 Ｓ的改善． 图 4 搅拌转速 ｎ与凝固速度 υ对凝固组织形状因子 Ｓ的影响 Ｆｉｇ．4 Ｅｆｆｅｃｔｓｏｆｓｏｌｉｄｉｆｉｃａｔｉｏｎｖｅｌｏｃｉｔｙａｎｄｒｏｔａｔｉｏｎｓｐｅｅｄｏｎｔｈｅ ｓｈａｐｅｆａｃｔｏｒｏｆｓｏｌｉｄｉｆｉｃａｔｉｏｎｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ 4 数学模型与实验结果对比 为了验证数学模型可靠性考察了 ＡＺ91Ｄ镁合 图 5 搅拌转速 ｎ和凝固速度 υ对凝固组织形状因子 Ｓ的模拟结果 Ｆｉｇ．5 ＳｉｍｕｌａｔｉｏｎｒｅｓｕｌｔｓｏｆｔｈｅｓｈａｐｅｆａｃｔｏｒＳｏｆｓｏｌｉｄｉｆｉｃａｔｉｏｎｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓａｔｄｉｆｆｅｒｅｎｔｓｏｌｉｄｉｆｉｃａｔｉｏｎｖｅｌｏｃｉｔｉｅｓυａｎｄｒｏｔａｔｉｏｎｓｐｅｅｄｓｎ 图 6 ＡＺ91Ｄ合金不同搅拌转速 ｎ的微观组织．（ａ）ｎ＝300ｒ·ｍｉｎ—1；（ｂ） ｎ＝800ｒ·ｍｉｎ—1 Ｆｉｇ．6 ＳｏｌｉｄｉｆｉｃａｔｉｏｎｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓｏｆＡＺ91Ｄａｌｌｏｙａｔｄｉｆｆｅｒｅｎｔｒｏｔａｔｉｏｎｓｐｅｅｄｓ：（ａ）ｎ＝300ｒ·ｍｉｎ—1；（ｂ） ｎ＝800ｒ·ｍｉｎ—1 金在双螺旋搅拌连续冷却过程中搅拌转速和凝固速 度对凝固组织形貌的影响即在搅拌转速和凝固速 度各异的条件下得到形貌不同的凝固组织．实验 中凝固速度为凝固组织已凝固半径值与其对应的凝 固时间比值如下式所示： υ＝ Ｒ ｔ （14） 图6为凝固速度为 υ＝10μｍ·ｓ —1搅拌转速ｎ＝ ·762·
第6期 朱光磊等：搅拌剪切作用下凝固组织演变过程的数学描述 ,763. 300mm和800mn的微观凝固组织，两者的 参考文献 形状因子分别约为0.67、0.75.分析发现：搅拌转速 [1]Fkm ings M C.Behavior of metal alloys in the som isolid state 对晶粒的形貌有较大影响，增大搅拌转速有利于提 Mcta1 Trans A1991,22(5):957 高形状因子.图7为凝固速度为v=10m·s,搅 [2]K itkwood D H.Sem isolid metal processng Int Mater Rev 1994. 39(5):173 拌转速n对形状因子S的实验结果与模型结果，由 [3]Fan Z Sem isolid metal processing Int Mater Rev 2002 47(2): 图可知，两者基本一致.综上所述，利用该模型能预 49 测凝固组织在凝固速度与搅拌转速不同条件下的生 [4]Doherty R D.Lee H I Feest E Micmostnichire of stircast mer 长形态 als Mater Sci Eng A 1984.65(1):181 0.85 [5]Pilling J HellwellA.Mechanical defomation of dendrites by fu- 。模型曲线 i flow:Metall Ma ter Trans A 1996 27(1):229 0.80 4实验数据 [6]Zhang JX.Zhang K.Lu G J et al Fomation mechanismn of non- 0.75 dendritic stmucture n semisolid metals pmduced by ES process Chin J NonfermousMet 2000 10(4):511 (张景新，张奎，刘国钧，等。电磁搅拌制备半固态材料非枝晶 0.65 组织的形成机制.中国有色金属学报，200010(4)：511) 0.60 [7]Li T Lin X,Huang W.Morphological evolution during soliifica- tion under stirring Acta Mater 2006.54(18):4815 0.55 [8]Fan Z Li G.H itchcock M.Solid ification behavior under in tensive n.598200300400500600700800900100 fored convection Mater Sci Eng A 2005.413/414.229 搅拌转地rmm [9]JiS Fan Z BevisM J Sen isolid pmcessing of engineering alloys by a wn semw theanoulding pmcess Mater Sci Eng A 2001. 图7不同搅拌转速时形状因子S的实验结果与模型结果比较 299.210 (=10m·s1) [10]Xu L P.Shao G J Ren Z M.et al Samniquantitative mathemati- Fig 7 Comparison beween sinulated and experinental mesults of the cal description of evolution of non dendritic stmce of akm inm shape factor S of solidification stnichires at different motation speeds n alby under electmmagnetic stirring condition Chin J Nonferous (v=10ms1) Mct200212(1):52 (许珞萍，邵光杰，任忠鸣，等.电磁搅拌作用下非树枝晶铝 5结论 合金组织演变过程的数学描述.中国有色金属学报，200212 (1):52) (1)分析了凝固组织在搅拌作用下的有效溶质 [11]Martinez R A.Kama A.Flem ings M C Spheridal particle sta- 分配系数，建立凝固组织形态参数随凝固速度与搅 bility in san isolidl pmcessing Metall Mater Trans A 2006,37 拌转速的数学模型， (9):2807 [12]Yen C T Tiler W A.Incorporating convection into onedimen- S=1 sional solute redistrbution during frm the melt I The steady- 3+ 4KDn state sohtion J Cryst G mow th 1992 118(1/2):259 [13]Cochran W G.Golstein The flw due to a mtatng dise Math (2)分析发现，搅拌转速和凝固速度对晶粒的 Pme Cambridge Philos Soo 1934,30(3):365 形貌有较大影响，增大搅拌转速和降低凝固速度有 [14]Wu S W u X.X iao Z A model of gmow th momphology for sem isol i metals Acta Mater 2004.52(12):3519 利于提高形状因子，数学模型值基本吻合实验结果， [15]JiS Roberts K.Fan Z Isothemal coarsening of fine and spheri 利用该模型能预测凝固组织在凝固速度与搅拌转速 cal particles n sem isolid suurry of Mg9A H1Zn alloy under low 不同条件下的生长形态， shear Scripta Mater 2006.55(11):9
第 6期 朱光磊等： 搅拌剪切作用下凝固组织演变过程的数学描述 300ｒ·ｍｉｎ —1和 800ｒ·ｍｉｎ —1的微观凝固组织两者的 形状因子分别约为 0∙67、0∙75．分析发现：搅拌转速 对晶粒的形貌有较大影响增大搅拌转速有利于提 高形状因子．图 7为凝固速度为 υ＝10μｍ·ｓ —1搅 拌转速 ｎ对形状因子 Ｓ的实验结果与模型结果．由 图可知两者基本一致．综上所述利用该模型能预 测凝固组织在凝固速度与搅拌转速不同条件下的生 长形态． 图 7 不同搅拌转速 ｎ时形状因子 Ｓ的实验结果与模型结果比较 （υ＝10μｍ·ｓ—1） Ｆｉｇ．7 Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｂｅｔｗｅｅｎｓｉｍｕｌａｔｅｄａｎｄｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌｒｅｓｕｌｔｓｏｆｔｈｅ ｓｈａｐｅｆａｃｔｏｒＳｏｆｓｏｌｉｄｉｆｉｃａｔｉｏｎｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓａｔｄｉｆｆｅｒｅｎｔｒｏｔａｔｉｏｎｓｐｅｅｄｓｎ （υ＝10μｍ·ｓ—1） 5 结论 （1） 分析了凝固组织在搅拌作用下的有效溶质 分配系数建立凝固组织形态参数随凝固速度与搅 拌转速的数学模型 Ｓ＝1— 4 3＋ 1＋ 4ＫＤｌｎ υ 2 ． （2） 分析发现搅拌转速和凝固速度对晶粒的 形貌有较大影响增大搅拌转速和降低凝固速度有 利于提高形状因子数学模型值基本吻合实验结果． 利用该模型能预测凝固组织在凝固速度与搅拌转速 不同条件下的生长形态． 参 考 文 献 ［1］ ＦｌｅｍｉｎｇｓＭ Ｃ．Ｂｅｈａｖｉｏｒｏｆｍｅｔａｌａｌｌｏｙｓｉｎｔｈｅｓｅｍｉｓｏｌｉｄｓｔａｔｅ． ＭｅｔａｌｌＴｒａｎｓＡ199122（5）：957 ［2］ ＫｉｒｋｗｏｏｄＤＨ．Ｓｅｍｉｓｏｌｉｄｍｅｔａｌｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ．ＩｎｔＭａｔｅｒＲｅｖ1994 39（5）：173 ［3］ ＦａｎＺ．Ｓｅｍｉｓｏｌｉｄｍｅｔａｌｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ．ＩｎｔＭａｔｅｒＲｅｖ200247（2）： 49 ［4］ ＤｏｈｅｒｔｙＲＤＬｅｅＨＩＦｅｅｓｔＥ．Ｍｉｃｒｏｓｔｒｕｃｔｕｒｅｏｆｓｔｉｒ-ｃａｓｔｍｅｔ- ａｌｓ．ＭａｔｅｒＳｃｉＥｎｇＡ198465（1）：181 ［5］ ＰｉｌｌｉｎｇＪＨｅｌｌａｗｅｌｌＡ．Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎｏｆｄｅｎｄｒｉｔｅｓｂｙｆｌｕ- ｉｄｆｌｏｗ．ＭｅｔａｌｌＭａｔｅｒＴｒａｎｓＡ199627（1）：229 ［6］ ＺｈａｎｇＪＸＺｈａｎｇＫＬｉｕＧＪｅｔａｌ．Ｆｏｒｍａｔｉｏｎｍｅｃｈａｎｉｓｍｏｆｎｏｎ- ｄｅｎｄｒｉｔｉｃｓｔｒｕｃｔｕｒｅｉｎｓｅｍｉ-ｓｏｌｉｄｍｅｔａｌｓｐｒｏｄｕｃｅｄｂｙＥＳｐｒｏｃｅｓｓ． ＣｈｉｎＪＮｏｎｆｅｒｒｏｕｓＭｅｔ200010（4）：511 （张景新张奎刘国钧等．电磁搅拌制备半固态材料非枝晶 组织的形成机制．中国有色金属学报200010（4）：511） ［7］ ＬｉＴＬｉｎＸＨｕａｎｇＷ．Ｍｏｒｐｈｏｌｏｇｉｃａｌｅｖｏｌｕｔｉｏｎｄｕｒｉｎｇｓｏｌｉｄｉｆｉｃａ- ｔｉｏｎｕｎｄｅｒｓｔｉｒｒｉｎｇ．ＡｃｔａＭａｔｅｒ200654（18）：4815 ［8］ ＦａｎＺＬｉｕＧＨｉｔｃｈｃｏｃｋＭ．Ｓｏｌｉｄｉｆｉｃａｔｉｏｎｂｅｈａｖｉｏｒｕｎｄｅｒｉｎｔｅｎｓｉｖｅ ｆｏｒｃｅｄｃｏｎｖｅｃｔｉｏｎ．ＭａｔｅｒＳｃｉＥｎｇＡ2005413／414：229 ［9］ ＪｉＳＦａｎＺＢｅｖｉｓＭＪ．Ｓｅｍｉ-ｓｏｌｉｄｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇｏｆｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｌｌｏｙｓ ｂｙａｔｗｉｎ-ｓｃｒｅｗｒｈｅｏｍｏｕｌｄｉｎｇｐｒｏｃｅｓｓ．ＭａｔｅｒＳｃｉＥｎｇＡ2001 299：210 ［10］ ＸｕＬＰＳｈａｏＧＪＲｅｎＺＭｅｔａｌ．Ｓｅｍｉ-ｑｕａｎｔｉｔａｔｉｖｅｍａｔｈｅｍａｔｉ- ｃａｌｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎｏｆｅｖｏｌｕｔｉｏｎｏｆｎｏｎ-ｄｅｎｄｒｉｔｉｃｓｔｒｕｃｔｕｒｅｏｆａｌｕｍｉｎｕｍ ａｌｌｏｙｕｎｄｅｒｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃｓｔｉｒｒｉｎｇｃｏｎｄｉｔｉｏｎ．ＣｈｉｎＪＮｏｎｆｅｒｒｏｕｓ Ｍｅｔ200212（1）：52 （许珞萍邵光杰任忠鸣等．电磁搅拌作用下非树枝晶铝 合金组织演变过程的数学描述．中国有色金属学报200212 （1）：52） ［11］ ＭａｒｔｉｎｅｚＲＡＫａｒｍａＡＦｌｅｍｉｎｇｓＭ Ｃ．Ｓｐｈｅｒｏｉｄａｌｐａｒｔｉｃｌｅｓｔａ- ｂｉｌｉｔｙｉｎｓｅｍｉｓｏｌｉｄｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ．ＭｅｔａｌｌＭａｔｅｒＴｒａｎｓＡ200637 （9）：2807 ［12］ ＹｅｎＣＴＴｉｌｌｅｒＷ Ａ．Ｉｎｃｏｒｐｏｒａｔｉｎｇｃｏｎｖｅｃｔｉｏｎｉｎｔｏｏｎｅ-ｄｉｍｅｎ- ｓｉｏｎａｌｓｏｌｕｔｅｒｅｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｄｕｒｉｎｇｆｒｏｍｔｈｅｍｅｌｔ：Ｉ．Ｔｈｅｓｔｅａｄｙ- ｓｔａｔｅｓｏｌｕｔｉｏｎ．ＪＣｒｙｓｔＧｒｏｗｔｈ1992118（1／2）：259 ［13］ ＣｏｃｈｒａｎＷ ＧＧｏｌｄｓｔｅｉｎＳ．Ｔｈｅｆｌｏｗｄｕｅｔｏａｒｏｔａｔｉｎｇｄｉｓｃ．Ｍａｔｈ ＰｒｏｃＣａｍｂｒｉｄｇｅＰｈｉｌｏｓＳｏｃ193430（3）：365 ［14］ ＷｕＳＷｕＸＸｉａｏＺ．Ａｍｏｄｅｌｏｆｇｒｏｗｔｈｍｏｒｐｈｏｌｏｇｙｆｏｒｓｅｍｉ-ｓｏｌ- ｉｄｍｅｔａｌｓ．ＡｃｔａＭａｔｅｒ200452（12）：3519 ［15］ ＪｉＳＲｏｂｅｒｔｓＫＦａｎＺ．Ｉｓｏｔｈｅｒｍａｌｃｏａｒｓｅｎｉｎｇｏｆｆｉｎｅａｎｄｓｐｈｅｒｉ- ｃａｌｐａｒｔｉｃｌｅｓｉｎｓｅｍｉｓｏｌｉｄｓｌｕｒｒｙｏｆＭｇ-9Ａｌ-1Ｚｎａｌｌｏｙｕｎｄｅｒｌｏｗ ｓｈｅａｒ．ＳｃｒｉｐｔａＭａｔｅｒ200655（11）：9 ·763·
