兰州交通大学：《数控技术及编程》课程教学资源（教案讲义）06

数控技术及应用教案及讲稿 上部分：数控技术及编程 第六讲 一、备课教案 适用专业机械设计制造及其自动化讲次 上课 第六讲时间 年月日节 第二章计算机数控系统 第二节计算机数控系统的基本原理 教 五。插补原理 内容 4.数字增量插补（时间标量插补） 解数字增量插补（时间标量 (3)圆孤插补算法 补 中圆弧插补算法 六、位置控制原理 理解位置控制原理 要 七、加减速控制 1.前加减速控制 了解前、后加减速控制的概念及 2.后加减速控制 经别：理解、后 教学实施手段 效果记录 数字增量插补（时间标量插补）中 课堂讲授 √ 前、后加减速控制的概念及两者的 课堂讨论 点 区别： 现场示教 前、后加减速控制算法。 小结讲评 难 数字增量插补（时间标量插补）中 其它 位置控制原理 前、后加减速控制算法。 教具 CAI,黑板 推预 陈德道主编数控技术及应用北京 荐复 参习 国防工业出版社，2009 学 考 董玉红主编机床数控技术.哈尔滨 书务 哈尔滨工业大学出版社2003 兰州交通大学机电工程学院

数控技术及应用教案及讲稿 上部分：数控技术及编程 兰州交通大学机电工程学院 1 第六讲 一、备课教案 适用专业 机械设计制造及其自动化 讲次 第六讲 上课 时间 年 月 日 节 教 学 内 容 提 纲 及 要 求 第二章 计算机数控系统 第二节 计算机数控系统的基本原理 五．插补原理 4．数字增量插补（时间标量插补） 理解数字增量插补（时间标量插 补）中圆弧插补算法 （3）圆弧插补算法 六、位置控制原理 理解位置控制原理 七、加减速控制 1．前加减速控制 了解前、后加减速控制的概念及 两者的区别；理解前、后加减速 2．后加减速控制 控制算法 重 点 数字增量插补（时间标量插补）中 圆弧插补算法； 位置控制原理； 前、后加减速控制的概念及两者的 区别； 前、后加减速控制算法。 教学实施手段 效果记录 课堂讲授 √ 课堂讨论 √ 现场示教 小结讲评 难 点 数字增量插补（时间标量插补）中 圆弧插补算法； 位置控制原理； 前、后加减速控制算法。 其 它 教具 CAI，黑板 推 预 荐 复 参 习 考 任 书 务 陈德道主编.数控技术及应用.北京: 国防工业出版社,2009 董玉红主编.机床数控技术.哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社,2003 教 学 后 记

数控技术及应用教案及讲稿 上部分：数控技术及编程 二、讲稿 第二章计算机数控系统 第二节计算机数控系统的基本原理 3.圆弧插补算法 采用时间分割法进行圆弧插补的基本方法是用内接弦线逼近圆弧。只要在插补过程 中根据半径合理选用进给速度下，就可以使逼近精度满足要求。 同直线插补一样，在设计 弧插补程序时，为] 简化程序设计，通常将插补计算坐 标系的原点选在被插补圆弧的圆心上，如图所示，以第一象限顺圆插补(G02)为例讨 论圆弧插补原理。图中P(x,y,)为圆上某一插补点A,P(x,y)为下一插补点C, 直线段AC(AC=△L)为本次的合成进给量，D为AC的中点，6为本次插补的逼近 误差。由图的几何关系可得： P.(x y) 02 0 图2-26 时间分割法圆弧插补 △4BCx△ODym 那么有 =+h 则有 () 由于△y,、6都为未知数，故对上式进行如下近似处理： 由于△L很小，可用Ay代替4y,: 由于R)8,可用R代R.6。 由此有 cosY,≈(y-Ay/2)/R 式中的△y是由上一次插补运算中自动生成的。但是在开始时是没有Ay。的，可采 用如下算法求取该值： △xo=L/R Ay%=△Lx。/R 式中(x。、)为插补圆弧的起点。 兰州交通大学机电工程学院

数控技术及应用教案及讲稿 上部分：数控技术及编程 兰州交通大学机电工程学院 2 二、讲稿 第二章 计算机数控系统 第二节 计算机数控系统的基本原理 3．圆弧插补算法 采用时间分割法进行圆弧插补的基本方法是用内接弦线逼近圆弧。只要在插补过程 中根据半径合理选用进给速度 F，就可以使逼近精度满足要求。 同直线插补一样，在设计圆弧插补程序时，为了简化程序设计，通常将插补计算坐 标系的原点选在被插补圆弧的圆心上，如图所示，以第一象限顺圆插补（G02）为例讨 论圆弧插补原理。图中 ( , ) i i i P x y 为圆上某一插补点 A， ( , ) i+1 i+1 i+1 P x y 为下一插补点 C， 直线段 AC（ AC = L ）为本次的合成进给量，D 为 AC 的中点，  为本次插补的逼近 误差。由图的几何关系可得： 图 2-26 时间分割法圆弧插补 ABC  ODy m 那么有 2 i i i     = + 则有 ( ) ) 2 ( ( ) ) 2 cos cos(      −  − = − =  = + R y Y R y i i m i i 由于 i y 、 都为未知数，故对上式进行如下近似处理： 由于 L 很小，可用  i−1 y 代替 i y ； 由于 R ，可用 R 代 R- 。 由此有 cos i  (yi − yi−1 2) R 式中的  i−1 y 是由上一次插补运算中自动生成的。但是在开始时是没有 0 y 的，可采 用如下算法求取该值： x0 = L y0 R y0 = Lx0 / R 式中（ 0 x 、 0 y ）为插补圆弧的起点。 则

数控技术及应用数案及讲癌 上部分：数控技术及编程 △x,=△Lcosy,=AL(y,-Ay-/2)/R △y,=y,-VR2-(x,+△x,)2 整理得 △x,=△Ly,-Ay-/2)/R H=+△ 式1 1=VR2-x3 △y=y-y 同直线插补一样，除上述算法外，还可以用下面的算法，即 Ay,=△L(x,+△x-/2)/R yi =y:-Ayi x=VR2-yn 式2 △x,=x1-X 由算式1、2中由第一个增量求得第二个增量的算法是 △y=y-VR2-(x,+△x,)月 式3 △x,=R2-y,-△y,)2-x 式4 分别对式3、4两边微分得 X.+△x: dAy,= dAx =x/ydax, 式5 VR2-(x,+△x,) dAx,= y-△y day,=ym/day, 式6 NR2-0y-△y) 由此可得，当xy时： 对式5有： d(△y,Kd(△x, 该算法对误差有收敛作用： 对式6有： ld(Ax,(Ay,) 该算法对误差有放大作用。 通过上面的分析，可得出如下结论： 当x,2y,时，采用先算△x的方法 当,时，采用先算△y的方法 该结论的实质是在插补计算时总是先算大的坐标增量，后算小的坐标增量。若再考 虑不同的象限，不同插补方向(G02G03),则插补公式将有16组。为了程序设计的方 便，可引入引导坐标的概念，即在采样周期内，将进给增量值较大的坐标定义为引导坐 标G,进给增量值较小的坐标定义为非引导坐标N。由于引入引导坐标的概念， 便将插 补计算公式归纳为2组 第一组：(A) △G,=△L(N,-△Na/2)/R G1=G+△G N=R-Gi AN,=N,-N,. 第二组：(B) 兰州交通大学机电工程学院

数控技术及应用教案及讲稿 上部分：数控技术及编程 兰州交通大学机电工程学院 3 2 2 1 ( ) cos ( / 2)/ i i i i i i i i y y R x x x L L y y R  = − − +  =  =  −  −  整理得 1 2 1 2 1 1 1 ( / 2)/ + + + + −  = − = − = +   =  −  i i i i i i i i i i i y y y y R x x x x x L y y R 式 1 同直线插补一样，除上述算法外，还可以用下面的算法，即 i i i i i i i i i i i x x x x R y y y y y L x x R  = − = − = −   =  +  + + + + − 1 2 1 2 1 1 1 ( / 2)/ 式 2 由算式 1、2 中由第一个增量求得第二个增量的算法是 2 2 ( ) i i i i y = y − R − x + x 式 3 i i i i x = R − y − y − x 2 2 ( ) 式 4 分别对式 3、4 两边微分得 i i i i i i i i i d x x y d x R x x x x d y  =  − +  +   = +1 +1 2 2 ( ) 式 5 i i i i i i i i i d y y x d y R y y y y d x  =  − −  −   = +1 +1 2 2 ( ) 式 6 由此可得，当 +1 +1  i i x y 时： 对式 5 有： ( ) ( ) i i d y  d x 该算法对误差有收敛作用； 对式 6 有： ( ) ( ) i i d x  d y 该算法对误差有放大作用。 通过上面的分析，可得出如下结论： 当 i i x  y 时，采用先算 x 的方法； 当 i i x  y 时， 采用先算 y 的方法。 该结论的实质是在插补计算时总是先算大的坐标增量，后算小的坐标增量。若再考 虑不同的象限，不同插补方向（G02/G03），则插补公式将有 16 组。为了程序设计的方 便，可引入引导坐标的概念，即在采样周期内，将进给增量值较大的坐标定义为引导坐 标 G，进给增量值较小的坐标定义为非引导坐标 N。由于引入引导坐标的概念，便将插 补计算公式归纳为 2 组。 第一组：（A） 1 2 1 2 1 1 1 ( / 2)/ + + + + −  = − = − = +   =  −  i i i i i i i i i i i N N N N R G G G G G L N N R 第二组：（B）

数控技术及应用教案及讲稿 上部分：数控技术及编程 △G,=△L(W,+△N-/2)/R G1=G,-△G, N=R2-G AN,=N-N, 顺圆插补(G02)和逆圆插补(G03)在各象限采用公式的情况如图2-27所示。 网))7圆[插补冬免限采用公式情识 在程序设计中，将A、B两组公式设计成子程序，并在其输入输出部分进行引导坐 标与实际坐标的相互转换（包括进给方向）处理。这样可大大简化程序的设计。 在圆弧插补公式推导中，采用了近似计算，csy,值必然产生偏差，这样求得的插 补值也会有误差，但是由于在算法中采用了公式 y=R2-x2 则所求的插补点的坐标(x,y)总可保持在圆上，因此对算法的稳定性和轨迹精度没有 影响。 六、位置控制原理 位置控制数据流程如图2-13所示。位置控制处理主要进行各进给轴跟随误差的计 算，并进行调节处理，其输出为位移速度控制指令。 补出 14 反资他置增品 #.n △2△： 图2-13位置控制转换流程 位置控制完成以下几步计 (1)计算新的位置指令坐标值： X商=X相+△X Ys=Y+AY 兰州交通大学机电工程学院

数控技术及应用教案及讲稿 上部分：数控技术及编程 兰州交通大学机电工程学院 4 i i i i i i i i i i i N N N N R G G G G G L N N R  = − = − = −   =  +  + + + + − 1 2 1 2 1 1 1 ( / 2)/ 顺圆插补（G02）和逆圆插补（G03）在各象限采用公式的情况如图 2-27 所示。 图 2-27 圆弧插补各象限采用公式情况 在程序设计中，将 A、B 两组公式设计成子程序，并在其输入输出部分进行引导坐 标与实际坐标的相互转换（包括进给方向）处理。这样可大大简化程序的设计。 在圆弧插补公式推导中，采用了近似计算， i cos 值必然产生偏差，这样求得的插 补值也会有误差，但是由于在算法中采用了公式 2 1 2 i+1 = − i+ y R x 则所求的插补点的坐标 ( , ) i+1 i+1 x y 总可保持在圆上，因此对算法的稳定性和轨迹精度没有 影响。 六、位置控制原理 位置控制数据流程如图 2-13 所示。位置控制处理主要进行各进给轴跟随误差的计 算，并进行调节处理，其输出为位移速度控制指令。 图 2-13 位置控制转换流程 位置控制完成以下几步计算。 （1）计算新的位置指令坐标值： 1 1 1 1 1 1 Y Y Y X X X = +  = +  新 旧 新 旧

数控技术及应用数案及讲癌 上部分：数控技术及编程 (2)计算新的位置实际坐标值： X2新=X2相+△X2 =Y,+△Y △X3=X题-X2 △Y3=Y-Y (4)计算速度指令值 =f△X) V.=f(AY) 这里)是位置环的调节控制算法，具体的算法视具体系统而定。这一步在有些系 统中采用硬件来实现的 。Vx、送给伺服驱动单元，控制电机驱动俩执行部件以某 速度移动一个距离，以实现CNC装置的轨迹控制。 七、加减速控制 在CNC装置中，为了保证机床在启动或停止时不产生冲击、失步、超程或振荡， 必须对送到进给电机的进给脉冲频率或电压进行加减速控制。即在机床加速启动时，保 证加在伺服电机上的进给脉冲频率或电压逐渐增大而当机床减速停止时，保证加在同 服电机上的进给脉冲频率或电压逐渐减小 在CNC装置中，加减速控制多数都采用软件来实现，这样给系统带来了较大的灵 活性。这种用软件实现的加减速控制可以放在插补前进行，也可以放在插补后进行。放 在插补前的加减速控制称为前加减速控制，放在插补后的加减速控制称为后加减速控 制，如图2-28所示。 指令速度 Ar Ar 咸速 后加减速 插补 器 Ay 后加减速 几几 坐标位置x,y 图2-28前加减速和后加减速 前加诚速控制的优点是仅对合成速度一一编程指令速度F进行控制，所以它不会影响实 际插补输出的位置精度。前加减速控制的缺点是需要预测减速点，而这个减速点要根据 实际刀具位置与程序段终点之间的距离来确定，而这种预测工作需要完成的计算量较 大。 后加减速控制与前加减速控制相反，它是对各运动轴分别进行加减速控制，这种加 减速控制不需专门预测减速点，而是在插补输出为零时开始减速，并通过一定的时间延 迟逐渐靠近程序段终点。后加减速的缺点是，由于它对各运动坐标轴分别进行控制，所 以在加减速控制以后，实际的各坐标轴的合成位置就可能不准确。但是这种影响仅在加 速或减速过程中才会有，当系统进入匀速状态时，这种影响就不存在了。 (一入、前加减速控制 兰州交通大学机电工程学院

数控技术及应用教案及讲稿 上部分：数控技术及编程 兰州交通大学机电工程学院 5 （2）计算新的位置实际坐标值： 2 2 2 2 2 2 Y Y Y X X X = +  = +  新 旧 新 旧 （3）计算跟随误差（指令位置指-实际位置值）： 新 新 新 新 3 1 2 3 1 2 Y Y Y X X X  = −  = − （4）计算速度指令值 ( ) ( ) 3 3 V f Y V f X y x =  =  这里 f(.)是位置环的调节控制算法，具体的算法视具体系统而定。这一步在有些系 统中采用硬件来实现的。Vx、Vy 送给伺服驱动单元，控制电机驱动俩执行部件以某一 速度移动一个距离，以实现 CNC 装置的轨迹控制。 七、加减速控制 在 CNC 装置中，为了保证机床在启动或停止时不产生冲击、失步、超程或振荡， 必须对送到进给电机的进给脉冲频率或电压进行加减速控制。即在机床加速启动时，保 证加在伺服电机上的进给脉冲频率或电压逐渐增大；而当机床减速停止时，保证加在伺 服电机上的进给脉冲频率或电压逐渐减小。 在 CNC 装置中，加减速控制多数都采用软件来实现，这样给系统带来了较大的灵 活性。这种用软件实现的加减速控制可以放在插补前进行，也可以放在插补后进行。放 在插补前的加减速控制称为前加减速控制，放在插补后的加减速控制称为后加减速控 制，如图 2-28 所示。 前加减速控制的优点是仅对合成速度——编程指令速度 F 进行控制，所以它不会影响实 际插补输出的位置精度。前加减速控制的缺点是需要预测减速点，而这个减速点要根据 实际刀具位置与程序段终点之间的距离来确定，而这种预测工作需要完成的计算量较 大。 后加减速控制与前加减速控制相反，它是对各运动轴分别进行加减速控制，这种加 减速控制不需专门预测减速点，而是在插补输出为零时开始减速，并通过一定的时间延 迟逐渐靠近程序段终点。后加减速的缺点是，由于它对各运动坐标轴分别进行控制，所 以在加减速控制以后，实际的各坐标轴的合成位置就可能不准确。但是这种影响仅在加 速或减速过程中才会有，当系统进入匀速状态时，这种影响就不存在了。 （一）、前加减速控制 图 2-28 前加减速和后加减速 ' x ' y y x ' F 坐标位置 x y, 指令速度 F 前 加 减 速 插 补 器 后加减速 后加减速 精 插 补

数控技术及应用教案及讲稿 上部分：数控技术及编程 1稳定速府和凝速府 所谓稳定速度，就是系统处于稳定状态时，每次插补一次（一个插补周期）的进给 量。在CNC装置中，零件程序段的速度指令命令或快速进给（手动或自动）时所设分 的快速指令进给速度F(mm/min),需要转换成每个插补周期的进给量。另外，为了调 速方便，设置了快速进给倍率开关、切削进给倍率开关等。这样，在计算稳定速度时， 还需要将这些因素考虑在内。稳定速度的计算公式如下： TKF J= (2.6) 60×1000 式中，为稳定速度(mm);T为插补周期(ms):F为指令进给速度(mm/min):K 为速度系数，包括快速倍率、切削进给倍率等。 除此之外，稳定速度的计算完成以后，进行速度限制的检查，如果稳定速度超过了 由参数设定的最大速度，则取限制的最大速度为稳定速度， 所谓瞬时速度，即系统在每个插补周期的进给量。当系统处于稳定状态时，瞬时速 度∫等于稳定速度∫当系统处于加速（或减速）状态时，∫<∫。 2。线性加减速处理 当机床启动、停止或在切削加工过程中改变进给速度时，系统自动进行线性加碱速 处理。加碱速速率分别为进给和切削进给两种，它们必须作为机床的参数预先设置好。 设指令进给速度为F(mm/min),加速到F所需要的时间为tms,则加/碱速度a可按下 式计算： a-=1.67x10-2[um/ms)2] 1)加速处理 系统每插补一次都要进行稳定速度、瞬时速度和加/减速处理。当计算的稳定速度∫ 大于原来的稳定速度∫时，则要加速。每加速一次，瞬时速度为 f=厂+a 新的瞬时速度∫，参加插补计算，对各坐标轴进行分配。这样，一直到新的稳定速 度为 系统每进行一次插补运算，都要进行终点判别，计算出离开终点的瞬时距离S,并 根据本程序段的减速标志，检查是否已到达减速区域，若以到达，则开始减速。当稳定 速度f和设定的加减速度a确定后，减速区域S可由下式求得： S= 若本段程序段要减速，且S,≤S,则设置减速状态标志，开始减速处理。每减速一次， 瞬时速度为 f=厂-a 新的瞬时速度参加插补运算，对各坐标轴进行分配，一直减速到新的稳定速度 或减到零。若要提前一段距离开始减速，则可根据需要，将提前量△S作为参数预先设 定好，由下式计算： 3.终点判别处理 在每次插补运算结束后，系统都要根据求出的各轴的插补进给量，来计算刀具中心 兰州交通大学机电工程学院 6

数控技术及应用教案及讲稿 上部分：数控技术及编程 兰州交通大学机电工程学院 6 1．稳定速度和瞬时速度 所谓稳定速度，就是系统处于稳定状态时，每次插补一次（一个插补周期）的进给 量。在 CNC 装置中，零件程序段的速度指令命令或快速进给（手动或自动）时所设定 的快速指令进给速度 F（mm/min），需要转换成每个插补周期的进给量。另外，为了调 速方便，设置了快速进给倍率开关、切削进给倍率开关等。这样，在计算稳定速度时， 还需要将这些因素考虑在内。稳定速度的计算公式如下： 60 1000 s TKF f =  （2 - 6） 式中， s f 为稳定速度（mm）；T 为插补周期（ms）；F 为指令进给速度（mm/min）；K 为速度系数，包括快速倍率、切削进给倍率等。 除此之外，稳定速度的计算完成以后，进行速度限制的检查，如果稳定速度超过了 由参数设定的最大速度，则取限制的最大速度为稳定速度。 所谓瞬时速度，即系统在每个插补周期的进给量。当系统处于稳定状态时，瞬时速 度 i f 等于稳定速度 s f 当系统处于加速（或减速）状态时， i s f f  。 2．线性加减速处理 当机床启动、停止或在切削加工过程中改变进给速度时，系统自动进行线性加/减速 处理。加/减速速率分别为进给和切削进给两种，它们必须作为机床的参数预先设置好。 设指令进给速度为 F（mm/min）,加速到 F 所需要的时间为 t(ms)，则加/减速度 a 可按下 式计算： 2 2 1.67 10 ( ) F a m ms t  − =      1）加速处理 系统每插补一次都要进行稳定速度、瞬时速度和加/减速处理。当计算的稳定速度 ' s f 大于原来的稳定速度 s f 时，则要加速。每加速一次，瞬时速度为 i i 1 f f at + = + 新的瞬时速度 i 1 f + 参加插补计算，对各坐标轴进行分配。这样，一直到新的稳定速 度为止。 2）减速处理 系统每进行一次插补运算，都要进行终点判别，计算出离开终点的瞬时距离 i S ，并 根据本程序段的减速标志，检查是否已到达减速区域，若以到达，则开始减速。当稳定 速度 s f 和设定的加减速度 a 确定后，减速区域 S 可由下式求得： 2 2 s f S a = 若本段程序段要减速，且 i S S  ，则设置减速状态标志，开始减速处理。每减速一次， 瞬时速度为 i i 1 f f at + = − 新的瞬时速度 i 1 f + 参加插补运算，对各坐标轴进行分配，一直减速到新的稳定速度 或减到零。若要提前一段距离开始减速，则可根据需要，将提前量 S 作为参数预先设 定好，由下式计算： 2 2 s f S S a = +  3．终点判别处理 在每次插补运算结束后，系统都要根据求出的各轴的插补进给量，来计算刀具中心

数控技术及应用教案及讲稿 上部分：数控技术及编程 离开本程序段终点的距离，然后进行终点判别。在即将到达终点时，设置相应的标志。 若本段程序要减速，则还需要检查是否己达到减速区域并开始减速。 终点判别处理可分为直线和圆弧两种情况。 1)直线插补时S的计算 在图229中，设刀具沿若OP作直线运动，P为程序段终点，A为某一瞬时点。在 插补计算中，己求得X和Y的插补进给量△x和△y。因此，A点的瞬时坐标值可求得： =x+△x y=y-+Ay P(x.y) A a】 图2.29直线插补终点判别 设X为长轴，其增量值为已知，则刀具在X方向上离终点的距离为一x。因为长 轴与刀具移动方向的夹角是定值，且cOsα的值己计算好。因此，瞬时点A离终点P的 距离为 1 2)圆弧插补时S,的计算 (1)当程序圆弧所对应的圆心角大于π时，瞬时点离圆弧终点的直线距离越来越 小，如图2-31(a)所示。A(x,y)为顺圆插补时圆弧上的某一瞬时点，P(x,y)为圆弧 的终点，AM为A点在X方向离终点的距离，AM=-x:MP为P点在Y方向离终 点的距离，MP=y-:AP=S。以MP为基准，则A点离终点的距离为 S.-MPl cosa-ly-y cosa (2)程编圆弧弧长的对应圆心角大于π时，设A点为圆弧AP的起点的弧长所对应 的圆心角等于x时的分界点，C点为插补到终点的弧长所对应的圆心角小干的装一瞬 时点，如图2-30(b)所示。显然。此时瞬时点离圆弧终点的距离S,的变化规律是，当 从圆弧起点A开始插补到B点时，S越来越大，直到S等于直径：当插补越过分界点B 后，S,越来越小，与图2-30(a)相同。对于该种情况，计算S时首先要判断S,的变化 趋势。S,若是变大，则不进行终点判别处理，直等到越过分界点：若S,变小，再进行终 点判别处理，如图2-30所示。 兰州交通大学机电工程学院

数控技术及应用教案及讲稿 上部分：数控技术及编程 兰州交通大学机电工程学院 7 离开本程序段终点的距离，然后进行终点判别。在即将到达终点时，设置相应的标志。 若本段程序要减速，则还需要检查是否已达到减速区域并开始减速。 终点判别处理可分为直线和圆弧两种情况。 1）直线插补时 i S 的计算 在图 2-29 中，设刀具沿着 OP 作直线运动，P 为程序段终点，A 为某一瞬时点。在 插补计算中，已求得 X 和 Y 的插补进给量 x 和 y 。因此，A 点的瞬时坐标值可求得： 1 1 i i i i x x x y y y − −  = +    = +  图 2- 29 直线插补终点判别 设 X 为长轴，其增量值为已知，则刀具在 X 方向上离终点的距离为 i x x − 。因为长 轴与刀具移动方向的夹角是定值，且 cos 的值已计算好。因此，瞬时点 A 离终点 P 的 距离为 1 cos i i S x x  = − 2）圆弧插补时 i S 的计算 （1）当程序圆弧所对应的圆心角大于  时，瞬时点离圆弧终点的直线距离越来越 小，如图 2-31（a）所示。 A x y ( i i , ) 为顺圆插补时圆弧上的某一瞬时点， P x y ( , ) 为圆弧 的终点，AM 为 A 点在 X 方向离终点的距离， AM x x = − i ；MP 为 P 点在 Y 方向离终 点的距离， MP y y = − i ； AP S = i 。以 MP 为基准，则 A 点离终点的距离为 1 1 cos cos i i S MP y y   = = − （2）程编圆弧弧长的对应圆心角大于  时，设 A 点为圆弧 AP 的起点的弧长所对应 的圆心角等于  时的分界点，C 点为插补到终点的弧长所对应的圆心角小于  的某一瞬 时点，如图 2-30（b）所示。显然。此时瞬时点离圆弧终点的距离 i S 的变化规律是，当 从圆弧起点 A 开始插补到 B 点时， i S 越来越大，直到 i S 等于直径；当插补越过分界点 B 后， i S 越来越小，与图 2-30（a）相同。对于该种情况，计算 i S 时首先要判断 i S 的变化 趋势。 i S 若是变大，则不进行终点判别处理，直等到越过分界点；若 i S 变小，再进行终 点判别处理，如图 2-30 所示

数控技术及应用教案及讲稿 上部分：数控技术及编程 ---10 r'Ft.y) 图2-30圆弧插补终点判别 (a)圆心角小于π：(b)圆心角大于π (二)、后加减速控制 1.指数加减速控制算法 进行指数加减速控制的目的的将启动或停止时的速度随着时间按指数规律上升或 下降，如图2-31所示。 0 加速匀速D减速C t 图2-31指数加减速 指数加减速控制速度与时间的关系是： 加速时 r(0=y1-e 匀速时 V()=' 减速时 )-e7 式中，T为时间常数：Vc稳定速度。 图2-32是 省数加减速控制算法的原理图，在图中△表示采样周期，他在算法中作 用是对加减速运算进行控制，即每个采样周期进行一次加减速运算。误差寄存器E的作 用是对每个采样周期的输入速度'，与输出速度V之差进行累加，累加结果一方面保存 在误差寄存器中，另一方面与云相乘，乘积作为当前采样周期加减速控制的输出V。同 时V又反馈到输入端，准备下一个采样周期，重复以上过程。 兰州交通大学机电工程学院

数控技术及应用教案及讲稿 上部分：数控技术及编程 兰州交通大学机电工程学院 8 图 2 – 30 圆弧插补终点判别 （a）圆心角小于  ；（b）圆心角大于  。 （二）、 后加减速控制 1．指数加减速控制算法 进行指数加减速控制的目的的将启动或停止时的速度随着时间按指数规律上升或 下降，如图 2-31 所示。 指数加减速控制速度与时间的关系是： 加速时 ( ) 1 1 T V t V e c   − = −     匀速时 V t V ( ) = c 减速时 ( ) 1 T V t V ec − = 式中，T 为时间常数；Vc 稳定速度。 图 2-32 是指数加减速控制算法的原理图，在图中 t 表示采样周期，他在算法中作 用是对加减速运算进行控制，即每个采样周期进行一次加减速运算。误差寄存器 E 的作 用是对每个采样周期的输入速度 Vc 与输出速度 V 之差进行累加，累加结果一方面保存 在误差寄存器中，另一方面与 1 T 相乘，乘积作为当前采样周期加减速控制的输出 V。同 时 V 又反馈到输入端，准备下一个采样周期，重复以上过程。 B A P 加速 匀速 减速 C O Vc V t( ) D t 图 2-31 指数加减速

数控技术及应用教案及讲稿 上部分：数控技术及编程 误差寄存器E 1/T 图2-32指数加减速控制原理图 上述过程可以用迭代公式来实现 E-2(V.-V.)A V-EI 式中E,V分别为第i个采样周期误差寄存器E中的值和输出速度值。且迭代初值， E为求】 只要取得足够小，则上述公式可近似为 E(0)=「6(v-V()d V0=7E0 对上式E()两端求导得 dE0=y。-v0 对上式V(d两端求导得 dv()1 dE(r) d T d 再将两式合并得 70-g-r0 dv(t)di -V何T 两端积分后得 8 加速时 V(0)=0 故 r0=g1-e】 匀速时，10，得 V(t)=V 减速时输入为零，V(O)=V。,则得 E()=-v() 代人上面微分式中可得 dv()di 兰州交通大学机电工程学院 9

数控技术及应用教案及讲稿 上部分：数控技术及编程 兰州交通大学机电工程学院 9 上述过程可以用迭代公式来实现 ( ) 1 0 i i c k k E V V t = = = −   1 V E i i T = 式中 Ei ，Vi 分别为第 i 个采样周期误差寄存器 E 中的值和输出速度值。且迭代初值 V0 ， E 为零。 只要 t 取得足够小，则上述公式可近似为 ( ) 0 ( ( )) t E t V V t dt = −  ( ) ( ) 1 V t E t T = 对上式 E t( ) 两端求导得 ( ) c ( ) dE t V V t dt = − 对上式 V t( ) 两端求导得 dV t dE t ( ) 1 ( ) dt T dt = 再将两式合并得 ( ) c ( ) dV t T V V t dt = − ( ) c ( ) dV t dt V V t T = − 两端积分后得 ( ) ( ) 1 0 c T c V V t e V V − − = − 加速时 V (0 0 ) = 故 ( ) 1 1 T V t V e c   − = −     匀速时， t → ，得 V t V ( ) = c 减速时输入为零， V V (0) = c ，则得 ( ) ( ) dE t V t dt = − 代人上面微分式中可得 ( ) ( ) dV t dt V t T = − 误差寄存器 E 1 T t 图 2-32 指数加减速控制原理图

数控技术及应用教案及讲稿 上部分：数控技术及编程 两端积分后可得 V(1)=Vei-Ve 证毕。 令 △S.=V△ 则△S。实际上为每个采样周期加减速的输入位置增量值，即每个周期粗插补运算输出的 坐标值数字增量值。而△S则为第ⅰ个插补周期加减速输出的位置增量值。 将△S,和△S.代人前面的E,和V,公式可得（取=1）： 5-2s-A)=E+(as-as） A=E号 此两式去的值指数加减连达代公式。 直线加减速控制使机床再启动时，速度沿一定斜率的直线上升。而再停止时，速度 沿一定斜率的直线下降。如图2-33所示，速度变化曲线是OABC。 rol D 图2-33直线加减速 直线加减速控制分5个过程： 1)加速过程 如果输入速度，与输出速度V之差大于一个常值KL,即V-V>KL,则使输出速 度增加L值，即 V=V-+KL 式中，K红为加减速的速度阶跃因子。显然再加速过程中，输出速度沿斜率为K=K仁的 直线上升。这里△为采样周期。 2)加速过度过程 如果输入速度V大于输出速度，但其差值小于KL时，即 0<'.-'< 改变输出速度，使其与输入相等，即y=V。 经过这个过程后，系统进入稳定状态。 3)匀速过程 在这个过程中，保持输出速度不变，即 兰州交通大学机电工程学院 0

数控技术及应用教案及讲稿 上部分：数控技术及编程 兰州交通大学机电工程学院 10 两端积分后可得 ( ) 1 1 0 T T V t V e V ec − − = = 证毕。 令 i i c c S V t S V t  =    =  则 c S 实际上为每个采样周期加减速的输入位置增量值，即每个周期粗插补运算输出的 坐标值数字增量值。而 i S 则为第 i 个插补周期加减速输出的位置增量值。 将 i S 和 c S 代人前面的 Ei 和 Vi 公式可得（取  =t 1 ）： ( ) ( ) 1 1 1 0 1 i i c i i c i k i i E S S E S S S E T = + − =  =  −  = +  −      =   此两式就是实用的数字增量值指数加减速迭代公式。 2．直线加减速控制算法 直线加减速控制使机床再启动时，速度沿一定斜率的直线上升。而再停止时，速度 沿一定斜率的直线下降。如图 2-33 所示，速度变化曲线是 OABC。 直线加减速控制分 5 个过程： 1）加速过程 如果输入速度 V0 与输出速度 Vi−1 之差大于一个常值 KL ，即 V V KL i i −  −1 ,则使输出速 度增加 KL 值，即 V V KL i i = + −1 式中， KL 为加减速的速度阶跃因子。显然再加速过程中，输出速度沿斜率为 ' KL K t =  的 直线上升。这里 t 为采样周期。 2）加速过度过程 如果输入速度 Vc 大于输出速度 Vi ，但其差值小于 KL 时，即 1 0  −  V V KL c i− 改变输出速度，使其与输入相等，即 V V i c = 。 经过这个过程后，系统进入稳定状态。 3）匀速过程 在这个过程中，保持输出速度不变，即 图 2-33 直线加减速 D C t P A B O Vc V t( )