第三章平面机构的运动分析 内容提要 本章主要介绍机构运动分析的目的和方法，重点介绍了三种机构运动分析方法，即重点介绍 了三种机构运动分析方法，即速度瞬心法、相对运动图解法和解析法。 3.1机构运动分析的目的和方法 3.1.1机构运动分析的目的 机构运动分析是在不考虑外力的作用和构件的弹性变形，以及运动副间隙对机构运动影响的 情况下，根据已知机构的运动简图和原动件的运动规律，求解机构中其他构件的位移（角位移）、 速度（角速度）和加速度（角加速度)等运动参数。机构的运动分析是了解机械的运动性能的依 据，对正确地了解与应用机构的运动性能和校核所设计的机构是否满足设计要求有重要的作用。 3.1.2机构运动分析的方法 机构运动分析的方法主要有图解法和解析法，图解法又分为相对运动图解法和速度瞬心法。 图解法对简单的平面机构设计具有形象、直观、图解过程简单易行等特点，是运动分析的基本方 法，但精度不高，而且对机构的一系列位置进行分析时，需反复作图而显得繁琐。解析法需根据 机构中的已知参数建立数学模型，然后借助计算机进行求解，它不仅可方便地对机构进行一个运 动循环过程的研究，而且还便于把机构分析和综合问题联系起来，以求得最优方案。由于解析法 具有较高的精度，现在被广泛使用。本章将对上述两种方法在平面机构运动分析中的运用分别加 以介绍。 3.2用速度瞬心法对机构进行速度分析 3.2.1速度瞬心及机构中速度瞬心的数目 作平面相对运动的两构件，在任一瞬时位置其相对运动均可看作是绕某一重合点的相对转 动。该重合点即为相对转动中心，称为速度瞬心(instantaneous center of velocity),简称瞬心。 28 This document is produced by trial version of Print2Flash.Visit www.print2flash.com for more information
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构件、j之间的瞬心用符号P表示。因此，两构件在瞬心点处的相对速度为零，其绝对速度相 等。若瞬心的绝对速度为零，则称为绝对瞬心(absolute instantaneous center),运动构件与机架 之间的瞬心即为绝对瞬心。若瞬心的绝对速度不为零，则称为相对瞬心，两运动构件之间的瞬心 即为相对瞬心(relative instantaneous center)。因为机构中每两个构件间就有一个瞬心，所以有N 个构件组成的机构，其总的瞬心数K为 K=N(N-1) (3-1) 3.2.2机构中速度瞬心的确定 1.通过运动副直接相连的两构件间的瞬心 通过运动副直接相连的两构件间的瞬心可以通过直接观察即可确定。 (1)以转动副相连接的两构件的瞬心在转动副的中心处。如图3-1a所示的构件1和构件2 的瞬心乃2就在两构件的转动副的中心处。 (2)以移动副相连接的两构件间的瞬心位于垂直于导路方向的无穷远处，如图3-1b所示的 2位于垂直于构件1和构件2所构成的移动副导路方向的无穷远处。 (3)以平面高副相连接的两构件间的瞬心，当高副两元素作纯滚动时就在接触点处，如图 3-1c所示的P2即为构件1和构件2的接触点M;当高副两元素间有相对滑动时，则在过接触点 两高副元素的公法线上，如图3-1d所示的构件1和构件2之间存在相对滑动速度vMm,则二者 的瞬心就位于法线n-n上。不过因为滚动和滑动的数值尚不知，所以还不能确定它是在法线上的 那一点。 1 D四 2 (a) (b) (c) (d) 图3-1观察法确定速度瞬心 2.不直接相连的两构件的瞬心 不直接相连的两构件间的瞬心位置，可借助三心定理来确定。所谓三心定理(Kennedy-.Around theorem),即三个彼此作平面运动的构件的三个瞬心必位于同一直线上。如图3-2所示构件1、2、 3彼此作相对平面运动，它们之间共有三个瞬心P2、P3、乃3。其中P3、P23分别在构件1、3 和2、3之间转动副的转动中心O1、O,处，而不直接通过运动副相连的两构件1、2之间的瞬心 R2必位于B3、P3的连线上。 有了直接观察法和三心定理便可确定机构的全部瞬心位置。但对多杆机构，构件越多，瞬心 数目就越多，求解不大方便。为此，下面提出用瞬心多边形和上述两种方法相结合来求取瞬心。 29 This document is produced by trial version of Print2Flash.Visit www.print2flash.com for more information
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具体求法如下： 乃2 0☑(B) 4= 2777777777777777 图3-2三心定理 (1)先画一个圆，然后按照机构的构件数分割该圆，并在分割点上依次（顺时针或逆时针） 标注构件号。 (2)通过直接观察法求瞬心。将能直接观察求出瞬心位置的两构件的分割点用实线相连， 则此实线即代表己知的该两构件间的瞬心。 (3)观察在圆中尚未连线的分割点，将能连成两个三角形的公共边的点用虚线连接，则此 虚线就代表可求取的未知瞬心。 (4)在有公共边的两个三角形中，每个三角形的3条边代表3个构件的3个瞬心。根据三 心定理，这3个瞬心必在同一直线上。现在三角形除公共虚边以外的另外两个边代表的2个瞬心 己知，在机构图上用直线连接这两个边代表的己知瞬心，则公共虚边代表的未知瞬心必定位于这 一直线上。这样，两个三角形的各个已知两边代表的两个已知瞬心共作出2条直线，2条直线的 交点就是公共虚边代表的未知瞬心。 (5)确定公共虚边代表的未知瞬心后，公共虚边可画成实边，重复前述步骤，可以确定其 他待求的未知瞬心。 【例3-1】如图33所示为一铰链四杆机构，试确定该机构全部瞬心的位置。 VP以3 乃4 P 4 7777774 (a) (b) 图3-3铰链四杆机构瞬心的确定 解：该机构瞬心的数目为K=VN-)=44-》=6,分别为B2、B3、B4、P,、B4、 2 2 P34。其中，直接观察可得到瞬心乃2、P3、P34、4分别在转动副A、B、C、D的回转中心。 30 This document is produced by trial version of Print2Flash.Visit www.print2flash.com for more information
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P3和P24则需借助于三心定理确定，由于构件1、2、3的三个瞬心P2、P3、3应位于同一条 直线上，构件1、4、3三个瞬心4、P34、乃，也应位于同一条直线上，因此两直线的交点即瞬 心乃3；同理，直线24和P3P4的交点即瞬心P4。 活动构件1、2、3与机架4之间的瞬心4、P4、P4为绝对瞬心，而活动构件之间的瞬心 乃2、P:、3则为相对瞬心。 利用三心定理求瞬心时，为了迅速准确地找到其位置，有两种方法： 其一是“下标同号消去法”，如图3-3所示，乃一定在2、P23的连接线上，也一定在4 P4的连接线上，两线的交点即乃3。一条直线上的三个瞬心，其中一个的下标一定是另外两个 消去相同下标后的组合。 其二是“瞬心多边形法”，如图3-3左上角所示，以构件编号表示多边形的顶点，任意两顶 点的连线表示相应两构件的瞬心。首先把直接成副的两构件瞬心P2、P23、P4、P4,在瞬心 多边形中连成实线，把待求的不直接成副的两构件瞬心乃、P4连成虚线。根据三心定理，在 瞬心多边形中，任意三角形的三条边所代表的三个瞬心均共线。因此，求未知瞬心时，可在瞬心 多边形中找到以代表该瞬心的虚线为公共边的两个三角形，在机构图中作出相应的两条直线，其 交点即为所求。例如，代表未知瞬心P13的虚线是△123和△143的公共边，所以它既与乃2、P3 共线又与P4、P4共线，连接2、P3和R4、P34,其交点为乃3· 利用瞬心多边形，特别有助于确定构件数目较多的机构的瞬心。 3.3.3瞬心在机构速度分析中的应用 下面举例说明利用速度瞬心对机构进行速度分析的方法。 1.求线速度 【例3-2】如图3-4所示的凸轮机构，己知各构件的尺寸和凸轮转速⊙1，求推杆2的速度v2。 解：首先通过直接观察求得瞬心乃3和P3,然后根据三心定律和公法线-n求得瞬心P2的 位置。由此求得瞬心P2的速度 y2=Vp12=41(32)·@ P3B2长度直接从图上量取。 3 A3 图3-4图解法求凸轮机构的线速度 31 This document is produced by trial version of Print2Flash.Visit www.print2flash.com for more information
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2.求角速度 1)铰链机构 【例3-3】如图3-3所示的铰链四杆机构，已知各构件的尺寸和原动件1的角速度@1，试求 构件3的角速度o,和角速比0/⊙，· 解：将P3视为构件1上的点，则有 VP13 =@P14P13 将P3视为构件3上的点，则有 Vp13=03p34p13 由瞬心的定义可得 p14P13=03lp34P13 转换后得 03=01 p14P13 LP34P13 或 0=1g34PB=P43 031p14P13 B43 上式表明，两构件之间的角速比@/)，（即传动比）与该两构件的绝对瞬心R4、P4至相 对瞬心P3的距离成反比。 此关系可以推广到平面机构中任意两构件1与1之间（设构件4为机架），即 PaP (3-2) @j PaPg 若相对瞬心P在绝对瞬心P4、P4之间，则构件i与j的转向相反；否则，转向相同。 【例3-4】如图3-5所示为按长度比例尺凸画出的平锻机工件夹紧机构运动简图，该机构是 一个复杂的平面Ⅲ级机构。已知原动件AB的角速度@的大小和方向（如图所示），求@2、@， @4、),的大小及方向。 解：由于构件2上点B的速度方向及大小己知(VB=@,AB4),如果能求出其绝对瞬心P6, 则o2和vc可以求出。如果再能求出P36,则根据vc可以求出、vD和vE,于是可以解出@4和 O,。所以解题的关键在于求出绝对瞬心P6与P6的位置。P6和P6的位置可按以下方法求出。 标出图中各铰链所示的瞬心B6、乃2、乃3、P4、乃、P6和P6。根据三心定理及已知的 瞬心，P6应位于直线PsP6与直线P4P6的交点上，在图上首先作出P6,从而可作出两条直 线62与P6P3,在图上作出其交点即求得P6。按前面的分析得 32 This document is produced by trial version of Print2Flash.Visit www.print2flash.com for more information
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02 VB B丛，方向为逆时针 2P2641 B2P2641 Vc=02P6P234 方向垂直于P6P，向左，故 03= =@ P23P36 6P6,方向为顺时针 P23P36 2P26·P23P36 所以 p=@P4P641’方向如图 E=3P35P3641，方向如图 04= P46=0 B6PP6~乃P6,方向为逆时针 DGu P34P46 乃2P26·P23P36·P34P6 PxsPx6= VE-03 PysPs6 BB6PP6PP6,方向为顺时针 EF B2P6P23P6·P35Ps6 E(P3R D(B4八 6 B(32》 凡3 饰 C《(B 4 AA(6】 e G(Rs) 5 6 ho Bo 图3-5平锻机工件夹紧机构运动简图 2)高副机构 【例3-5】如图3-6所示凸轮机构中，已知构件2的转速⊙2，求构件3的角速度@3。 解：首先用三心定律求出P3,求瞬心P3的速度： Vp23=4(P232)02 33 This document is produced by trial version of Print2Flash.Visit www.print2flash.com for more information
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Vp23=41(P233)·03 所以 ①3=①2·(P33/P3R3),方向与02相反。 【例3-6】如图3-7所示为一直动从动件凸轮机构。设已知各构件的尺寸和原动件1的角速 度，求从动件2的速度v2。 解：因为构件2作平动，所以利用瞬心乃2是构件1和2的等速重合点，即可求得y2。 由于构件1、2组成高副，所以瞬心P2在过接触点K处的公法线n-n上；又由三心定理知， 瞬心乃2与R3、P3共线。因此过R3作P3的方向线与n-n线的交点即为瞬心R2。 V2=Vp业=a0乃2341 2方向向上，如图3-7所示。 3→9 3 2 2 B3→0 图3-6图解法求高副机构的角速度 图3-7直动从动件凸轮机构 利用速度瞬心法对简单机构的速度分析非常简便。但对于包含构件数目较多的机构，由于瞬 心数目较多，使得求解困难。需要特别说明的是，速度瞬心法仅限于对机构的速度分析，不便用 于加速度分析。 3.3用相对运动图解法对机构进行运动分析 相对运动图解法(relative kinematic graphic method)也称为矢量方程图解法(vector graphic method),所依据的是理论力学中的运动合成原理。在对机构进行速度、加速度分析时，根据运 动合成原理列出速度、加速度运动矢量方程，按矢量运算作图求解。下面就在机构运动分析中所 遇到的两种不同情况对其基本原理和方法加以说明。 3.3.1作平面运动的同一构件上两点间的运动分析 如图3-8所示为铰链四杆机构运动简图。已知各构件的尺寸及原动件1以等角速度)，逆时 针方向转动，求机构在图示位置时构件2、3的角速度o2、o3和角加速度x2、:,以及构件2 34 This document is produced by trial version of Print2Flash.Visit www.print2flash.com for more information
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上点E的速度vE和加速度xe。 用相对运动图解法进行运动分析时，应沿着机构的运动传递顺序，从与运动已知的原动件相 连的杆组开始，以杆组为单位依次进行。首先确定杆组中外接副的运动（往往是己知的），其次 确定杆组内接副的运动，然后再确定构件上一般点的运动。 B 4 (a) 铰链四杆机构运动简图 (b)速度多边形 (c)加速度多边形 图3-8同一构件上两点之间的运动图解分析 1.列出运动矢量方程式 铰链四杆机构仅含有一个Ⅱ级杆组BCD,且外接副点B、D的运动已知，所以先求内接副 点C的运动。而点C和B同在连杆2上，选运动己知的点B为基点，由运动合成原理，点C的 运动可视为随着基点B作平动与绕着基点B作相对转动的合成。所以点C的速度v。和加速度ac 的矢量方程分别表示为 Vc VB VCB (3-2) 方向： ⊥CD⊥AB ⊥BC 大小： n @LAB (3-3) 方向： C→D⊥CD B→AC→B⊥BC 大小： @jlcD ? 021AB @2lBc 式中，yc、a8、a为点C相对于点B的相对速度、相对法向加速度和相对切向加速度； a心、a心分别为点C的绝对法向加速度和切向加速度。 为了减少方程中未知量的数目，将转动加速度分解为法向和切向两个分量，每一项的大小 和方向均示于式中。在式(3-2)中，仅vc、vc的大小未知，而在式(3-3)中，经过速度分析 之后a也为已知，仅有a心、a的大小未知，故每个方程组仅包含两个未知量，可以用作图 法求解。 35 This document is produced by trial version of Print2Flash.Visit www.print2flash.com for more information
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2.按矢量方程式作图求解 速度比例尺4v= 实际速度(m/s) 表示该实际速度的图示长度(mm),即图中每lmm所代表的速度大小。 实际加速度(m/s2) 加速度比例尺4，=表示该实际加速度的图示长度(mm） ,即图中每1mm所代表的加速度 大小。 1)按速度矢量方程作矢量运算图解 如图3-8b所示，任取一点p作为速度极点。从点p出发作代表v的矢量pb（⊥AB,且 pb=BI4v),再分别过点b和p作代表vcB的方向线bc(⊥BC),代表C的方向线pc(⊥CD), 两者相交于点c,则 vc=uy pc,VCB =uy bc 构件2的角速度则为 YCB=Mybo BC 可将vc平移至机构图上的点C,绕点B的转向即为@，的方向（顺时针方向）。 构件3的角速度为 03= Yc=Hy pc IcD CD 将C平移至机构图上的点C,绕点D的转向即为)，的方向（逆时针方向）。 2)按加速度矢量方程作矢量运算图解 如图3-8c所示，任取一点p作为加速度极点。从点p出发作代表a的矢量pb(∥AB, 由机构图上的点B指向点A,且p万=a/4,);再分别过点b和p',作代表a的矢量bc(∥ BC,由点C指向点B)和代表a的矢量p'c(/CD,由点C指向点D);然后再分别过点c”和 c"作代表a的方向线c"c(⊥BC)和代表a的方向线c"c(⊥CD),两者相交于点c, 则 aC=4,c",at=“,cc 则构件2的角加速度为 d, acBac"c 1 BC凸1BC 可将a平移至机构图上的点C,绕点B的转向即为必，的方向（逆时针方向）。 36 This document is produced by trial version of Print2Flash.Visit www.print2flash.com for more information
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构件3的角加速度为 吃-4c"C C3= tCD 将a。平移至机构图上的点C,绕点D的转向即为的方向（逆时针方向）。如图3-9b、c 所示的图形分别称为机构的速度多边形图（或速度图）和加速度多边形图（加速度图）。 对于构件2上点E的运动，则可利用同一构件上B、C两点的运动求解。速度矢量方程和加 速度矢量方程分别表示为 VE=Vg+V郎 Vc VEC 方向： ⊥AB⊥BE ⊥CD ⊥CE 大小： LAB 2 ap= t +apB aEB t ac+apc ate 方向：B→A E→B⊥BE E→C ⊥CE 大小1AB @lgB a. @lgc 在图3-8b中，分别过b、c作代表vB的方向线(LBE)和代表vEc的方向线e(⊥CE), 两者交于点e,则pe代表vg,所以 Ve =lly pe 由图可知，构件2上B、C、E三点构成的图形△BCE与速度图中代表该三点绝对速度矢量 端点b、c、e构成的图形△bc,由于两个图形的三个对应边相互垂直，故两三角形相似，且其 字母的绕行顺序也一致。因此，称速度图形△bc为构件图形△BCE的速度影像，这一规律即速 度影像原理。 在图3-8c中，也分别过b、c作代表a的矢量be(∥a)入、a的方向线ee（1BE) 和代表ac的矢量c'e":(∥c)、c的方向线e"e(⊥CE),两方向线交于点e,则p'e代 表a,所以 ar Ma p'e 与速度影像类似，可以证明，构件2上B、C、E三点构成的图形△BCE与加速度图中代表 该三点绝对加速度矢量端点b'、c'、e构成的图形△b'c'也是相似的，且其字母的绕行顺序一 致，但两图形的对应边一般不垂直，都转过一相同的角度。因此，称加速度图形△bc'ε为构件 图形△BCE的加速度影像，这一规律即加速度影像原理。 当已知某一构件上两点的速度或加速度时，利用速度或加速度影像原理，作构件图形的相 37 This document is produced by trial version of Print2Flash.Visit www.print2flash.com for more information
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