《北京科技大学学报》：一种新的造型曲面（王兵团）

提出一种新的造型曲面—BRB样条曲面,此曲面兼有Bezier曲面和B样条曲面的基本造型优点,造型性能综合指标高。又给出新曲面的定义和几何性质,并讨论了BRB样条曲面的拼接问题。

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条曲面的综合和推广。 1BRB样条曲面的定义和性质定义1：设{b,}j=0,1…n;j=0,1,…m为(m+1)(n+1)个空间点列，称m×n次参数曲面 P(u,w)=∑∑B,.()Fin(w)b:i 0≤u,w≤1 (1) 00 为m×n次BRB曲面片。式中B.()=（行）u'(1-u)-‘为n次Bernstein多项式函数，Fn(w) 1 m(-) (m十1）（四+m-j-)为m次B样条基函数，其中（日），（m1)为二项式系数。6，称为控制点或顶点，逐次用线段连接点列{b,}相邻两点组成的空间网格称为特征网格，它控制着曲面P(“,)的形状。在式（1)中，令b,(w)=∑b,F.(w),i=0,1,n,则有： P(u,w)=∑b,(w)B(u) 0≤4，w≤1 (2) 1■0 说明m×n次BRB曲面片可以如下构造：先把顶点列b,按第一个角标分类得到n+1类顶点集b,=b,}a,i=0,1,…n,然后以顶点集b,构造参数为w的m次B样条曲线b,(w), =0,1,…n。任取w。∈[0,1]用顶点列{b,(wg)}:-o构造参数为4的n次Bezier曲线，这就得到了P(u,w)的一条u线P(u,w),当w。取遍区间[0,1]时，就得出m×n次BRB曲面片P(u,w)。这个构造过程能容易地想象出BRB曲面片的形状并做出相应的图形。注意到曲面片P(u,w)的w线是m次B样条曲线，4线是n次Bezier曲线的特点，易知由式 (1)确定的BRB曲面片具有几何不变、凸包、端点、对称和逼近等良好的几何性质。把同次的BRB曲面片沿w方向按B样条曲面片的连接方式连接起来，就得到BRB样条曲面。定义2：设{b,}8:1:k≥m,为(n+1)(k+1)个空间点列，称m×n次参数曲面。 P(u,w)=∑∑B,.(4)N,m+1(o)b,0≤u≤1,0≤w≤k (3) 00 为m×n次BRB样条曲面。式中B:,()同定义1，N,m+1(w)是区间C0,]上递推形式的m次B样条基函数r) 显然，m×n次BRB样条曲面是C-1连续的，它不但具有BRB曲面片所有的几何性质，而且还有局部修改特性。从式(3)看出，改动特征网格上的一个顶点最多只影响到以这点为中心的m+1块m×次BRB曲面片。例如当m=n=2时，改动一个顶点只影啊到邻近的3块 2×2次BRB曲面片（图1）。由于参数曲面上参数曲线网体现着参数曲面的特性，注意到m×n次BRB样条曲面的“，w 线的特点，可以期望BRB样条曲面会反映出Bézir曲面和B样条曲面所具有的一些性质，并呈现出它们的双重特性。这样，Bézier曲面和B样条曲面的长处在一定意义下被融为一体，使得BRB样条曲面具有更丰富的造型功能。 384

条曲面的绘合和推广。样条曲面的定义和性质定义，设 ‘ ，二。， ” 勺二，， … 二为十。十个空间点列，称“ 次参数曲面，二二为，火。次曲面片。 ‘ 。了，。 ‘ 了。。，。毛一 ‘ 一式中，。了梦。 ‘ 一。一为。次，多项式函数，二，。、，认产而下乙一亨 ‘ 二二一，一 ‘ 。为，次样条基函数，其中梦， “ 广 ‘ 为二项式系数。 “ ，称为控制点或顶点，逐次用线段连接点列 ‘ ，，相邻两点组成的空间网格称为特征网格，它控制着曲面。，。的形状。在式中，令“ 。，，，，。，，， … 。，则有了。，。二艺 ‘ 。 ‘ 。 “ “ ， “ 说明，次曲面片可以如下构造先把顶点列 ‘ ，按第一个角标分类得到十类顶点集‘ ，谧，，，。， ‘ ，， … ，然后以顶点集 “ 构造参数为，的，次样条曲线 ‘ ，，才，， … 。任取，。〔〔，〕用顶点丈 ‘ ，。李一。构造参数为。的。次 ‘ 曲线，这就得到，。的一条。线。，甜。，当，。取遍区间，〕时，就得出“ 次曲面片， ‘ 这个构造过程能容易地想象出曲面片的形状并做出相应的图形。注意到曲面片。，，的“ 线是” 次样条曲线，。线是。次能曲线的特点，易知由式确定的曲面片具有几何不变、凸包、端点、对称和逼近等良好的几何性质。把同次的曲面片沿。方向按样条曲面片的连接方式连接起来，就得到样条曲面。定义设铸 ‘ ，吕二特，为舟十个空间点列，称义。次参数曲面。，。二乙 ‘ 。，。，。 ‘ ，簇 “ 毛，。儿 ‘ 一为。次样条曲面。式中 ‘ 。同定义，，。十，是区’ 〔，〕上递推形式的协次样条基函数 ‘ “ ’ 。显然，。次样条曲面是 ” 一 ’ 连续的，它不但具有曲面片所有的几何性质，而且还有局部修改特性。从式看出，改动特征网格上的一个顶点最多只影响到以这点为中心的十块。次曲面片。例如当，二。时，改动一个顶点只影响到邻近的块次曲面片图。由于参数曲面上参数曲线网体现着参数曲面的特性，注意到，次样条曲面的。，。线的特点，可以期望样条曲面会反映出能曲面和样条曲面所具有的一些性质，并呈现出它们的双重特性。这样，能曲面和样条曲面的长处在一定意义下被融为一体，使得样条曲面具有更丰富的造型功能

712 022 01z b5 00 b23 b23 11 D10 b20 0211 60 010 b00 b oo b05 (C)3×3次BRB曲面片 (d)改动顶点b12后的3×3次BRB曲面片图？一些不同的曲面片 Fig.2 Some different patches 这个关系式指出了网格顶点对曲面片的影响。例如顶点b11,b12,b21,b22对曲面片的角点扭矢和u线的切矢有影响，从而它们对曲面片的内部和Bézir边界线产生影响，调整这些顶点就能构造不同形式的曲面片。图2给出在同一特征网格下的3×3BRB、Bezier和B样条曲面片。从图中可知BRB曲面介于Bezier曲面和B样条曲面之间。为便于比较，图中还画出了改动某控制点后的BRB曲面片。对一般的m×n次BRB曲面片也有类似的性质。 2 BRB样条曲面片的连接在实用中，为了不减弱网格对曲面的控制并得到满意的曲面，可取BRB样条曲面的次数 m,n≤5并用若干这样的曲面片连接起来进行造型。使用复合曲面的关键是处理好各曲面片的连接问题。B样条曲面具有整体配置顶点的特点，没有连接问题，但适应性有限制；Bézier 曲面片装配灵活，造型适应性强，但曲面片的光滑连接麻烦，处理不当就容易出问题3)，这主要是由Bezier曲面片的连接是“，w两个参数方向进行而引起的，BRB样条复合曲面也有连接问题，但其只在一个“参数方向进行，于是 BRB样条曲面的连接比Bezier曲面片简单且较少出问题（如图3）。现在讨论次数分别为m×n和m×I的两张 BRB样条曲面片的连接条件，次数的这种限制基本上不影响曲面的造型。注意到BRB样条曲 The boundaries of B3RB patches 面片的连接实际上可转化为相对应的BRB曲面国3由BRB样条曲面片A和B构成的复合曲面片沿u参数方向的连接，这是Bezier曲面片的单 Fig.3 The surfacc made by a mosaic of 向连接，类似Bezier曲面片的连接条件r4),易 BRB splinc patch A and B 得BRB样条曲面片下列连接条件：设m×n和m×1次BRB曲面片S:和S,为 386

，，。乙乙 ‘ 。 “ ，，， ‘ ，气，留，。二乙乙 ‘ ，。刃 ‘ ，叹 “ ，簇再设。，及，。次样条曲面和为，叼艺艺 ‘ ，，。。六又一一五叮，，二艺乙 “ 十，。份，、二留丈二 ‘ 一则有定理曲面片和沿公共边界 ” 连续的充要条件是。，入。，，，， “ … 机定理曲面片，和沿公共边界线 ‘ 连续的充要条件是川，川，，劝尸。尸 “ ，。及式同时成立。其中，和川分别是次数不超过，一，加和。一的多项式，尸二哄，，。二塑，口嘿， ‘ ，一曰一 ’ 一上，，功少兴少、 ’ 一 “ ’ 一沙夕 ” “ ’ 上面定理中。表示位置连续连接， ‘ 表示光滑连接。由样条曲面片和曲面片的关系得到样条曲面片的连接条件如下。定理曲面片与沿公共边界。连续的充要条件是共乙。，，， “ · ” 。定理曲面片与沿公共边界‘ ‘ 连续的充要条件是其相对应的每一对曲面片满足定理的条件。在定理中，可取。，二户。那二，。久，其中声。，声和几为待定常数。此取法有个自由度，常可以满足实用中的光滑连接要求。利用这种取法，当川。时，得到曲面片，和的光滑连接条件为， “ 。，，，，火。，切声。产，二，功几。，田将式的第二式展开并比较。的次数，得 “ 。一。。 “ “ 。一，。命〔。 ‘ 一，“ 。 ‘ ‘ 工一 ” ‘ ‘ ‘ ，料，。一、石〕一一。久一，一〔拜。一 ‘ 。一吞、一，群，一。」一〕入一。几一〔拼。。一产石。一〕一一。久。一〔声。一。一，拼。一。一〕

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