D0I:10.13374/i.issnl00It03.2009.0L.021 第31卷第1期 北京科技大学学报 Vol.31 No.1 2009年1月 Journal of University of Science and Technology Beijing Jan.2009 基于变论域的变步长LMS算法 白晶2) 尹怡欣)郝智红)孙和平) 1)北京科技大学信息工程学院，北京1000832)北华大学电气信息工程学院，吉林132021 摘要针对一般LMS自适应滤波算法在对系统建模时存在的初始收敛速度，时变系统跟踪能力及收敛精度三个指标难于 协调的问题，提出了变论域变步长的LMS自适应滤波算法，并利用李亚普诺夫函数证明了算法的收敛性·研究结果表明，该 算法在对系统建模时可以同时兼顾上述三个指标，可用于控制领域的系统及其逆系统建模. 关键词变步长LMS算法；变论域：收敛性；系统建模 分类号TP273 Variable step size LMS algorithm based on a variable region BAI Jing2).YIN Yi-xin).HAO Zhi-hong.SUN He-ping2) 1)School of Information Engineering.University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083,China 2)Information Engineering School,Beihua University,Beijing 132021.China ABSTRACT The common LMS (least mean square)adaptive filtering algorithm is difficult to harmonize three performance indices, i.e.initial convergent speed,time"varying track ability,and constringent precision,while modeling the system.In order to solve this problem a region'varying and step sizevarying LMS algorithm was put forward.and its algorithmic astringency was proved by the Lyapunoy Function.It is shown that the algorithm gives attention to the three performance indices above and can be applied to model- ing the system and the inverse system in a field of control. KEY WORDS variable step size LMS algorithm:variable region:convergence:system modeling 基于变论域的思想，本文提出使步长“(k)随 梯度估计值代替真实梯度，从而其算法性能欠佳，应 偏差论域变化而变化的变步长LM$自适应滤波算 用范围受限，而且固定步长的LMS算法在收敛速 法：在初始收敛阶段或未知系统参数发生变化即 度、时变系统跟踪速度与收敛精度方面是相互矛盾 e(k)较大时，步长(k)比较大，以便有较快的收敛 的，为了克服这一矛盾，人们提出了许多变步长自 速度和对时变系统的跟踪速度；而在算法收敛后即 适应滤波算法[].本文利用了李洪兴等的变论域 e(k)很小时，将e(k)的论域膨胀，使e(k)的变化对 思想心，即：在控制规则形式（形状）不变的前提 “(k)仍有影响，从而使算法可以同时兼顾初始收敛 下，随着控制过程的进行，误差缩小，误差的论域随 速度、时变系统跟踪能力和收敛精度三个性能指标， 之而膨张，相当于在原始误差论域区间[a,b]规则 数量大大增加，从而提高了自适应模糊控制器的控 1基于变论域的变步长LMS自适应算法 制精度· 由Widrow和Hof于1960年提出的最小均方 由文献[8一11]可得变论域的自适应模糊控制 误差算法即LMS自适应滤波算法已经广泛应用于 器的输入输出关系为： 系统建模、线性预测、谱估计、消噪等诸多领域 (e)AKe()pdr+o 中山.LMS算法是基于估计梯度的最速下降（算） xi(t) (1) 法，具有计算量小，易于工程实现等特点，由于采用 (x:(t)】 收稿日期：2008-01-04 基金项目：国家自然科学基金资助项目(N。.60772005) 作者简介：白晶(1965一)，女：教授，博士，Emal:hyj@163.com:尹怡欣(1957一)，男，教授，博士生导师
基于变论域的变步长 LMS 算法 白 晶12） 尹怡欣1） 郝智红1） 孙和平2） 1） 北京科技大学信息工程学院北京100083 2） 北华大学电气信息工程学院吉林132021 摘 要 针对一般 LMS 自适应滤波算法在对系统建模时存在的初始收敛速度、时变系统跟踪能力及收敛精度三个指标难于 协调的问题提出了变论域变步长的 LMS 自适应滤波算法并利用李亚普诺夫函数证明了算法的收敛性．研究结果表明该 算法在对系统建模时可以同时兼顾上述三个指标可用于控制领域的系统及其逆系统建模． 关键词 变步长 LMS 算法；变论域；收敛性；系统建模 分类号 TP273 Variable step size LMS algorithm based on a variable region BAI Jing 12）Y IN Y-i xin 1）HA O Zh-i hong 1）SUN He-ping 2） 1） School of Information EngineeringUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China 2） Information Engineering SchoolBeihua UniversityBeijing132021China ABSTRACT T he common LMS （least mean square） adaptive filtering algorithm is difficult to harmonize three performance indices i．e．initial convergent speedtime-varying track abilityand constringent precisionwhile modeling the system．In order to solve this problem a region-varying and step size-varying LMS algorithm was put forwardand its algorithmic astringency was proved by the Lyapunoy Function．It is shown that the algorithm gives attention to the three performance indices above and can be applied to modeling the system and the inverse system in a field of control． KEY WORDS variable step size LMS algorithm；variable region；convergence；system modeling 收稿日期：2008-01-04 基金项目：国家自然科学基金资助项目（No．60772005） 作者简介：白 晶（1965—）女教授博士E-mail：jlbyj＠163．com；尹怡欣（1957—）男教授博士生导师 基于变论域的思想本文提出使步长 μ（ k）随 偏差论域变化而变化的变步长 LMS 自适应滤波算 法：在初始收敛阶段或未知系统参数发生变化即 e（ k）较大时步长 μ（ k）比较大以便有较快的收敛 速度和对时变系统的跟踪速度；而在算法收敛后即 e（ k）很小时将 e（ k）的论域膨胀使 e（ k）的变化对 μ（ k）仍有影响从而使算法可以同时兼顾初始收敛 速度、时变系统跟踪能力和收敛精度三个性能指标． 1 基于变论域的变步长 LMS 自适应算法 由 Widrow 和 Hoff 于1960年提出的最小均方 误差算法即 LMS 自适应滤波算法已经广泛应用于 系统建模、线性预测、谱估计、消噪等诸多领域 中［1］．LMS 算法是基于估计梯度的最速下降（算） 法具有计算量小易于工程实现等特点．由于采用 梯度估计值代替真实梯度从而其算法性能欠佳应 用范围受限而且固定步长的 LMS 算法在收敛速 度、时变系统跟踪速度与收敛精度方面是相互矛盾 的．为了克服这一矛盾人们提出了许多变步长自 适应滤波算法［2—7］．本文利用了李洪兴等的变论域 思想［8—11］即：在控制规则形式（形状）不变的前提 下随着控制过程的进行误差缩小误差的论域随 之而膨胀相当于在原始误差论域区间［ ab］规则 数量大大增加从而提高了自适应模糊控制器的控 制精度． 由文献［8—11］可得变论域的自适应模糊控制 器的输入输出关系为： y（ t）≜ K∫I t 0 e T （τ） Pndτ＋β（0） · U ∑ m j＝1 ∏ n i＝1 A ij xi（ t） αi（ xi（ t）） yi （1） 第31卷 第1期 2009年 1月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．31No．1 Jan．2009 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2009．01．021
第1期 白晶等：基于变论域的变步长LS算法 109. 式中，a(x)=1一aexp(一kx2)为伸缩因子，a∈ ()W(k)x(k)x(k)x(k)=wT(k)X(k) (0,1),k>0;[-U,U]为输出变量y的论域： (9) {A(1≤j≤m)为X:上的模糊划分，X:= 假定权系数的个数很大，大数定律表明X(k)· [一E,E](i=1,2,…,n)分别为输入变量x:的 X(k)在本质上将是一个常数，有： 论域；{B(1≤≤m)为Y上的模糊划分；x为A X(k)X(k)=trR (10) 的峰点，y为B,的峰点；K为比例常数；x=(x1, 则式(9)变成： x2,…,xn)T=(x,元，…，xa-)T为状态向量；置 ()trRW(k)X(k)=WT(k)X(k)(11) e(t)=r(t)一y(t),r(t)为参考输入，记e(t)= 将式(11)右乘x(k),则有： (e1,e2,…,en)=(e,e,…,en-);Pn=（p1, v(k)tr RW(k)=WT(k), p2,…,Pm)T为使误差向量变为标量的常数向量， (W(k)W(k) (12) P(0)为初值.在式(1)中为保证稳态的跟随性好，控 由式(4)有： 制器的输出含有对输入偏差的累积，即积分环节， W(k)=W(k-1)+2(k-1)e(k-1)X(-1), 此处需要LMS自适应滤波算法的步长在偏差大时 则： 大，在偏差小时小；但在小偏差时，步长平滑，故将输 出变量的伸缩因子取为偏差的比例 (WT(1+ 依据变论域的思想，则变步长LMS算法的步 2(k-1)e(k-1)x(k-1)][w(k-1)+ 长为： 2(k-1)e(k-1)x(k-1)], (k+1)=K1 Ue(k) A式 e(k) 4(2) e=rk[w(k-)w(-1+ 则LMS自适应滤波算法的迭代公式如下： 4(k-1)e(k-1)w(k-1)X(k-1)+ e(k)=d(K)一X(k)W(k) (3) 42(k-1)e2(k-1)xX(k-1)X(k-1)]= W(k+1)=W(k)+2(k)e(k)X(k)(4) 其中，W(k)为自适应滤波器在时刻k的权矢量， e(-+款k-1)e(-4一. X()为时刻k的输入信号矢量，d(k)为期望输出 W(k-1)+42(k-1)e2(k-1)(13) 值，e(k)是误差信号，(k)是步长因子.LMS算法 由式(4)有： 收敛的条件为： e(k)=d-W(k)X(k)= 0<μ<1/入mx, (w*一W(k)X(k)= 入ax是输入信号自相关矩阵的最大特征值 -△T(k)X(k)=-XT(k)△()， △(k)=W(k)-W*. 2基于变论域的变步长LS自适应算法的 将上式代入式(13)有： 收敛性 =o(《-)rR-A4-1. 定理当 x(k-1)·X(k-1)W(k-1)+42(k-1)· (A(i)R[W(i)-(i)trRA(i)] △T(k-1)X(k-1)x(k-1)△(k-1)= trR 有界，且△(k)=W(k)一W*,R=E[X(k)X (k-1)-4-)△'C)Rw-山+ trR (k)]时，基于变论域变步长LMS自适应滤波算法 42(k-1)△T(k-1)R△(k-1), 是收敛的 证明设李雅普诺函数为1-1] u(k-1)-(k)=4k-)△k-山R. trR (k)=W(k)R(k)W(k) (5) [W(k-1)-(k-1)trR△(k-1)](14) 将式(5)右乘W(k),则： 而 (k)W(k)=WT(k)R(k) (6) v(0)一v(k)= 将式(6)右乘R(k),则： 4R[W()-rRA(】 trR v(k)W(k)R(k)=WT(k) (7) =0 (k)W(k)x(k)XT(k)=WT(k) (8) (15) 将式(8)右乘X(k),则： 因im△(i)→0，则式(15)的求和总值总是有界的
式中α（ x ）＝1— a·exp（— kx 2）为伸缩因子a∈ （01）k ＞0；［— UU ］ 为输出变量 y 的论域； ｛A ij｝（1≤ j ≤ m ） 为 Xi 上 的 模 糊 划 分Xi＝ ［— EiEi］（ i＝12…n）分别为输入变量 xi 的 论域；｛Bj｝（1≤ j≤ m）为 Y 上的模糊划分；xij为 A ij 的峰点yj 为 Bj 的峰点；KI 为比例常数；x＝（ x1 x2…x n） T ＝（ xx ·…x （ n—1） ） T 为状态向量；置 e（ t）＝r（ t）—y（ t）r（ t）为参考输入记 e T （τ）＝ （e1e2…en ） ＝ （ ee ·…e （ n—1） ）；Pn ＝ （ p1 p2…p n） T 为使误差向量变为标量的常数向量 β（0）为初值．在式（1）中为保证稳态的跟随性好控 制器的输出含有对输入偏差的累积即积分环节． 此处需要 LMS 自适应滤波算法的步长在偏差大时 大在偏差小时小；但在小偏差时步长平滑故将输 出变量的伸缩因子取为偏差的比例． 依据变论域的思想则变步长 LMS 算法的步 长为： μ（ k＋1）＝ KI Ue（ k） ∑ m j＝1 Aj e（ k） α（e（ k）） μj （2） 则 LMS 自适应滤波算法的迭代公式如下： e（ k）＝d（ K）—X T （ k） W（ k） （3） W（ k＋1）＝ W（ k）＋2μ（ k） e（ k）X（ k） （4） 其中W（ k）为自适应滤波器在时刻 k 的权矢量 X（ k）为时刻 k 的输入信号矢量d（ k）为期望输出 值e（ k）是误差信号μ（ k）是步长因子．LMS 算法 收敛的条件为： 0＜μ＜1／λmax λmax是输入信号自相关矩阵的最大特征值． 2 基于变论域的变步长 LMS 自适应算法的 收敛性 定理 当 ∑ k－1 i＝0 4μ（ i）ΔT （ i） R tr R ［ W（ i）—μ（ i）tr RΔ（ i）］ 有界且 Δ（ k）＝ W （ k）— W ∗R＝E ［ X（ k） X T （k）］时基于变论域变步长 LMS 自适应滤波算法 是收敛的． 证明 设李雅普诺函数为［12—13］： v （ k）＝ W T （ k） R —1（ k） W（ k） （5） 将式（5）右乘 W —1（ k）则： v （ k） W —1（ k）＝ W T （ k） R —1（ k） （6） 将式（6）右乘 R（ k）则： v （ k） W —1（ k） R（ k）＝ W T （ k） （7） v （ k） W —1（ k）X（ k）X T （ k）＝ W T （ k） （8） 将式（8）右乘 X（ k）则： v （ k） W —1（ k）X（ k）X T （ k）X（ k）＝ W T （ k）X（ k） （9） 假定权系数的个数很大大数定律表明 X T （ k）· X（ k）在本质上将是一个常数有： X T （ k）X（ k）＝tr R （10） 则式（9）变成： v （ k）tr RW —1（ k）X（ k）＝ W T （ k）X（ k） （11） 将式（11）右乘 X —1（ k）则有： v （ k）tr RW —1（ k）＝ W T （ k） v （ k）＝ 1 tr R W T （ k） W（ k） （12） 由式（4）有： W（ k）＝ W（ k—1）＋2μ（ k—1） e（ k—1）X（ k—1） 则： v （ k）＝ 1 tr R ［ W T （ k—1）＋ 2μ（ k—1） e（ k—1）X T （ k—1）］ ［ W（ k—1）＋ 2μ（ k—1） e（ k—1）X（ k—1）］ v （ k）＝ 1 tr R ［ W T （ k—1） W（ k—1）＋ 4μ（ k—1） e（ k—1） W T （ k—1）X（ k—1）＋ 4μ2（ k—1） e 2（ k—1）X T （ k—1）X（ k—1）］＝ v （ k—1）＋ 1 tr R 4μ（ k—1） e（ k—1）X T （ k—1）· W（ k—1）＋4μ2（ k—1） e 2（ k—1） （13） 由式（4）有： e（ k）＝d— W T （ k）X（ k）＝ （ W ∗— W（ k）） T X（ k）＝ —ΔT （ k）X（ k）＝—X T （ k）Δ（ k） Δ（ k）＝ W（ k）— W ∗． 将上式代入式（13）有： v （ k）＝v （ k—1）— 1 tr R 4μ（ k—1）ΔT （ k—1）· X（ k—1）·X T （ k—1） W（ k—1）＋4μ2（ k—1）· ΔT （ k—1）X（ k—1）X T （ k—1）Δ（ k—1）＝ v （ k—1）— 4μ（ k—1）ΔT （ k—1） RW（ k—1） tr R ＋ 4μ2（ k—1）ΔT （ k—1） RΔ（ k—1） v （ k—1）—v （ k）＝ 4μ（ k—1）ΔT （ k—1） R tr R · ［ W（ k—1）—μ（ k—1）tr RΔ（ k—1）］ （14） 而 v （0）—v （ k）＝ ∑ k－1 i＝0 4μ（ i）ΔT （ i） R tr R ［ W（ i）—μ（ i）tr RΔ（ i）］ （15） 因limi→∞ Δ（ i）→0则式（15）的求和总值总是有界的 第1期 白 晶等： 基于变论域的变步长 LMS 算法 ·109·
,110 北京科技大学学报 第31卷 即： 电感L.=0.2942H,电机转子电感L.=0.3005H, n4(△R[W(i)-4(i)rRA()]=0 电机定转子电感Lm=0.2865H,电机转动惯量J= lim trR 0.0618kgm2. (16) 利用对象建模结构框图1，基于变论域变步长 因W(i)一(i)trR△(i)≠0，(i)≠0，R≠0，则 LMS自适应滤波算法建立感应电机变频调速转速 1im△(i)=0,△(i)=W(i)-w*,即： 子系统的模型，对转速子系统输入变量误差的论域 lim W(i)=w* (17) 为[-5,5]，其隶属函数为18个三角形隶属函数； 由式(12)有： 输出变量步长的论域为[0,2]，其隶属函数亦为18 i武4)Rr() 个三角形隶属函数，建模信号取为白噪声，定步长 LMS自适应滤波算法中步长因子H=0.8.对象输 约=w(. (18) 出、变论域变步长LM$自适应滤波算法建立的对 象模型输出、定步长LMS自适应滤波算法建立的 其中i(k)=)山，W(k)= △T 对象模型输出对比如图2所示，由图2可知，变论 wk)-k-1),△→0，由式(14)有： 域变步长LMS自适应滤波算法建立的对象模型输 △T 出可完全跟随对象输出，定步长LMS自适应滤波 i(k)=)=k-1=4(k-)4"k-山R. 算法建立的对象模型输出在拐点处有高达70%的 △T △TrR 尖峰.可见，变步长LMS自适应滤波算法比定步长 [(k-1)trR△(k-1)-W(k-1)](19) LMS自适应滤波算法在对象建模上具有更好的跟 则由上述两式有： 踪能力 42(k-1)△T(k-1)RtrR△(k-1)= 2△W(k)W()+4(k-1)△'(k-1)RW(k-1) (20) 4 由于当ko时，△(k)=0,而W(k)≠0，则： m△W(k)=i典[W(k)-W(k-1)]=0(21) 由式(17)和(21)可见，基于变论域的变步长 10 时间s LMS自适应滤波算法是完全收敛的 6 3仿真研究 将基于变论域的变步长LMS自适应滤波算法 0 应用于感应电机变频调速系统的对象建模中[14，对 10 象模型的建模结构框图如图1所示町.选用的感 时间/s 应电机型号为JQ252-4,额定功率为10kW,额定 电压为380V,额定电流为19.8A,额定转速为 4 1450rmin-1,额定频率为50，电机定子电阻 R.=1.332,电机转子电阻B=1.122,电机定子 对象扰动 10 15 20 n(k) 时间/s 对象 对象输人 对象输出 图2变步长与定步长LMS模型输出跟踪期望波形对比 G(2) ) ◆ Fig.2 Contrast track expectation wave shapes between variable and 误差 fixed step size LMS model outputs 自适应模型 k) e() G.(2) ya(k) 利用图1建立对象的模型Gm(z),在此基础上 利用Gm(z)的复制及图3逆建模结构框图，基于变 论域变步长LMS自适应滤波算法建立感应电机变 图1：有噪声扰动的自适应对象建模框图 频调速的逆模型. Fig.I Adaptive object modeling flowchart with noise 首先利用图1建立对象的模型Gm(z),在此基
即： limi→∞ 4μ（ i）ΔT （ i） R tr R ［ W（ i）—μ（ i）tr RΔ（ i）］＝0 （16） 因 W（ i）—μ（ i）tr RΔ（ i）≠0μ（ i）≠0R≠0则 limi→∞ ΔT （ i）＝0Δ（ i）＝ W（ i）— W ∗即： limi→∞ W（ i）＝ W ∗ （17） 由式（12）有： v · （ k）＝ 2 tr R W · T （ k） W（ k） v · （ k）＝ 2 tr R ΔW T （ k） Δτ W（ k） （18） 其 中 v · （ k ） ＝ v （ k）—v （ k—1） Δτ W · （ k ） ＝ W（ k）— W（ k—1） Δτ Δτ→0由式（14）有： v · （ k）＝ v （ k）—v （ k—1） Δτ ＝ 4μ（ k—1）ΔT （ k—1） R Δτtr R · ［μ（ k—1）tr RΔ（ k—1）— W（ k—1）］ （19） 则由上述两式有： 4μ2（ k—1）ΔT （ k—1） R·tr RΔ（ k—1）＝ 2ΔW（ k） W（ k）＋4μ（ k—1）ΔT （ k—1） RW（ k—1） （20） 由于当 k→∞时Δ（ k）＝0而 W（ k）≠0则： limk→∞ ΔW（ k）＝limk→∞ ［ W（ k）— W（ k—1）］＝0 （21） 由式（17）和（21）可见基于变论域的变步长 LMS 自适应滤波算法是完全收敛的． 图1 有噪声扰动的自适应对象建模框图 Fig．1 Adaptive object modeling flowchart with noise 3 仿真研究 将基于变论域的变步长 LMS 自适应滤波算法 应用于感应电机变频调速系统的对象建模中［14］对 象模型的建模结构框图如图1所示［15］．选用的感 应电机型号为 JQ2—52—4额定功率为10kW额定 电压为 380V额定电流为 19∙8A额定转速为 1450r·min —1额定频率为50Hz．电机定子电阻 Rs＝1∙33Ω电机转子电阻 Rr＝1∙12Ω电机定子 电感 Ls＝0∙2942H电机转子电感 L r＝0∙3005H 电机定转子电感 L m＝0∙2865H电机转动惯量 J＝ 0∙0618kg·m 2． 利用对象建模结构框图1基于变论域变步长 LMS 自适应滤波算法建立感应电机变频调速转速 子系统的模型．对转速子系统输入变量误差的论域 为［—55］其隶属函数为18个三角形隶属函数； 输出变量步长的论域为［02］其隶属函数亦为18 个三角形隶属函数．建模信号取为白噪声定步长 LMS 自适应滤波算法中步长因子 μ＝0∙8．对象输 出、变论域变步长 LMS 自适应滤波算法建立的对 象模型输出、定步长 LMS 自适应滤波算法建立的 对象模型输出对比如图2所示．由图2可知变论 域变步长 LMS 自适应滤波算法建立的对象模型输 出可完全跟随对象输出定步长 LMS 自适应滤波 算法建立的对象模型输出在拐点处有高达70％的 尖峰．可见变步长 LMS 自适应滤波算法比定步长 LMS 自适应滤波算法在对象建模上具有更好的跟 踪能力． 图2 变步长与定步长 LMS 模型输出跟踪期望波形对比 Fig．2 Contrast track expectation wave shapes between variable and fixed step size LMS model outputs 利用图1建立对象的模型 Gm（ z ）在此基础上 利用 Gm（ z ）的复制及图3逆建模结构框图基于变 论域变步长 LMS 自适应滤波算法建立感应电机变 频调速的逆模型． 首先利用图1建立对象的模型 Gm（ z ）在此基 ·110· 北 京 科 技 大 学 学 报 第31卷
第1期 白晶等：基于变论域的变步长LS算法 111 对象扰动 的逆模型输出与定步长LMS自适应滤波算法建立 n(k) 的逆模型输出偏离期望信号的比最大为1：8. 对象 ( 由仿真结果图4可见，在与对象模型级联实现 u(k) GH() y(k) +育 感应电机变频调速逆系统的建模方面，变步长LMS 自适应模型 X 模型参考 的逆 自适应滤波算法比定步长LMS自适应滤波算法在 =G.(2) () G() 对逆系统的建模上表现出了更好的跟踪能力： 误差 参考模型 e() 4结语 M(a) 变论域变步长LM$自适应滤波算法，可以同 图3对象存在扰动时在线逆建模框图 时兼顾初始收敛速度、时变系统跟踪能力和收敛精 Fig.3 On ine inverse object modeling flowchart with a disturbing 度三个性能指标，将变论域变步长LMS自适应滤 signal 波算法应用于控制领域的对象及其逆的建模中，可 础上利用Gm(z)的复制及图3逆建模结构框图，参 实现模型与对象的匹配 考模型取为单位1，基于变论域变步长LMS自适应 参考文献 滤波算法建立感应电机变频调速系统的逆模型，对 转速子系统逆模型，输入变量误差的论域为[一2， [1]Widrow B,Walach E.Adaptive Inverse Control.Translated by LiuS T,Han C Z.Xi'an:Xi'an Jiaotong University Press, 2],其隶属函数为18个高斯形隶属函数；输出变量 2000 步长的论域为[0,0.8]，其隶属函数为18个高斯形 (Widrow B,Walach E.自适应逆控制.刘树棠，韩祟崇昭，译. 隶属函数；建模信号取为白噪声（幅值为十1，一1，周 西安：西安交通大学出版社，2000) 期为1.60s,采样周期为0.01s),定步长LMS中步 [2]Gitlin R D.Weinstein S D.On the design of gradient algorithms 长因子μ=0.05.参考模型输出、变论域变步长 for digitally implemented adaptive filters.IEEE Trans Circuit Theory,1973(2):125 LMS自适应滤波算法建立的逆模型输出、定步长 [3]Widrow B.Walach E.On the statistical efficiency of the LMS al- LMS自适应滤波算法建立的逆模型输出对比如图 gorithm with nonstationary inputs.IEEE Trans Inf Theory, 4所示，变论域变步长LMS自适应滤波算法建立 1984(3):211 [4]Gitlin R D.Weinstein S D.The effects of large interference on the tracking capability of digitally implemented echo cancellers. IEEE Trans Commun.1978(6):833 [5]Ye H.Wu B X.The study of variable step size LMS adaptive al- gorithm.Acta Electron Sin.1990.18(4):63 (叶华，吴伯修，变步长自适应滤波算法的研究，电子学报， 1015 20 时间s 1990,18(4):63) [6]Wang M Q.Hu G L.Zheng B Y.A novel LMS adaptive filtering 2 algorithm with variable step size.I Nanjing Univ Pasts Telecom- mun,2003,23(4):12 (王敏强，胡贵龙，郑宝玉.一种新的可变步长LMS自适应滤 波算法.南京邮电学院学报，2003,23(4)：12) [7]Xu K.Ji H.Yue G X.A modified LMS algorithm for variable 10 20 时间s step size adaptive filters.JCircuits Syst.2004.9(4):115 (徐凯，纪红，乐光新.一种改进的变步长自适应滤波器LMS 算法.电路与系统学报，2004,9(4)：115) [8]Li HX.The essence of fuzy control and a kind of fine fuzy con- troller.Control Theory Appl.1997(6):868 (李洪兴，Fzy控制的本质与一类高精度Fzzy控制器的设 10 计·控制理论与应用，1997(6)：868) 15 时间s [9]Li HX.Adaptive fuzy logic controllers with variable region.Sci China Ser E.1999(2):32 图4变步长与定步长LMS逆模型输出跟踪期望波形对比图 (李洪兴.变论域自适应模糊控制器.中国科学：E辑，1999 Fig.4 Contrast track expectation wave shapes between variable and (2):32) fixed step size LMS inverse model outputs (下转第133页)
图3 对象存在扰动时在线逆建模框图 Fig．3 On-line inverse object modeling flowchart with a disturbing signal 础上利用 Gm（ z ）的复制及图3逆建模结构框图参 考模型取为单位1基于变论域变步长 LMS 自适应 滤波算法建立感应电机变频调速系统的逆模型．对 转速子系统逆模型输入变量误差的论域为［—2 2］其隶属函数为18个高斯形隶属函数；输出变量 步长的论域为［00∙8］其隶属函数为18个高斯形 隶属函数；建模信号取为白噪声（幅值为＋1—1周 期为1∙60s采样周期为0∙01s）定步长 LMS 中步 长因子 μ＝0∙05．参考模型输出、变论域变步长 LMS 自适应滤波算法建立的逆模型输出、定步长 LMS 自适应滤波算法建立的逆模型输出对比如图 图4 变步长与定步长 LMS 逆模型输出跟踪期望波形对比图 Fig．4 Contrast track expectation wave shapes between variable and fixed step size LMS inverse model outputs 4所示变论域变步长 LMS 自适应滤波算法建立 的逆模型输出与定步长 LMS 自适应滤波算法建立 的逆模型输出偏离期望信号的比最大为1∶8． 由仿真结果图4可见在与对象模型级联实现 感应电机变频调速逆系统的建模方面变步长 LMS 自适应滤波算法比定步长 LMS 自适应滤波算法在 对逆系统的建模上表现出了更好的跟踪能力． 4 结语 变论域变步长 LMS 自适应滤波算法可以同 时兼顾初始收敛速度、时变系统跟踪能力和收敛精 度三个性能指标．将变论域变步长 LMS 自适应滤 波算法应用于控制领域的对象及其逆的建模中可 实现模型与对象的匹配． 参 考 文 献 ［1］ Widrow BWalach E．A daptive Inverse Control．Translated by Liu S THan C Z．Xi’an：Xi’an Jiaotong University Press 2000 （Widrow BWalach E．自适应逆控制．刘树棠韩崇昭译． 西安：西安交通大学出版社2000） ［2］ Gitlin R DWeinstein S D．On the design of gradient algorithms for digitally implemented adaptive filters． IEEE T rans Circuit Theory1973（2）：125 ［3］ Widrow BWalach E．On the statistical efficiency of the LMS algorithm with nonstationary inputs． IEEE T rans Inf Theory 1984（3）：211 ［4］ Gitlin R DWeinstein S D．The effects of large interference on the tracking capability of digitally implemented echo cancellers． IEEE T rans Commun1978（6）：833 ［5］ Ye HWu B X．The study of variable step size LMS adaptive algorithm．Acta Electron Sin199018（4）：63 （叶华吴伯修．变步长自适应滤波算法的研究．电子学报 199018（4）：63） ［6］ Wang M QHu G LZheng B Y．A novel LMS adaptive filtering algorithm with variable step size．J Nanjing Univ Posts Telecommun200323（4）：12 （王敏强胡贵龙郑宝玉．一种新的可变步长 LMS 自适应滤 波算法．南京邮电学院学报200323（4）：12） ［7］ Xu KJi HYue G X．A modified LMS algorithm for variable step size adaptive filters．J Circuits Syst20049（4）：115 （徐凯纪红乐光新．一种改进的变步长自适应滤波器 LMS 算法．电路与系统学报20049（4）：115） ［8］ Li H X．The essence of fuzzy control and a kind of fine fuzzy controller．Control Theory Appl1997（6）：868 （李洪兴．Fuzzy 控制的本质与一类高精度 Fuzzy 控制器的设 计．控制理论与应用1997（6）：868） ［9］ Li H X．Adaptive fuzzy logic controllers with variable region．Sci China Ser E1999（2）：32 （李洪兴．变论域自适应模糊控制器．中国科学：E 辑1999 （2）：32） （下转第133页） 第1期 白 晶等： 基于变论域的变步长 LMS 算法 ·111·
第1期 刘立等：个人数字助理在设备管理中的应用 133. (蔡华，刘剑欣：基于PDA的变电站自动化系统数据采集装 设计与实现.军械工程学院学报，2005,17(3)：46) 置.电力系统通信，2007,28(8)：58) [9]Xie R Y,Li J.Wu Q Y.Design of mobile operation system based [7]Zhu Z H.Shen HH.The Application of data-base based on PDA. on PDA.Ordn Ind Autom.2005.24(1):42 J Guang-hou Unin Nat Sci Ed,2004.4(3):197 (谢荣岳，李军，吴秋云，基于PDA移动作业系统的设计.兵工 (朱志辉，沈红辉.基于PDA的数据库应用.广州大学学报：自 自动化，2005,24(1).42) 然科学版，2004,4(3)：197) [10]Zhang J L.Li F.Liu Z D.Standard management system of mo- [8]Jiang C Y.Yu Y L.Feng H J.Design and realization of materiel bile operation based on PDA.Comput Eng Des,2008.29(7): support data management system based on PDA.J Ordn Eng 1831 Coll,2005,17(3):46 (张金玲，黎峰，刘镇顶，基于PDA的移动作业标准化管理系 (姜朝毅，于永利，封会娟.基于PDA的保障数据管理系统的 统.计算机工程与设计，2008,29(7)：1831) (上接第111页) [13]Hu S S.ZHOU C.HU W L.Model-following robust adaptive [10]Li HX.Miao Z H.Wang J Y.Variable universe stable adaptive control based on neural networks.Acta Autom Sin,2000.26 fuzy control of nonlinear system.Sci China Ser E.2002(4): (5):623 211 (胡寿松，周川，胡维礼·基于神经网络的模型跟随鲁棒自适 (李洪兴，苗志宏，王加银，非线性系统的变论域稳定自适应 应控制.自动化学报，2000,26(5)：623) 模糊控制.中国科学：E辑，2002(4)：211) [14]Li H D.Modern Alternating Current Speed Regulation Con- [11]Li H X.Miao Z H.Wang J Y.Variable universe adaptive fuzy trolling System.Beijing:Electrical Industry Press.2003 control of a four-cascade inverted pendulum.Sci China Ser E. (李华德.现代交流调速控制系统。北京：电子工业出版社， 2002(2):211 2003) (李洪兴，苗志宏，王加银，四级倒立摆的变论域自适应模糊 [15]Bai J.The Study of Induction Motor Variable Frequency Speed 控制.中国科学：E辑，2002(2)：211) Regulation System Based on Adaptive Inverse Control [Disser- [12]Liu X T.Applied Adaptive Control.Xi'an:Northeast Indus- tation].Beijing:University of Seience and Technology Beijing. try University Press.2003 2005:72 (刘兴堂、应用自适应控制西安：西北工业大学出版社， (白晶，感应电机自适应逆控制变频调速系统研究[学位论 2003) 文]北京：北京科技大学，2005：72)
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