机械功能参数下可靠度的最大熵分布和贝叶斯估计

D0:10.13374/.j.1ssn1001053x.1994.01.011 第16卷第1期 北京科技大学学报 Vol.16 No.1 1994年2月 Journal of University of Science and Technology Beijing Feh.1994 机械功能参数下可靠度的最大 熵分布和贝叶斯估计 陈德勇1)马凤英1) 郑春林2)张英会1) 1)北京科技大学机械系，北京1000832)中国计量学院，杭州310034 摘要根据贝叶斯统计推断理论，提出了运用蒙特卡洛计算机模拟技术构造机械应力、强度功能参 数下的可靠度最大熵先验分布的原理和方法，通过对圆柱形螺旋弹簧的可靠度计算实例分析，表 明了这一方法具有机械工程实用价值，也为今后机械行业制定分布类型统一规范理论计算机械可 靠度提供一种探索思路和理论方法， 关键词可靠性，贝叶斯估计，先验分布/最大熵分布 中图分类号TH123.3 The Maximal Entropy Distribution and Bayes Evaluation of Reliability under the Mechanical Function Parameters Chen Deyong)Ma Fengying Zheng Chunlin2)Zhang Yinghui) 1)Department of Mechanical Engineering,USTB.Beijing 100083.PRC 2)China Institute of Metrology,Hangzhou 310043 ABSTRACT The paper is based on the Bayes statistical theory to conclude the principle and method by using Monte Carle computer similation technique,structuring the reliability maximal entropy distribution under the function parameters of mechanical stress and strength.This meth- od,by means of the counting example analysis of the cylindrical spiral spring reliability,has shown that it has the applied value in machine engineerings,and can also provide a tentative tool and theory for determining the united formal theory of distribution kinds,to calculate me- chanical reliability in machine engineering area in the future. KEY WORDS reliability,Bayes estimations,prior distributions/maximal entropy distribution 信息论的产生，形成了描述事物不确定性的概念一熵.最大熵方法是捷尼斯(Jyns) 在信息论中提出的一种原理，即最少偏见的概率分布是一种分布，它使熵在根据已知的信息 随加的约束条件下最大化·据此，作者提出了运用蒙特卡洛计算机模拟技术构造机械应力、 强度功能参数下的可靠度最大嫡先验分布的理论和方法·经研究得知最大熵先验分布能很好 1993-05-13收稿第一作者男28岁工程师硕士

第 16 卷 第 1期 1 9 94 年 2 月 北 京 科 技 大 学 学 报 oJ aunr l o f U n i vser i yt o f S acen a dn T eC h n o l o gy eB ij in g V o l 。 1 6 N 0 . 1 f功 . 1 9 9 4 机械功 能参数下 可 靠度 的最大 嫡分布和 贝 叶斯估计 陈德 勇 1 ) 马凤 英 1 ) 郑春 林 2 ) 张英会 1 ) l) 北京科技大 学机械系 , 北京 10 以犯3 2) 中 国计量 学 院 , 杭州 31 0 34 摘要 根据贝叶斯 统计 推断理论 , 提出了运用 蒙特卡洛计算机模拟技术构造机械应力 、 强度功能参 数下的可靠度最大嫡先验分 布的原理和 方法 。 通过对圆 柱形螺旋弹簧 的 可 靠度计算 实例分 析 , 表 明 了 这一方法具有机械工程 实用 价值 , 也为今后 机械行业制定分布类 型 统一规 范理 论计算 机械可 靠度提 供一种探索思路和理论方法 . 关健词 可 靠性 , 贝 叶斯估计 , 先验分布 / 最大嫡分布 中图分 类号 T H 12 3 . 3 T h e M a x i nar l E n tr o P y D i s tr ib ut i o n a nd B a y es E va lua t i o n o f R el i a b il iyt u n d e r t he M e c h a in ca l F u n c t i o n P a ar me et sr C 爪川 D 即on 夕’ ) M a F沙l酬i n g ’ ) hZ o g hC u n zi n ’ ) 劲 a n 夕 h n g h u i ’ ) l ) 众p alt ~ t o f M eC h a n ica l E吧ne ng , US T B , 氏Ui n g l〕 ) :冶3 , P R C Z ) ( 为ina 】ns t i t u t e o f M et ro l o gy , H a n 郎ob u 3 1X( H 3 A B S T R AC T hT e P a P e r 15 b a s de o n ht e B a y eS s at t is t咖1 t h co ry ot co n clu d e t he Pir 丽P le a dn n 珍 t h o d b y us in g M o n te aC rle co m P u t e r s in i a iot n 让℃h 币q ue , s t ur Ct u inr g ht e er li a b il t y am x i l l u l en otr P y d is 功b u it o n u dn er het fu n ct i o n P a ar n 坦 et sr o f m eC l l a 苗ca l st n 污5 a n d s t enr g t h . hT is n 珍 t h - o d , b y ~ ns o f t h e co u n t ign ex a m P le a n a l” 15 o f t h e 卿iln d can l s Piar l s P n n g ielr a b il yt , h as s h o wn t h a t it h as t h e a P Pil ed va l u e in ma hc ine e n g m e n n 那 , a dn ca n a lso Por v id e a ent at it ve ot o l a n d ht co yr fo r d e t e r in n ign t he u 币喇 fo l l l l a l t h co yr o f d is itr b u t i o n k l n ds , ot ca lcu al et n 坦 . ch a n i ca l er il a b il yt in am ch ine en g in e ir n g a aer in ht e fu t u er . KE Y W O R 】万 化h a b il yt , B a 卿 es t l r 以 t i o ns , P ir o r d is itr b u ti o ns / am x u ll a l e n t or Py d is itr b u it o n 信 息论的产生 , 形 成 了描述事物 不确 定 性 的概 念— 嫡 . 最 大 嫡 方 法 是 捷 尼 斯 ( aJ y n eS ) 在信 息论 中提 出 的一种 原理 , 即 最少 偏见 的概 率分 布是 一种分 布 , 它 使嫡 在根 据 已 知 的信息 随加 的约束条件 下 最大 化 . 据此 , 作 者提 出 了 运用 蒙特 卡洛 计算 机模 拟 技 术 构 造 机 械 应 力 、 强度 功能 参数下 的可靠 度最 大嫡 先验分 布 的理论 和方 法 . 经研 究 得知 最大嫡 先 验分 布能 很好 1卯3 一 05 一 13 收稿 第一作 者 男 28 岁 工 程 师 硕士 DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 1994. 01. 011

…48 北京科技大学学报 1994年No.1 地拟合各种理论分布·采用这种无信息先验分布，解决寿命型分布的贝叶斯估计，可使整个 运算过程大大简化， 1先验信息的确定 贝叶斯估计的关键取决于先验分布，而先验分布则依赖于对评估产品的原先知识的认识 程度，对于机械产品的可靠度评估问题，从经典的概率设计法可知：其可靠度是根据各自的 应力分布和强度分布确定的·如果把可靠度称为样本空间，则应力分布和强度分布所含的各 个机械功能参数应是定义于这一样本空间的元素，可由这些元素的先验信息去推断可靠度的 先验信息，并用来构造贝叶斯先验分布·根据应力分布和强度分布的干涉理论，可靠度是 “强度大于应力的整个概率”，表示成 R(t)=P(δ>s)=P(6-s>0)=P(δ/s>1) (1) 式中ǒ、s分别为强度和应力随机变量.现把安全系数n也当作随机变量，由上式得随机变 量δ和s由n表示的组合式为 n=8/s=fs (L,T,G,P,t,m)/(_1,E,B,kr,ka,m) (2) 上式中，反映强度性能特征和应力特征的各个随机变量的含义各为：L一载荷；T-温度； G-几何特征尺寸；P-物理性质；t一时间；0。一强度极限；-！-持久极限；￡一尺寸系 数；阝-表面质量系数；k一疲劳应力集中系薮；k一环境系数；m一其他因素， 在实际工程中，获取强度、应力先验信息可采用以下两种方法： (1)直接法：由实验室和现场的实验和测试获取；(2)间接法：应用已有的手册和文献 资料，通过模拟计算获取·现采用第2种方法，即将式(2)应用蒙特卡洛模拟法求出可靠 度先验信息的随机样本和先验估值，该样本的随机数子样采用最大熵曲线拟合，并将其作为 贝叶斯估计的先验分布函数. 2可靠度的蒙特卡洛模拟和最大熵先验分布 蒙特卡洛模拟法是以确定系统各个随机变量的概率模型作为其运算的基础，此方法可以 归结为4个步骤： (1)构造和描述概率过程；(2)实现从已知的概率分布抽样；(3)建立各种估计量； (4)计算机程序.现以式（2)作为计算的概率模型（简称概型）·从各个随机变量分布中 各取一子样，通过对随机变量n>1的比较和统计，求出统计概率.这一统计概率就是需求 的可靠度的一个抽样值R,反复M次这样的运算，就能获得可靠度的一组样本值R)i=1, 2,…,M. 概型中包含的各个随机变量组成不同的概率分布，而符合它们各白分布的随机数是通过 (01)区间均匀分布随机数转换得到的·(0,1)区间均匀分布随机数转化为其他分布随机 数的方法有逆变换法、舍选法、组合法和近似法·本文应用乘同余数法产生（0,1)区间均 匀分布随机数·其推递表达式为

北 京 科 技 大 学 学 报 1男岭 年 N o . 1 地拟 合各 种 理论分布 . 采 用这 种无信 息 先验 分布 , 解 决 寿命型分 布 的 贝叶斯 估计 , 可 使整个 运算 过程 大大简化 . 1 先验信息 的确定 贝 叶斯估计的关键取 决于 先验分布 , 而先 验分 布 则依赖 于对 评估 产 品 的 原先 知识 的认 识 程度 . 对于 机 械 产 品的可 靠度 评估 问题 , 从经典的概 率设计法可 知 : 其 可靠 度是 根据各 自的 应力 分布 和强 度分 布 确定 的 . 如果 把可 靠度 称为样 本 空 间 , 则应 力分布和 强度 分布 所含 的各 个机械 功 能参数应 是定 义于 这 一样 本空 间的元 素 , 可 由这些 元素 的先 验信 息去 推 断可靠 度 的 先验 信息 , 并 用 来 构造 贝 叶斯先验分 布 . 根 据 应力 分 布 和 强 度 分 布 的干 涉 理 论 , 可 靠 度 是 “ 强 度大于 应力 的整个概率 ” , 表示 成 R ( r ) = P ( 占> s ) = P ( 占一 s > O) = P ( 占/ s > l ) ( l ) 式 中 占 、 s 分 别 为强度 和 应力 随机 变量 . 现把安 全 系数 n 也 当作 随 机 变 量 , 由上 式 得 随机 变 量 占和 s 由 n 表 示 的组 合式 为 n = j / s = 儿 ( L , T, G , P , t , m ) /天( 几 , a 一 。 , 。 , 刀 , k f , k d 上式 中 , 反 映强 度性 能 特征 和应 力特 征 的各 个 随机 变 量 的 含 义 各 为 : , m ) L 一 载 荷 ; G 一 几 何特征 尺寸 ; 尸一 物 理 性 质 ; t 一 时 间 ; 数 ; 刀一 表 面质 量系 数 ; 凡一 疲 劳应 力集 中系 蔽 几 一 强 度极 限 ; a _ , 一 持 久 极 限 ; ; 戈一 环境 系数 ; m 一 其 他 因 素 ( 2 ) T 一 温 度 ; ￡一 尺 寸 系 在 实 际工 程 中 , 获取 强 度 、 应力 先验 信息 可采 用 以下 两种 方法 : ( l) 直接 法 : 由实验室 和现 场 的实验和 测试 获取 ; ( 2) 间接法 : 应 用 已 有 的手 册和 文献 资料 , 通 过模拟计算 获取 . 现采 用第 2 种方法 , 即将式 ( 2) 应用 蒙 特 卡 洛 模 拟 法 求 出 可 靠 度 先验 信 息 的随机样 本和 先 验估值 , 该 样 本的 随机数 子样 采用最 大 嫡 曲线拟 合 , 并 将其 作为 贝 叶斯估计 的先验 分布 函 数 . 2 可靠 度 的 蒙特卡洛模拟和最 大嫡先验分布 蒙特 卡 洛模 拟 法是 以 确定 系 统各个 随机 变量 的概 率模 型作 为其运 算 的基 础 . 此 方法 可 以 归结 为 4 个步 骤 : ( l) 构 造和 描 述概 率过 程 ; ( 2) 实 现从 已 知 的 概 率 分 布 抽 样 ; ( 3) 建 立 各 种 估计 量 ; ( 4) 计算 机程 序 . 现 以 式 ( 2) 作 为 计算 的概率 模 型 ( 简称概 型 ) . 从各 个 随 机 变 量 分布 中 各取 一子 样 , 通 过 对 随机变 量 n > 1 的 比 较和 统计 , 求 出统计 概 率 . 这 一 统计 概 率 就 是 需 求 的可 靠度 的 一个 抽样 值 风 , 反复 M 次 这样 的运算 , 就 能 获 得 可 靠 度 的 一 组 样 本 值 扭小 i 一 1 2 , … , M . 概型 中包含 的各 个 随机 变量 组成 不 同的概 率分 布 , 而符 合它 们各 自分 布 的随机 数是 通 过 ( O , l) 区 间均 匀分 布 随机 数转 换得 到 的 . ( O , l) 区 间均匀分 布 随机 数转 化 为其他分布 随机 数 的方 法 有逆 变换法 、 舍 选 法 、 组合 法和 近似 法 . 本文 应用 乘 同余 数 法产 生 ( 0 , l) 区 间均 匀分布 随机数 . 其推 递表 达式 为

Vol.16 No.1 陈德勇等：机械功能参数下可靠度的最大熵分布和贝叶斯估计 49 x,=x,-1 (mod M) (3) 4=x,M1 i=1,2,…, 式中元、x。和M为初选参数.由此产生的数列{x,}在特性上应该近似真正的均匀随机数 列，即在均匀性、随机性和独立性等方面都拟合于均匀分布随机数.随机数的统计特性用统 计假设检验来鉴定，只要均匀分布随机数通过了假设检验，则由它而产生的任何分布的随机 数可以严格满足各项检验的指标.现选定一组初值'M=2、1=5、x。=1972,用这组初值 所产生的随机数已通过了各项统计指标的检验， 应用蒙特卡洛求解可靠度抽样值{R}和估计值R的计算步骤如下： (1)确定概型公式，这里为安全系数n的表达式； (2)确定概型公式中各个随机变量的分布类型.若不明确分布类型，一般设为正态分态， (3)计算各个变量分布的随机数，每组随机数可算出一个安全系数，若安全系数大于1 则统计，否则不统计； (4)将n>1的次数除以已经模拟的次数得到R的一个抽样值，重复(3).(4)，最好超过 1000次，就可获得可靠度的分布样本{R,}(i=1,2,…,L≥1000)： (5)计算模拟可靠度值=N1/L,即可靠度等于安全系数大于1的总次数除以总模 拟次数. 在得到了可靠度R的分布样本后，需根据此样本构造贝叶斯估计的先验分布，按一般 方法首先要判断{R}的分布类型，然后假设为某种分布，再经假设检验确定是否接受所设 的分布.本文应用最大熵先验分布的方法，使整个运算大大简化.根据作者的研究得知， 开始 (A 输人各个随机变量分布 特征值，模拟总次数M 由{R}计算S[以，i=1,4 L+1;N0 求解最大嫡特征系数 由(0,1)区间均匀分布随机 打印输出mt,i=0,4 数计算各个变量分布随机数 计算安全系数n 结束 n>1 飞 Y N++;R[N]--N/L 图1蒙特卡洛一最大熵法求解先验 业 N 分布程序框图 L>M Fig.1 Block diagram of program used TY to determine prior distribution with 可靠度RN/L Monte Carle maximal entropy ④ *陈立周.计算机模拟技术。北京科技大学机械设计教研室资料

V 6 1 . 1 6 N 6 . 1 陈德勇 等 : 机械功 能参数下 可 靠度的 最大嫡分布和 贝 叶斯估计 、 ! 少产| n 勺ù x , = 又x , 一 , ( mo d M ) u , = x , M 一 1 1= l ( 3 ) 式 中 又 、 x o 和 M 为初 选 参数 . 由此产 生 的数 列 笼 x , } 在 特 性 上 应 该 近 似 真 正 的 均 匀 随 机 数 列 , 即 在 均匀 性 、 随机 性 和独 立性等 方 面都拟 合于 均 匀分布 随机 数 . 随机 数 的统计特性 用 统 计假 设检 验来 鉴定 . 只 要均 匀分 布 随机数 通过 了假 设检 验 , 则 由它而 产生 的 任 何分 布 的 随机 数可 以严 格满 足各项 检 验 的 指标 . 现 选定 一组初值 ’ M = 2 ” 、 又= 5 ” 、 x 。 = 1 9 72 , 用 这 组 初 值 所产 生 的 随机 数 已 通过 了各 项 统计指 标 的 检验 . 应 用 蒙特 卡 洛求解 可靠 度抽 样值 毛R } 和 估计值 反的计算 步骤 如下 : ( l) 确定 概 型 公 式 , 这里 为安 全系数 n 的表 达式 ; ( 2) 确 定概型公 式中各个 随机变量 的分 布类 型 . 若 不明确分布 类 型 , 一般设为正 态 分态 【’ l ; ( 3) 计 算各 个 变量分 布 的随 机数 , 每组 随机 数可 算 出一个 安全 系数 , 若 安全 系数大于 1 则统 计 , 否则 不 统计 ; ( 4 ) 将 n > 1 的次 数除 以 已 经模 拟 的 次 数 得 到 R 的一 个抽 样 值 , 重 复 ( 3) 、 (4) , 最 好 超过 1 0 0 次 , 就 可 获得 可靠度 的分 布样 本 I R . } ( i = 1 , 2 , … , L ) 1 0 0 ) ; ( 5) 计算 模拟 可 靠度值 及二 从 》 : / L , 即可 靠 度 等 于 安 全 系 数 大 于 l 的总 次 数 除 以 总模 拟次数 . 在 得到 了 可 靠度 R 的分布 样本 后 , 需根 据 此 样 本 构 造 贝 叶 斯估计 的 先 验分 布 . 按 一 般 方 法首 先要 判 断 { R } 的分 布类型 , 然 后假设 为某 种分 布 , 再经假 设检 验 确定是 否 接 受 所设 的分布 . 本 文应 用最 大嫡 先验分 布 的方法 , 使 整个运 算 大 大 简 化 . 根 据 作 者 的研 究 得 知 { 2〕 , ④备 输 人各个 妙 随机 变量 分布 特征 值 , 模 拟 总次数 M } L , 一 , ; N ~ 。 l 下一一一一 一 杏 由 { R }计 算 S 【11 , i = l , 4 { }求解 最大 嫡特 征系 数 } 由 ( O , 1) 区 间均 匀 分 布 随机 数计 算 各个变量 分布 随 机 数 打印 输 出 lm t l i } , i = 0 , 4 L + + 计 算安 全系 数 陀 N + + ; R 【间 ` N / L @ 图 1 瑰 . 可 靠度 R 阅 刃 / L 蒙特卡洛 一 最大摘 法 求解先验 分布程序框图 E知犯k 面增皿n of .l 侧妙 . 1 1 .曰目 ot 血处 m l七比 .戚丫 口目的加面闻 俪伪 M 佣te C 田倪 . . 劝. 川 。 山侧叮 ④ * 陈立 周 . 计 算机模 拟 技术 . 北 京科技大学 机 械设计 教研 室 资料

.50 北京科技大学学报 1994年No.】 最大熵分布能够很好地拟合各种理论分布，因此，可靠度的先验分布被构造成最大熵分布 类型，其表达式为 h(R)=exp(+R) 0≤R≤1 (4) 其中，m为矩的阶数，这里取m=4;、入为最大熵分布特征系数.数值计算的程序框图如 图1所示， 3可靠度的贝叶斯估计31 根据贝叶斯定理，可靠度的后验分布 k(R/r)=h(R)g(r/R)/f(r) (5) 在对机械产品进行可靠度估计时，往往碰到数据不足的问题，此时把试验模式取为成败型模 式.r为投人n个产品试验后失败的个数，在产品可靠度为R的条件下，试验结果为r的概 率密度函数为二项分布： g(r/R) (1-R) r=0,1,2,,n (6) 统计量·的边际概率密度函数为 f(r)-f(r.R)dR-h(R)a(r/g)dR ep6+言AR(）R=I-RydR (7) 采用后验分布k(R/r)的均值作为R的贝叶斯点估计，则参数R的贝叶斯估计值为 R=E(R/r)= R·k(R/r)dR (8) 将各关系式代入上式得 R=Rh(R)g(r/R)dR/ h(R)g(r/R)dR -op(套，R)RI-R)dR/即套R)RI-RdR (9) 另外，利用贝叶斯处理区间估计相似的公式特点，很方便地可以作出可靠度R的置信限 的估计，对于区间估计，通常关心的是待估参数的置信下限，由R的后验密度k(R/r)可求 得可靠度置信下限R,其式为 k(R/r)dR=a=1-y Jo 式中，x为显著性水平或风险；y为置信度或置信水平·.其计算机程序框图如图2所示

北 京 科 技 大 学 学 报 1塑抖 年 N 6 . l 最 大嫡 分 布能 够很 好地 拟合 各 种理论分布 . 因 此 , 可 靠度 R 的先验 分布被构 造成 最大 嫡分 布 类 型 , 其表达 式 为 h ( R ) = ex p (又。 + 艺又 `只` ) o 簇 只 簇 l ( 4 ) 其中 , m 为矩 的阶数 , 这 里取 m = ;4 凡 、 又 ` 为最大 嫡分 布特 征系 数 . 数值计算 的程 序框 图 如 图 l 所示 . 3 可靠 度 的贝 叶斯估 计 13 1 根 据 贝 叶斯定 理 , 可靠 度 的后验 分布 k ( R / r ) = h ( R ) g ( r / R ) / f ( r ) ( 5 ) 在 对 机械 产 品进行 可靠 度估 计时 , 往 往碰 到数 据不足 的问题 , 此 时把试 验模 式取 为成 败型模 式 . r 为投 人 n 个 产 品试验 后失 败 的个数 , 在 产 品可靠度 为 R 的条 件 下 , 试 验 结 果 为 r 的概 率 密度 函 数为二 项 分布 : 。 ( · / “ , 一 ( ) ) R 一 ( , 一 R ) r 二 0 , 1 , 2 , ” ’ , n ( 6 ) 统计量 r 的边 际概 率 密度 函 数 为 , ( ; , 一 上 l 一 上 f ( r , R ) d R = 工认( · , g ( r / g ’ d “ xe p (凡十 艺凡 ; ` ) ( 犷) “ 一、 , 一 “ , · d R ` 7 , 采 用 后验 分布 k ( R / r ) 的均值 作为 R 的 贝 叶斯 点估计 , 则参数 R 的 贝叶斯 估计值 为 “ 一( R / · ) 一 上 。 ( ?0) · “ ( “ / r , d R ( 8 ) 将 各关系 式代 入上 式得 “ 一 工 ’一 , ) g ( · /· ) d· /工 ’ ” (· )。 ( r /· ) d · 工 e x p (艺又 , R ” R ” 一 ` ’ ` , 一 R , r d R /工xe p (艺又 1尺 。 )尺一 ( l一 尺 ) r d尺 ( 9 ) 另 外 , 利 用 贝 叶斯 处理 区 间估计 相 似的公 式特 点 , 很 方便 地 可 以作 出 可靠 度 R 的置信限 的 估 计 . 对于 区 间估计 , 通 常 关心 的是待 估参 数 的置信 下限 , 由 R 的后 验 密度 k ( R / )r 可 求 得可 靠 度置 信下 限 R : , 其 式 为 广 ( R / · , d “ 一 ’ 一 ’ 式 中 , : 为显 著性水 平 或风 险 ; 下为置信 度或 置信 水平 . 其计 算 机程 序框 图如 图 2 所示

Vol.16 No.I 陈德勇等：机械功能参数下可靠度的最大熵分布的贝叶斯估计 .51. 年始 A 输人n,r,mt[i小，(i=1,4) 打印输出R值 a-0b.-1;eps0.00001 计算R吗？> Y 求4=J。h(R)g(r/R)dR; 求解R并输出 求u,=JRh(R)g(r/R)dR; 结刺 R*u山/u2 图2可靠度贝叶斯估计程序框图 A Fig.2 Block diagram of program used to evalute reliability with Bayes methods 4 圆柱形螺旋压缩弹簧的可靠度评估实例分析1 现有一批50CrVA钢制作的螺旋压缩弹簧，其基本参数为：C=6;d=4mm;H。=86.65mm; n,=14.2;n2=12.2;o。=1600N/mm2.试计算该种弹簧寿命在N=10次时的可靠度. 4.1疲劳强度安全系数关系式的确定 弹簧受力F与变形量关系为 F=(dG/8Dn)A (11) 式中，G为弹簧材料的剪切弹性模量；n为弹簧的有效工作圈数. 当弹簧所受载荷在最小载荷F,和最大载荷F之间变化时，其扭转应力在tmn和tmm之 间变化，即 min =k 8D R(+0)0·4=+DaG 8D 8D'n πD'n (12) tm-k- πDn (13) 式中，k-曲度系数，k=1+0.5/C=1+d/2D;C-旋绕比（或弹簧指数），C=D/d; 、-最小值最大变形量. 弹簧的工作应力多为最小应力保持不变的循环应力，应用Goodman极限应力图可推出 疲劳安全系数为 =1+日2Dao+0.75会 toπDn 2 (14) 式中，。为脉动疲劳极限 4.2输入参数和计算分析 螺旋压缩弹簧各参数的标准离差可按下面的公式计算：

V 6 1 . 16 N o . 1 陈德勇等 : 机械功 能 参数下可 靠度 的最大嫡分布 的 贝叶 斯估计 输人 n , r , lnI r [门 , ( i = l , 4 ) a ~ o b~ ;1 e ps 月刁 . (叉】) 01 求 U : 一 丁; 、 (。 。 ( ; / 二 ) d ; ; 求 u Z一 丁; ; 。 (。 。 ( ; / ; ) d ; ; 图 2 可靠度贝 叶斯估计程序框 图 瑰 . 2 翻卜业 面粤朋. of 脚雌卿 111 1 . 闭 to 臼旧】叫比 川肠目姆 就山 B a yes 11暇月x 山 4 圆柱形 螺旋 压缩 弹簧的可靠 度评估 实例 分析 14 1 现有一批 50 C r V A 钢制作 的螺旋 压缩 弹簧 , 其 基本参数 为: C = 6 ; d = 4 ~ ; 0H = 86 . 65 ~ ; n l = .14 2 ; n Z = .12 2 ; 6 b = 1 60 o N / ~ ’ . 试计算 该种 弹簧 寿命在 N = I J 次 时 的可靠 度 . 4 . 1 疲 劳强 度安全系数 关 系式的确 定 弹簧 受力 F 与变 形量 又关系 为 F = ( d ` G / S 3D n ) 又 ( 1 1 ) 式 中 , G 为弹 簧材料 的剪切 弹性模 量 ; n 为弹簧 的有 效工作 圈 数 . 当弹簧 所受 载荷 在最 小载 荷 F l 和最 大载 荷 几 之 间 变 化 时 , 其 扭 转 应 力 在 : 二 。 和 T ~ 之 间变化 , 即 瑞 n 一 、 器 。 一 ( 卜 命 )器 · T一 、 器 。 一 ( 1 · 命 )器 · 又 1 = ( l + d / ZD ) d G 又 1 兀 夕 砚 ( 12 ) 了一江 一吞G d4 G 。 ( l + d / ZD ) d G 又 , 一 : , , ; - - 式 , = — _ 占yL n ` 兀 夕 n ( 13 ) 式 中 , k 一 曲度 系数 , k 二 1 十 0 .5 / C 二 1 + d / ZD ; C 一 旋 绕 比 又 . 、 又 2一 最 小值 最大 变形量 . 弹簧 的工作 应力 多 为最小 应力 保持 不变 的循 环应力 , 应 用 疲 劳安全 系数 为 (或 弹簧 指数 ) , C = D / 武 G o o d lna n 极 限 应 力 图可 推 出 S = : imI / ` ~ 二 、 兀 D Z n ( l + d / Z D ) d G 又 2 ( 14 ) 式 中 , eT 为脉 动疲 劳极 限 . 4 . 2 输入参数和计算分 析 螺旋 压缩 弹簧各 参 数的标 准 离差 可按下 面 的公式 计算 :

52 北京科技大学学报 1994年No.1 (1)簧丝直径的标准离差：04=0.00158d;(2)弹簧平均直径的标准离差：op=0.0058D; (3)剪切弹性模量的标准离差：σ。=0.02G;(4)弹簧变形量的标准离差：o:=0.021; （5)弹簧圈数的标准离差：0.=1/12≈0.0833； (6)材料抗拉强度极限的标准离差：。=84.9N/mm2; (7)脉动疲劳极限的标准离差：=0.3×8.49=25.47N/mm2. 设式(14)所确定的各个变量都按正态分布，现分别求得它们各自的均值和标准离差值，其 结果如表1所示. 附表计算机输入参数 Taable Enter parameters for computer 编号 参数 均值 标准离差 D/mm 24 0.1392 2 d /mm 4 0.00632 3 G/N·mm-2 81000 1620 n 12.2 0.0833 5 /mm 7.87 0.1574 6 /mm 23.87 0.4774 to/N·mm2 480 25.47 根据弹簧的疲劳试验，其基本数据为： H1=78.78mm,H2=62.78mm,H.=70.78mm,1=H。-H1=7.87mm,2=H。-H2=23.87mm, 装机数96件，截尾试验到10×10(10)次时停机，共有51件被破坏. 经蒙特卡洛模拟1000次计算后，可靠度的模拟值R=0.997,可靠度的贝叶斯估计值 R=0.993. 可见，贝叶斯的计算结果与模拟结果基本一致，若两者相差极大，则应检查模拟的概型 和各个随机变量标准离差以及其他设计条件是否正确·， 5结束语 机械工程目前尚未有适当的方法解决应力强度功能参数下的机械可靠度计算问题，往往 由于应力强度分布类型的多样性，使可靠度的计算变得十分困难，本文根据贝叶斯统计椎断 理论，提出了运用蒙特卡洛计算机模拟技术构造机械应力强度功能参数下的可靠度最大熵先 验分布的原理和方法，这一方法具有工程实用价值，也可为今后机械行业制定分布类型的统 一规范理论计算机械可靠度提供一种探索思路和途径。 参考文献 1徐灏.机械强度的可靠性设计.北京：机械工业出版社，1984,112~113 2陈德勇，机械可靠性指标评估一贝叶斯方法的理论与应用研究：「硕士学位论文]，北京科技 大学，1991 3牟致忠.机械零件可靠性设计.北京：机械工业出版杜，988.206~208 4张英会，弹簧的疲劳强度计算.机械强度、1982(4)：21~24

· 5 2 · 北 京 科 技 大 学 学 报 1 望科 年 N O . l ( l) 簧 丝直径 的标 准 离差 : 几 二 0. 0 1 58 武 ( 2) 弹 簧平均 直 径 的标准 离差 : 几 二 0. 0 5 S D ; ( 3) 剪切 弹性 模量 的标 准离差 : 。 。 = 0. 02 G ; ( 4) 弹 簧变形 量 的标 准离差 : 。 * = 0. 02 七 ( 5) 弹 簧圈数 的标 准 离差 : 。 , = 1/ 12 “ .0 0 8 3 ;3 ( 6) 材 料 抗拉 强度 极 限 的标 准 离差 : 。 。二 84 .9 N / ~ ’ ; ( 7) 脉动 疲劳极 限 的标准 离差 : 。 0T 一 .0 3 ` 8 . 49 一 25 · 47 N / ~ , . 设式 ( 14) 所 确定 的 各个 变量都 按 正态分 布 , 现分别 求 得它们 各 自的均 值和 标 准离差 值 , 其 结果如 表 1 所 示 . 附 表 计算机输入参数 1’a 。 晓 正翔甘 脚盯. 犯舰岛 俪 阴聊沁 编 号 参 数 均 值 标 准 离 差 D / n l n l d / 1 1u l l G / N · ~ 一 2 24 4 81 侧1) 12 . 2 7 . 8 7 23 . 87 铭0 0 . 139 2 0 . 侧拓 32 1 620 0 . 08 3 3 0 . 1 5 7 4 0 . 47 7 4 2 5 . 47 , `内,1 、 4 入/ 11u l l 凡/ 11 111 1 T 。 / N · n l l l l ù、é乙U,了 根据 弹簧 的疲 劳 试验 , 其基 本 数据 为 : H l = 7 8 . 7 8 ~ , 从= 6 2 . 78 ~ , mH 二70 . 7 8 ~ , 又 , = 月 l厂月 l 二.7 8 7 ~ , 又 2 = 月` 从 趁 3 . 8 7 n u n , 装机数 % 件 , 截尾 试验 到 10 X 10 6 ( 10 , ) 次 时停机 , 共 有 51 件 被破 坏 . 经 蒙特 卡洛 模拟 l 侧洲〕次 计 算后 , 可靠 度 的 模 拟 值 oR = .0 9 97 , 可 靠 度 的 贝 叶 斯 估 计值 tR = .0 9 93 . 可 见 , 贝 叶斯 的计算 结果 与模 拟结 果基 本一 致 . 若两 者相差 极 大 , 则 应检 查模拟 的概 型 和各 个 随机 变量 标准 离差 以及 其他 设计 条件 是否 正确 . 5 结 束 语 机 械工 程 目前 尚未有 适 当的方 法解 决应 力强 度功 能参 数下 的机 械可靠 度计 算 问题 , 往 往 由于 应力 强 度分 布类 型 的多样 性 , 使可靠度 的计算变 得 十分 困难 . 本文 根据 贝叶斯 统计 推断 理论 , 提 出了 运 用蒙 特 卡洛计算 机模拟 技术 构造 机械 应力 强度 功能 参数 下的可 靠度 最大 嫡先 验分 布 的原理 和 方法 . 这一方 法具 有工 程 实用价 值 , 也 可为今 后机 械行 业制定 分布类 型的统 一规范理 论计算 机械 可 靠度提 供一种探 索思 路 和途径 。 参 考 文 献 l 徐濒 . 机械强 度 的 可 靠性 设计 . 北京 : 机 械工 业 出 版社 , 19 84 . 1 12 一 1 13 2 陈德 勇 . 机 械可 靠性 指 标评估 一 贝 叶 斯方法 的 理 论 与 应用 研 究 : [ 硕 士 学 位 论 文 ] . 北 京 科 技 大学 , 1卯1 3 牟致忠 . 机械零件 可靠性设计 . 北京 ; 机 械工 业 出 版社 , 19 8 . 2伪 一 2朋 4 张 英 会 . 弹簧 的疲 劳强度计算 . 机械 强度 , 1982 ( 4) 二 21 一 24