《电磁学》课程教学资源（知识要点）第五章 恒定电流的磁场

第五章恒定电流的磁场目的：1、深刻理解磁感应强度失量B的物理意义及其定义。2、明确毕奥一一萨伐尔定律的意义，掌握其内容，记住其数学表达式，并能熟练应用该定律来计算一些不同形状载流导体磁场的方法3、掌握磁场的通量定理和安培环路定理的内容并记住其数学表达式，并能熟练应用安培环路定理计算具有对称性分布的磁场。4、掌握磁感应线的性质和磁通量的概念，记住磁通量的定义式，并能熟练计算磁通量。5、掌握洛仑兹力公式F=q(v×B）并能用它判定运动电荷在磁场中受力的方向，计算受力的大小，掌握带电粒子在均匀磁场中的运动规律。6、掌握安培定律的内容，记住其数学表达式dF=ldixB并应用它计算载流导体在磁场中所受的作用力，计算平面截流线圈在匀强磁场中所受力矩记住计算力矩的公式。7、了解速度选择器、回旋加速器、汤姆逊实验、质谱仪的原理，会计算运动电荷同时受电场力和磁场力的问题。8、了解安培力和洛仑兹力的关系，了解电流强度单位一一安培的定义。$5-1磁的基本现象安培分子环流假说：任何物质的分子中都存在着环形电流即分子电流，都要产生磁场，它揭示了物质磁性的电本质，磁性的起源是电流。磁场：任何运动电荷或电流，均在周围空间产生磁场。磁场对外的重要表现是磁场对引入磁场中运动电荷或载流导体有磁力的作用。S 5-2 磁感应强度失量磁感应线磁感应强度失量：描述磁场性质的物理量，我们用B来表示，磁场中各场点都有确定的磁感应强度量B，且一般来说，不同场点B的大小和方向都可能不同。fB

第五章 恒定电流的磁场 目的： 1、深刻理解磁感应强度矢量 的物理意义及其定义。 2、明确毕奥——萨伐尔定律的意义，掌握其内容，记住其数学表达式，并能熟练应用该定 律来计算一些不同形状载流导体磁场的方法。 3、掌握磁场的通量定理和安培环路定理的内容并记住其数学表达式，并能熟练应用安培环 路定理计算具有对称性分布的磁场。 4、掌握磁感应线的性质和磁通量的概念，记住磁通量的定义式，并能熟练计算磁通量。 5、掌握洛仑兹力公式 并能用它判定运动电荷在磁场中受力的方向，计算受 力的大小，掌握带电粒子在均匀磁场中的运动规律。 ６、掌握安培定律的内容，记住其数学表达式 并应用它计算载流导体在磁场中所受的作用力，计算平面截流线圈在匀强磁场中所受力矩， 记住计算力矩的公式。 ７、了解速度选择器、回旋加速器、汤姆逊实验、质谱仪 的原理，会计算运动电荷同时受电场力和磁场力的问题。 ８、了解安培力和洛仑兹力的关系，了解电流强度单位——安培的定义。 §５-１ 磁的基本现象 安培分子环流假说：任何物质的分子中都存在着环形电流即分子电流，都要产生磁场，它揭 示了物质磁性的电本质，磁性的起源是电流。 磁场：任何运动电荷或电流，均在周围空间产生磁场。磁场对外的重要表现是磁场对引 入磁场中运动电荷或载流导体有磁力的作用。 §５-２ 磁感应强度矢量 磁感应线 磁感应强度矢量：描述磁场性质的物理量，我们用 来表示，磁场中各场点都有确 定的磁感应强度矢量 ，且一般来说，不同场点 的大小和方向都可能不同。 B F  q (v  B) d F  Id l  B B B B B

磁感应强度矢量的定义方法有多种，教材上选用磁场对运动电荷的作用来描述磁场，当试探电荷q。以速度，通过磁场中某点P时，受到磁力F的作用，当9。沿某一直线通过P点时磁力F等于零。我们使试探电荷9。沿垂直这条直线以速度运动，这时的磁力，，则定义的大小为：B=五qoviB的方向平行于x的方向，即B=互×qov磁感应线：磁感应线和电场线相同，是一个辅助的物理量。磁感应线上任一点的切线方向和该点处的磁场的磁感应强度方向一致，在任何磁场中，每一条磁感应线都是环绕电流的无头无尾的闭合线，而且每条闭合磁感应线都与闭合电路互相套合，因此磁场是一种涡旋无源场。匀强磁场：如果磁场中各点的磁感应强度都相同，即各点的的大小相等，方向一致，那么，该磁场就称为匀强磁场，匀强磁场用平行等距的磁感应线描绘。$5-33毕奥一一萨伐尔定律恒定电流磁场中最基本规律是毕奥一一萨伐尔定律，它是从实验中总结抽象出来的，它指出电流元Id（I是电流元中的电流强度，d1是电流元的线元，其大小是线元的长度，方向沿电流方向）在给定点的磁感应强度为：dB=Holdixr4元？Ho Idl sin ?式中dB的大小dB=，θ为Idl与电流元到场点的矢径r之间的夹角而dB4元的方向垂直于Idi和所组成的平面，沿Idix的方向。式中"。为真空中的磁导率μg=4元×10-7T·mA-l

磁感应强度矢量 的定义方法有多种，教材上选用磁场对运动电荷的作用来描述磁 场，当试探电荷 以速度 通过磁场中某点Ｐ时，受到磁力 的作用，当 沿某一 直线通过Ｐ点时磁力 等于零。 我们使试探电荷 沿垂直这条直线以速度 运动，这时的磁力为 ，则定义 的大小为： 的方向平行于 的方向，即 磁感应线：磁感应线和电场线相同，是一个辅助的物理量。磁感应线上任一点的切线方 向和该点处的磁场的磁感应强度方向一致，在任何磁场中，每一条磁感应线都是环绕电流的 无头无尾的闭合线，而且每条闭合磁感应线都与闭合电路互相套合，因此磁场是一种涡旋无 源场。 匀强磁场：如果磁场中各点的磁感应强度 都相同，即各点的 的大小相等，方向 一致，那么，该磁场就称为匀强磁场，匀强磁场用平行等距的磁感应线描绘。 §５-3 毕奥——萨伐尔定律 恒定电流磁场中最基本规律是毕奥——萨伐尔定律，它是从实验中总结抽象出来的，它指出 电流元 （Ｉ是电流元中的电流强度， 是电流元的线元，其大小是线元的长度，方向 沿电流方向）在给定点的磁感应强度为： 式中 的大小 ， 为 与电流元到场点的矢径 之间的夹角而 的方向垂直于 和 所组成的平面，沿 的方向。式中 为真空中的磁导率 0 q v F F 0 q 0 q  v F    q v F B 0 B   F  v 2 0      q v F v B Id l d l 2 0 0 4 r Id l r d B     d B 2 0 sin 4 r Idl dB       Id l r d B Id l r Id l  r 0  7 1 0 4 10       T  m  A

至于整个载流导线在某点的磁场，根据磁场的迭加原理，就是导线上所有电流元在该点的磁场的迭加，即为B-ZB或B-aB=[dix4元r2i=l这个积分是失量积分，实际使用时，要化成标量积分进行计算。应用毕奥一—萨伐尔定律和磁场的送加原理，原则上就可以求得任意电流分布时的B由毕奥一—萨伐尔定律可以推导出几种典型电流的磁场。Ho1、载流直导线所产生的磁场B=5(cosα-cosα2)4元式中a是场点与直线电流的垂直距离，α，和α，是直电流的方向与直电流始端和未端到场点处的矢径“之间的夹角。方向由右手螺旋法则决定B=Ho对于无限长截流直导线2元a2、园电流在轴线上产生的磁场：半径为R，电流强度为I的园电流在离园心为d处的轴IR?B=Ho线上一点的磁场为：2(R"+d")2方向与电流成右旋关系。Ho!B=4当d-0即在园心处：12R3、长直螺线管的磁场：B = μ.nl其中n为螺线管单位长度上的线圈匝数，S5-4磁通量通量定理磁通量：通过一给定曲面的总磁感应线数，称为通过该曲面的磁通量。= JJ dqg=J[B.ds= B.ds.cos 05

至于整个载流导线在某点的磁场，根据磁场的迭加原理，就是导线上所有电流元在该点 的磁场的迭加，即为 或 这个积分是矢量积分，实际使用时，要化成标量积分进行计算。 应用毕奥——萨伐尔定律和磁场的迭加原理，原则上就可以求得任意电流分布时的 。 由毕奥——萨伐尔定律可以推导出几种典型电流的磁场。 １、载流直导线所产生的磁场 式中 a 是场点与直线电流的垂直距离， 和 是直电流的方向与直电流始端和未端到场点 处的矢径 之间的夹角。方向由右手螺旋法则决定． 对于无限长截流直导线 2、园电流在轴线上产生的磁场：半径为 R，电流强度为 I 的园电流在离园心为 d 处的轴 线上一点的磁场为： 方向与电流成右旋关系。 当 d=0 即在园心处： ３、长直螺线管的磁场： 其中 n 为螺线管单位长度上的线圈匝数． §５－４ 磁通量 通量定理 磁通量：通过一给定曲面的总磁感应线数，称为通过该曲面的磁通量。    n i B Bi 1      2 0 0 4 r Id l r B d B   B (cos cos ) 4 1 2 0       a I B  1  2 r a I B   2 0  2 3 2 2 2 0 ( ) 2 R d IR B    R I B 2 0   B nI 0            s s B B  d B d s B ds cos 

通过有限大小曲面的磁通量m磁场的通量定理：通过任意封闭曲面的磁通量恒等于零，其数学表达式为：fB.ds=05S 5-4安培环路定理安培环路定理：磁感应强度B沿任意闭合环路的线积分等于穿过该环路包围的任意曲面的电流强度的代数和的μ。倍，即：pB.di=μoZI1纳1式中电流强度I的正负取决于闭合环路所取的绕行方向。这里应该注意：1、/是闭合环路内电流的代数和，而线积分中的B则是闭合曲线内电流的磁场和闭合曲线外电流的磁场共同效应，即是所有电流的B：2、与静电场环路定理E·dl=0不同，由安培环路定律可知B·dl0，这说明磁场不是保守场，所以在磁场中不能引进势能的概念，即磁场不是有势场，而是涡旋场：因此线积分B·di与路径有关。1在恒定磁场中，当电流分布具有一定的对称性时，可以应用安培环路定理计算磁感应强度B（当然安培环路定理的重要性并不仅如此），当电流分布具有一定对称性时，应用安培环路定理求磁场分布是比较简便的，它主要用于计算截流螺绕环、截流长直螺线管、截流长直导线、截流园柱体、截流园柱面及其组合的磁场。S5-5带电粒子在磁场中的运动回旋加速器磁场对运动电荷有力的作用，这种力叫做洛仑兹力，其数学表达式为：f =qvxB洛仑兹力与库仑力是不同的，主要表现在

通过有限大小曲面的磁通量 磁场的通量定理：通过任意封闭曲面的磁通量恒等于零，其数学表达式为： §5-4 安培环路定理 安培环路定理：磁感应强度 沿任意闭合环路的线积分等于穿过该环路包围的任意 曲面的电流强度的代数和的 倍，即： 式中电流强度Ｉ的正负取决于闭合环路所取的绕行方向。 这里应该注意： １、 是闭合环路内电流的代数和，而线积分中的 则是闭合曲线内电流的磁场和闭合 曲线外电流的磁场共同效应，即是所有电流的 ． ２、与静电场环路定理 不同，由安培环路定律可知 ，这说明 磁场不是保守场， 所以在磁场中不能引进势能的概念，即磁场不是有势场，而是涡旋场．因此线积分 与路径有关。 在恒定磁场中，当电流分布具有一定的对称性时，可以应用安培环路定理计算磁感应强度 （当然安培环路定理的重要性并不仅如此），当电流分布具有一定对称性时，应用安培环 路定理求磁场分布是比较简便的，它主要用于计算截流螺绕环、截流长直螺线管、截流 长直导线、截流园柱体、截流园柱面及其组合的磁场。 §5-5 带电粒子在磁场中的运动 回旋加速器 磁场对运动电荷有力的作用，这种力叫做洛仑兹力，其数学表达式为： 洛仑兹力与库仑力是不同的,主要表现在: 2 m   0  B d s s B 0      l l内 B d l I 0   I B B   0  E d l l   0  B d l l B d l l   B f  q v  B

1、洛仑兹力只作用规范于运动电荷，而库仑力既作用于运动电荷，也作用于静止电荷。2、洛仑兹力垂直于电荷的运动速度，所以只改变电荷的运动方向不改变电荷运动速率，因此不作功.而库仑力既能改变电荷运动的方向又能改变电荷的运动速率，所以对电荷是作功的。3、洛仑兹力与磁感应强度B垂直，而库仑力与电场强度E平行带电粒子垂直射入均匀磁场时的园周运动，由于F、B均垂直于，所以带电粒子的运动轨迹在垂直于B的平面内，且F1，F只改变，的方向而不改变，的大小，又F=qvB大小不变，因此带电粒子在与B垂直的平面内作匀速园周运动，向心力就是洛仑兹力提供的。园周半径：R=mqBT=2元R_2元m回转周期：VqB带电粒子以任意角度射入均匀磁场时的螺旋线运动，这时粒子同时参与两个运动，一方面沿方向作匀速直线运动，另一方面在垂直于B的平面内作匀速园周运动，两个运动合成，粒子的运动轨迹就是一条螺旋线，螺距为：2元mvcosh=WT=3qB$5-5汤爆逊实验质谱仪本节和下一节讨论带电粒子在匀强磁场中的运动规律的几个实例，它们都有一个共同点即应用了电荷在电场和磁场中受力的规律，只要能熟练应用洛仑兹力公式，判断洛化兹力的方向，计算洛仑兹力的大小，再应用静电学和力学知识，就不难分析解决以上提到的各个具体问题。S5-6霍尔效应B霍尔效应：通电薄板置于磁场中，若满足一定条件情况下，在垂直于电流方向的薄板两

1、洛仑兹力只作用规范于运动电荷，而库仑力既作用于运动电荷，也作用于静止电荷。 ２、洛仑兹力垂直于电荷的运动速度 ，所以只改变电荷的运动方向不改变电荷运动速率， 因此不作功．而库仑力既能改变电荷运动的方向又能改变电荷的运动速率，所以对电荷是作 功的。 ３、洛仑兹力与磁感应强度 垂直，而库仑力与电场强度 平行 带电粒子垂直射入均匀磁场时的园周运动，由于 、 均垂直于 ，所以带电粒子的运 动轨迹在垂直于 的平面内，且 ， 只改变 的方向而不改变 的大小， 又Ｆ＝qvB 大小不变，因此带电粒子在与 垂直的平面内作匀速园周运动，向心力就是洛 仑兹力提供的。 园周半径： 回转周期： 带电粒子以任意角度射入均匀磁场时的螺旋线运动，这时粒子同时参与两个运动，一方面沿 方向作匀速直线运动，另一方面在垂直于 的平面内作匀速园周运动，两个运动合成，粒 子的运动轨迹就是一条螺旋线，螺距为： §5-5 汤姆逊实验 质谱仪 本节和下一节讨论带电粒子在匀强磁场中的运动规律的几个实例,它们都有一个共同点 即应用了电荷在电场和磁场中受力的规律，只要能熟练应用洛仑兹力公式，判断洛化兹力的 方向，计算洛仑兹力的大小，再应用静电学和力学知识，就不难分析解决以上提到的各个具 体问题。 §5-６ 霍尔效应 霍尔效应：通电薄板置于磁场 中，若满足一定条件情况下，在垂直于电流方向的薄板两 v B E qB mv R  qB m v R T 2 2   B F v B F  v F v B v B qB mv h v T 2 cos  //   B

个侧面上存在电势差，这种现象就叫霍尔效应，相应的电势差称为霍尔电压。在磁场不太强情况下，霍尔电压与电流强度I和磁感应强度B成正比，而与薄板的厚度IBUA.=K成反比即：d1上式中d为薄板的厚度，K为霍尔系数，K=nq$5-7磁场对裁流导线的作用磁场对电流作用的最基本规律是安培定律，这是从实验中总结抽象出来的，它指出电流Id在外磁场元B中所受的安培力为dF=IdixB根据力的选加原理，磁场对一段截流导线的安培力为：F-JdF=JIdixB对于一段长L的截流直导线，若电流强度为I，电流方向与均匀磁场的夹角为，则1F=I-dl .B-sin =IBl sin 00当，即电流方向与B垂直时，F=IIB平面截流线圈在均匀磁场中要受到力矩的作用且L=m×B式中m=Isn称为平面截流线圈的磁矩。S5-8平行无限长裁流直导线问的相互作用应用毕奥---萨伐尔和安培定律可以定量地讨论两平行截流直导线间的相互作用，并在此基础上给出电流强度的单位--I安培的定义。两根相距为a分别载有和的电流的平行直导线单位长度所受安培力的大小f=Holl2元111,12

个侧面上存在电势差，这种现象就叫霍尔效应，相应的电势差称为霍尔电压。 在磁场不太强情况下，霍尔电压与电流强度Ｉ和磁感应强度Ｂ成正比，而与薄板的厚度 成反比即： 上式中 d 为薄板的厚度，Ｋ为霍尔系数,Ｋ＝ §5-7 磁场对截流导线的作用 磁场对电流作用的最基本规律是安培定律，这是从实验中总结抽象出来的，它指出电流 元 在外磁场 中所受的安培力为 根据力的迭加原理,磁场对一段截流导线的安培力为： 对于一段长 L 的截流直导线,若电流强度为Ｉ，电流方向与均匀磁场的夹角为θ，则 当 ，即电流方向与 垂直时， 平面截流线圈在均匀磁场中要受到力矩的作用且 式中 称为平面截流线圈的磁矩。 §5-8 平行无限长截流直导线间的相互作用 应用毕奥-萨伐尔和安培定律可以定量地讨论两平行截流直导线间的相互作用，并在此基 础上给出电流强度的单位-安培的定义。 两根相距为 a 分别载有 和 的电流的平行直导线单位长度所受安培力的大小 d IB U AA  K nq 1 Id l B d F  Id l  B F  d F  Id l  B   B       l F I dl B IBl 0 sin  sin  F  IlB L L  m  B m  Is n a I I f   2 0 1 2  1 I 2 I 1 I 2 I 1 I 2 I

流向相同时为引力，反向时f为斥力.当两导线中电流强度相，等，=1,=1，则由上式得Ho1?f=s2元a2元af由此式可得TAo若在实验中取a=1m，f=2×107N/m则2元×1×2×10~7I = 1=1（安培）4元×10~7由此可见，电流强度的单位一一安培的定义为：载有等量电流，相距1米的两根无限长平行直导线，每米长度上的作用力为2×10-1牛顿时，每根导线中的电流强度

， 流向相同时 为引力， ， 反向时 为斥力．当两导线中电流强度相 等， ，则由上式得 由此式可得 若在实验中取 a=1m, 则 由此可见，电流强度的单位－－安培的定义为：载有等量电流，相距１米的两根无限长 平行直导线，每米长度上的作用力为 2  10  7 牛顿时，每根导线中的电流强度。 I 1(安培 ） 4 10 2 1 2 10 7 7           f 2 10 N / m 7   0 2  af I  a I f   2 2 0  f f I  I  I 1 2