第二章谓词逻辑（PredicateLogic）2.2命题函数与量词（Propositionalfunctions&Quantifiers）2.2.1命题函数(Propositional functions)设谓词H表示“是劳动模范”，a表示客体名称张明，b表示客体名称李华,c表示客体名称这只老虎，那么H(a)、H(b)H(c)表示三个不同的命题，但它们有一个共同的形式,即H(x).一般地，H(x)表示客体x具有性质H。这里x表示抽象的或泛指的个体，称为个体变项，常用小写英文字母x,y,z，表示。相应地，表示具体或特定的个体的词称为个体常项常用小写英文字母a,b,C,..表示。同理，客体变元x，y具有关系L，记作L(x,y);客体变元x，y,z具有关系A，记作A(x,y,z).2026/3/15计算机科学与工程系1
2026/3/15 计算机科学与工程系 1 第二章 谓词逻辑（Predicate Logic） 2.2命题函数与量词(Propositional functions & Quantifiers) ◼ 2.2.1 命题函数 (Propositional functions) 设谓词H表示“是劳动模范”, a表示客体名称张明, b表示客 体名称李华,c表示客体名称这只老虎，那么H(a) 、 H(b)、 H(c)表示三个不同的命题, 但它们有一个共同的形式,即 H(x). 一般地， H(x)表示客体x具有性质H。这里x表示抽象的或 泛指的个体，称为个体变项，常用小写英文字母x,y,z, . 表示。相应地，表示具体或特定的个体的词称为个体常项， 常用小写英文字母a,b,c, .表示。 同理，客体变元x，y具有关系L，记作L(x,y);客体变元x， y,z具有关系A，记作A(x,y,z)
第二章谓词逻辑（PredicateLogic）2.2命题函数与量词（Propositionalfunctions&Quantifiers) H(x)、L(x,y) 、A(x,Y,z)本身并不是一个命题.只有用特定的客体取代客体变元x,y,z后，它们才成为命题。我们称H(x)、L(x,y)、A(x,Y,z)为命题函数。定义:由一个谓词H和n个客体变元组成的表达式H(X1)X2/Xn)称为n元简单命题函数由定义可知，n元谓词就是有n个客体变元的命题函数.当n=0时,称为0元谓词.因此，一般情况下，命题函数不是命题特殊情况0元谓词就变成一个命题2026/3/151计算机科学与工程系
2026/3/15 计算机科学与工程系 2 第二章 谓词逻辑（Predicate Logic） 2.2命题函数与量词(Propositional functions & Quantifiers) ◼ H(x)、L(x,y) 、A(x,y,z)本身并不是一个命题.只有用 特定的客体取代客体变元x,y,z后，它们才成为命题。我 们称H(x)、L(x,y) 、A(x,y,z)为命题函数。 定义:由一个谓词H和n个客体变元组成的表达式H(x1, x2 , ., xn)称为n元简单命题函数. ◼ 由定义可知, n元谓词就是有n个客体变元的命题函数.当 n=0时,称为0元谓词.因此,一般情况下,命题函数不是命题; 特殊情况0元谓词就变成一个命题
第二章谓词逻辑（PredicateLogic）2.2命题函数与量词（Propositionalfunctions&Quantifiers)复合命题函数:由一个或几个简单命题函数以及逻辑联结词组合而成的表达式例1:若x的学习好,则x的工作好设S(x):x学习好：W(x):x工作好则有S(x) →W(x)例2：将下列命题用0元谓词符号化(1)2是素数且是偶数，(2）如果2大于3,则2大于4.(3）如果张明比李民高，李民比赵亮高,则张明比赵亮高2026/3/15计算机科学与工程系3
2026/3/15 计算机科学与工程系 3 第二章 谓词逻辑（Predicate Logic） 2.2命题函数与量词(Propositional functions & Quantifiers) ◼ 复合命题函数:由一个或几个简单命题函数以及逻辑联 结词组合而成的表达式. 例1:若x的学习好,则x的工作好 设S(x):x学习好；W(x):x工作好 则有S(x) → W(x) 例2:将下列命题用0元谓词符号化. (1) 2是素数且是偶数. (2) 如果2大于3,则2大于4. (3) 如果张明比李民高, 李民比赵亮高,则张明比赵亮高
第二章谓词逻辑（PredicateLogic）2.2命题函数与量词(Propositionalfunctions&Quantifiers） 解:(1)设F(x): x是素数.G(x): x是偶数则命题符号化为：F(2)^G(2)(2) 设L(x,y) ： x大于y则命题符号化为： L(2,3)一→L(2,4)(3)设H(x,y):x比y高.a:张明 b:李民 C：赵亮则命题符号化为：H(a,b)^H(b,c)→>H(a,c)注意：命题函数中,个体变项在哪些范围内取特定的值,对命题的真值极有影响2026/3/15计算机科学与工程系4
2026/3/15 计算机科学与工程系 4 第二章 谓词逻辑（Predicate Logic） 2.2命题函数与量词(Propositional functions & Quantifiers) ◼ 解:(1) 设F(x): x是素数. G(x): x是偶数. 则命题符号化为： F(2)∧G(2) (2) 设L(x,y) ：x大于y. 则命题符号化为： L(2,3) → L(2,4) (3) 设 H(x,y): x比y高. a:张明 b:李民 c：赵亮 则命题符号化为： H(a,b)∧H(b ,c)→H(a,c) 注意:命题函数中,个体变项在哪些范围内取特定的值,对 命题的真值极有影响
第二章谓词逻辑（PredicateLogic）2.2命题函数与量词（Propositionalfunctions&Quantifiers）例如: H(x,y)^H(y ,z)→>H(x,z)■若H(x,y)解释为：x大于y,当x,y,z都在实数中取值时,则这个式子表示“若x大于y且y大于z，则x大于z”。这是一个永真式。如果H(x,y)解释为：“x是y的儿子”，当x,y,z都指人时，则这个式子表示“若x为y的儿子且y是z的儿子，则x是z的儿子”。这是一个永假式。如果H(x,y)解释为：“x距y10米”，当x,y,z为平面上的点，则这个式子表示“若x距y10米且y距z10米，则x距zl0米”。这个命题的真值将由x,y,z的具体位置而定，它可能是1，也可能是0。2026/3/15计算机科学与工程系5
2026/3/15 计算机科学与工程系 5 第二章 谓词逻辑（Predicate Logic） 2.2命题函数与量词(Propositional functions & Quantifiers) 例如: H(x,y)∧H(y ,z)→H(x,z) ◼ 若H(x,y)解释为: x大于y,当x,y,z都在实数中取值时, 则这个式子表示“若x大于y 且y 大于z，则x大于 z” 。这是一个永真式。 如果H(x,y)解释为: “x是y的儿子”, 当x,y,z都指人时， 则这个式子表示“若x为y的儿子 且y 是z的儿子， 则x是z的儿子” 。这是一个永假式。 如果H(x,y)解释为: “x距y10米”, 当x,y,z为平面上的 点，则这个式子表示“若x距y10米且y距z10米，则 x距z10米” 。这个命题的真值将由x,y,z的具体位置 而定，它可能是1，也可能是0
第二章谓词逻辑（PredicateLogic）2.2命题函数与量词（Propositionalfunctions&Quantifiers）在命题函数中，客体变元的取值范围称为个体域，又称之为论域。个体域可以是有限事物的集合，也可以是无限事物的集合。1全总个体域：宇宙间一切事物组成的个体域称为全总个体域。2026/3/156计算机科学与工程系
2026/3/15 计算机科学与工程系 6 第二章 谓词逻辑（Predicate Logic） 2.2命题函数与量词(Propositional functions & Quantifiers) ◼ 在命题函数中，客体变元的取值范围称为个体 域，又称之为论域。个体域可以是有限事物的 集合，也可以是无限事物的集合。 ◼ 全总个体域：宇宙间一切事物组成的个体域称 为全总个体域
第二章谓词逻辑（PredicateLogic)2.2命题函数与量词（Propositionalfunctions&Quantifiers）2.2.2 量词(Quantifiers)量词：分为全称量词（V)和存在量词日）1.全称量词(TheUniversalQuantifiers对日常语言中的“一切”、“所有”、“凡”、“每一个”、“任意”等词，用符号“”表示，x表示对个体域里的所有个体，VxF（x）表示个体域里的所有个体具有性质E.符号“√”称为全称量
2026/3/15 计算机科学与工程系 7 第二章 谓词逻辑（Predicate Logic） 2.2命题函数与量词(Propositional functions & Quantifiers) ◼ 2.2.2 量词(Quantifiers) ◼ 量词：分为全称量词()和存在量词() 1.全称量词(The Universal Quantifiers) 对日常语言中的“一切”、“所有”、“凡”、 “每一 个”、“任意”等词，用符号“” 表示， ｘ 表示 对个体域里的所有个体， ｘＦ(ｘ)表示个体域 里的所有个体具有性质F.符号“”称为全称量 词
第二章谓词逻辑（PredicateLogic）2.2命题函数与量词(Propositionalfunctions&Quantifiers）例3：在谓词逻辑中将下列命题符号化（1）凡是人都呼吸。（2）每个学生都要参加考试。(3）任何整数或是正的或是负的。解：(1)当个体域为人类集合时：令F(x)：x呼吸。则（1）符号化为VxF(x)当个体域为全总个体域时：令M(x)：x是人。则（1）符号化为Vx(M(x) →>F(x)).2026/3/15计算机科学与工程系8
2026/3/15 计算机科学与工程系 8 第二章 谓词逻辑（Predicate Logic） 2.2命题函数与量词(Propositional functions & Quantifiers) 例3：在谓词逻辑中将下列命题符号化. （1）凡是人都呼吸。 （2）每个学生都要参加考试。 (3) 任何整数或是正的或是负的。 解: (1) 当个体域为人类集合时： 令F(x): x呼吸。则（1）符号化为xF(x) 当个体域为全总个体域时： 令M(x): x是人。则（1）符号化为 x(M(x) →F(x))
第二章谓词逻辑（PredicateLogic）2.2命题函数与量词(Propositionalfunctions&Quantifiers)（2）每个学生都要参加考试。当个体域为全体学生的集合时：令P(x):x要参加考试。则（2）符号化为VxP(x).当个体域为全总个体域时：令S(x)：x是学生。则（2）符号化为Vx(S(x) →P(x)).(3）任何整数或是正的或是负的。当个体域为全体整数的集合时：令P(x):x是正的。N(x):x是负的。则（3）符号化为Vx (P(x) VN(x) .当个体域为全总个体域时：令I(x)：x是整数。则（3）符号化为Vx(I (x)→(P(x) VN(x)))2026/3/15计算机科学与工程系9
2026/3/15 计算机科学与工程系 9 第二章 谓词逻辑（Predicate Logic） 2.2命题函数与量词(Propositional functions & Quantifiers) （2）每个学生都要参加考试。 当个体域为全体学生的集合时： 令P(x): x要参加考试。则（2）符号化为xP(x). 当个体域为全总个体域时： 令S(x): x是学生。则（2）符号化为 x(S(x)→P(x)). (3) 任何整数或是正的或是负的。 当个体域为全体整数的集合时： 令P(x): x是正的。N(x): x是负的。则（3）符号化为 x(P(x)∨N(x)) . 当个体域为全总个体域时： 令I(x): x是整数。则（3）符号化为 x(I(x)→(P(x)∨N(x)))
第二章谓词逻辑（PredicateLogic）2.2命题函数与量词（Propositionalfunctions&Quantifiers）2.存在量词（TheExistentialQuantifiers）对日常语言中的“有一个”、“有的”、“存在着”“至少有一个”、“存在一些”等词，用符号“3”表示，x表示存在个体域里的个体，日xF（x）表示存在个体域里的个体具有性质F.符号“”称为全称量词例4：在谓词逻辑中将下列命题符号化（1）一些数是有理数。（2）有些人活百岁以上2026/3/15计算机科学与工程系10
2026/3/15 计算机科学与工程系10 第二章 谓词逻辑（Predicate Logic） 2.2命题函数与量词(Propositional functions & Quantifiers) 2.存在量词(The Existential Quantifiers) 对日常语言中的“有一个” 、 “有的” 、 “存在着” 、 “至少 有一个” 、 “存在一些”等词，用符号“” 表示， ｘ表 示存在个体域里的个体， ｘＦ(ｘ)表示存在个体域里 的个体具有性质F.符号“”称为全称量词. 例4：在谓词逻辑中将下列命题符号化. （1）一些数是有理数。 （2）有些人活百岁以上