陕西师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第八章 若尔当标准形（λ-矩阵）

入一矩阵$ 8. 1一、入一矩阵及其性质二、入一矩阵的秩三、可逆入一矩阵

一 、λ－矩阵及其性质 §8.1 λ─矩阵 三、可逆λ－矩阵 二、λ－矩阵的秩

一、入一矩阵的概念1.定义：设P是一个数域，是一个文字，P[2]是多项式环若矩阵A的元素是的多项式，即P[l的元素，则称A为α一矩阵，并把A写成 A(α)注：①PCPl，数域P上的矩阵一数字矩阵也是元一矩阵

1.定义： 若矩阵A的元素是  的多项式，即 P[ ]  的元素，则 设P是一个数域，  是一个文字， P[ ]  是多项式环， 称A为  ―矩阵，并把A写成 A( ).  一、λ －矩阵的概 念 注： ① P P  [ ],  ∴ 数域P上的矩阵—数字矩阵也 是  ―矩阵

②入一矩阵也有加法、减法、乘法、数量乘法运算，其定义与运算规律与数字矩阵相同③对于n×n 的a一矩阵，同样有行列式|A(α)l它是一个入的多项式，且有[A(2)B(2) =A(2) 1/B(2) 1这里A(2),B()为同级元一矩阵4④与数字矩阵一样，一矩阵也有子式的概念孔一矩阵的各级子式是孔的多项式

其定义与运算规律与数字矩阵相同. ③ 对于 n n  的  ―矩阵，同样有行列式 | ( ) |, A  它是一个  的多项式，且有 | ( ) ( ) | | ( ) || ( ) | . A B A B      这里 A B ( ), ( )   为同级  ―矩阵. ④ 与数字矩阵一样，  ―矩阵也有子式的概念.  ―矩阵的各级子式是  的多项式. ②  ―矩阵也有加法、减法、乘法、数量乘法运算

二、入一矩阵的秩1.定义：若一矩阵 A(α)中有一个 r(r≥1)级子式不为零而所有r+1级的子式（若有的话）皆为零，则称A(a) 的秩为r零矩阵的秩规定为0

若  ―矩阵 A( )  中有一个 r r( 1)  级子式不为零， 而所有 r  1 级的子式（若有的话）皆为零，则称 A( )  的秩为r . 二、λ－矩阵的秩 1.定义： 零矩阵的秩规定为0

三、可逆入一矩阵1.定义：一个n×n的一矩阵 A(a)称为可逆的，如果有一一个nxn的a一矩阵 B(a)，使A(2)B(2) = B(2)A(2) = E这里E是n级单位矩阵称B(2)为A()的逆矩阵（它是唯一的)，记作A-(a)

三、可逆λ －矩阵 一个 n n  的  ―矩阵 A( )  称为可逆的，如果有一 A B B A E ( ) ( ) ( ) ( )       一个 n n  的  ―矩阵 B ( )  ，使 1.定义： 这里E是n级单位矩阵. 称 B ( )  为 A( )  的逆矩阵(它是唯一的)，记作 1 A ( ).  

2.判定：一个nxn 的a一矩阵A(a)可逆（定理1)台[A()是一个非零常数,证：“二”若A(a)可逆，则有B(2)，使A(2)B(2) = E两边取行列式，得A(2)B(2)=A(2)[B(2) =E= 1:[A(2),B(2))都是零次多项式，即为非零常数

（定理1） 一个 n n  的  ―矩阵 A( )  可逆  A( )  是一个非零常数. 证: “  ” 若 A( )  可逆，则有 B( )  ，使 A B E ( ) ( )    两边取行列式，得 A B A B E ( ) ( ) ( ) ( ) 1         A B ( ) , ( )   都是零次多项式，即为非零常数. 2.判定：

“←”设 |A(a)=d 是一个非零常数A*(a)为A(a)的伴随矩阵，则A(2)A(2) =A()A(2) = Ed4-1(2) = -：A(2)可逆A*(21

“  ” 设 A d ( )   是一个非零常数. A ( )  为 的伴随矩阵，则  A( )  1 1 A A A A E ( ) ( ) ( ) ( ) d d          A( )  可逆. 1 1 A A ( ) ( ). d     

$8. 2入一矩阵的标准形一、入一矩阵的初等变换二、入一矩阵的等价三、入一矩阵的等价标准形

一 、λ－矩阵的初等变换 二、λ－矩阵的等价 §8.2 λ─矩阵的标准形 三、λ－矩阵的等价标准形

一、入一矩阵的初等变换1.定义：入一矩阵的初等变换是指下面三种变换：①矩阵两行（列）互换位置矩阵的某一行（列）乘以非零常数c;矩阵的某一行（列）加另一行（列）的(）倍3p(2)是一个多项式

λ ―矩阵的初等变换是指下面三种变换: ① 矩阵两行（列）互换位置； ② 矩阵的某一行（列）乘以非零常数c；  ( )是一个多项式. ③ 矩阵的某一行（列）加另一行（列）的   ( ) 倍， 一 、λ－矩阵的初等变换 1.定义：

注：为了书写的方便，我们采用以下记号[ii代表ii两行(列)互换：[ic)]代表第i行乘以非零数c ;[i+()代表把第i行（列)的@()倍加到第行(列)

[ ( )] i c 代表第 i 行乘以非零数c ； [ ( ( ))] i j    代表把第 j 行(列)的  ( ) 倍加到第 i 为了书写的方便，我们采用以下记号 [ , ] i j 代表 i j , 两行(列)互换； 注： 行(列)