重庆医科大学：《线性代数》课程教学课件（讲稿）第五章 相似矩阵及二次型

第五章相似矩阵及二次型

第五章 相似矩阵及二次型

s1长度及正交性向量的内积

§1 向量的内积、长度及正交性

向量的内积xyiX2y2定义：设有n维向量x=VxynXy +xy2 +..+x.y,y1y2则称[x,以为向量x和y的内积

定义：设有 n 维向量 令 则称 [x, y] 为向量 x 和 y 的内积． 1 1 2 2 [ , ] n n x y     x y x y x y 向量的内积 1 1 2 2 , , n n x y x y x y x y                             1 2 1 2 , , , n n y y x x x y              T  x y

[x,y] =xiyi +x2y2 +... +x,y,=xT y.内积具有下列性质（其中x.y,z为n维向量，为实数）：对称性:[x, =[y,x] ·[x,y] =x,y +x,J, +..+x,yn

1 1 2 2 1 1 2 2 [ , ] [ , ] n n n n x y x y x y x y y x y x y x y x          [x, y] = x1 y1 + x2 y2 + . + xn yn = x T y． 内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：  对称性： [x, y] = [y, x]．

[x, y] =xiyi +x2y2 + ... +xny,=xT y .内积具有下列性质（其中x.y,z为n维向量，为实数）：对称性：[x,]=[y,x] 。线性性质：「x,=[x,·[x+y,z]=[x, z] + [y,z[ax,y][x+ y,z]

[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + . + xn yn = x T y． 内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：  对称性： [x, y] = [y, x]．  线性性质： [l x, y] = l[x, y]． [x + y, z] = [x, z] + [y, z] [ , ] ( ) ( ) [ , ] T T T l l l l l x y x y x y x y x y       [ , ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ , ] [ , ] T T T T T x y z x y z x y z x z y z x z y z           

[x, y] =xiyi +x2y2 + ... +xny,=xT y .内积具有下列性质（其中x.V.z为n维向量，a为实数）：对称性：[x,以=[y,] 。线性性质：「x,=[x,·[x+y, z]=[x, z] + [y, z当x=0（零向量）时，[x,]=0;当x≠0（零向量）时，[x,xl>0.[x,x] =x? +x? + ... +x,2 ≥0

[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + . + xn yn = x T y． 内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：  对称性： [x, y] = [y, x]．  线性性质： [l x, y] = l[x, y]． [x + y, z] = [x, z] + [y, z]  当 x = 0（零向量） 时， [x, x] = 0； 当 x ≠ 0（零向量） 时， [x, x] > 0． [x, x] = x1 2 + x2 2 + . + xn 2 ≥ 0

[x,y] =xii +x2y2 +... +xny,=xT y.内积具有下列性质（其中x,y.z为n维向量，a为实数）：对称性：[x,以=[y,]。线性性质：「x,=x,·[x+y, z]=[x,z] + [y, z当x=0（零向量）时，[x,x]=0;当x≠0（零向量）时，[x,xl>0.施瓦兹（Schwarz）不等式[x, y]≤[x, xl [y, yl

[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + . + xn yn = x T y． 内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：  对称性： [x, y] = [y, x]．  线性性质： [l x, y] = l[x, y]． [x + y, z] = [x, z] + [y, z]  当 x = 0（零向量） 时， [x, x] = 0； 当 x ≠ 0（零向量） 时， [x, x] > 0．  施瓦兹（Schwarz）不等式 [x, y] 2 ≤ [x, x] [y, y]．

回顾：线段的长度[x, x] =x2+x,2 +... +x,2 ≥0P(x1, x2)X2若令x=(,2)T，则1OP= /x+x2CXiP若令 x=(xj,X2,X3)T，则S1OP= /x+x +x0Xi

回顾：线段的长度 2 2 1 2 | | [ , ] OP x x x x    x1 x2 x1 x2 x3 P(x1 , x2 ) O P O 若令 x = (x1 , x2 ) T，则 222 1 2 3 | | [ , ] OP x x x x x     若令 x = (x1 , x2 , x3 ) T，则 [x, x] = x1 2 + x2 2 + . + xn 2 ≥ 0

向量的长度V[x,x] = /x +x2 ++x, ≥0定义：令称x为n维向量x的长度（或范数）：当xⅡ=1时，称x为单位向量向量的长度具有下列性质：非负性：当x=0（零向量）时，ⅡxⅡ=0;当x0（零向量）时，ⅡxⅡ>0.齐次性：x=||·xⅡ.[ax,ax]Il 2x I

2 [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] l l l l l l l x x x x x x x x  向量的长度 定义：令 称 || x || 为 n 维向量 x 的长度（或范数）． 当 || x || = 1时，称 x 为单位向量． 向量的长度具有下列性质：  非负性：当 x = 0（零向量） 时， || x || = 0； 当 x≠0（零向量） 时， || x || > 0．  齐次性： || l x || = | l | ·|| x || ． 2 2 2 1 2 || || [ , ] 0 n x       x x x x x 2 || || [ , ] [ , ] | | [ , ] || | l l l l x x x x x x x x      l | l | |

向量的长度I x = /[x,x] = /x +x +...+x?定义：令称ⅡxⅡ为n维向量x的长度（或范数）：当xⅡ=1时，称x为单位向量向量的长度具有下列性质：非负性：当x=0（零向量）时，Ⅱx=0；当x≠0（零向量）时，ⅡxⅡ>0.齐次性: xI=|/·x .x+y三角不等式：Ⅱx+y≤x+yx

向量的长度 定义：令 称 || x || 为 n 维向量 x 的长度（或范数）． 当 || x || = 1时，称 x 为单位向量． 向量的长度具有下列性质：  非负性：当 x = 0（零向量） 时， || x || = 0； 当 x ≠ 0（零向量） 时， || x || > 0．  齐次性： || l x || = | l | ·|| x ||．  三角不等式： || x + y || ≤ || x || + || y ||． 2 2 2 1 2 | | | | [ , ] n x      x x x x x x y x + y y