第三章一阶微分方程的解的存在定理4教学课件《常微分方程》广东第二师范学院首页结束一市
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 第三章 一阶微分方程的解的存在定理
问题的提出在前一章中，介绍了能用初等方法求解的一阶微分方程的几种类型，但是，也指出，大量的一阶微分方程是不能用初等方法求出其通解的。而另一方面，实际间问题所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此现在把注意力集中在Cauchy问题y=f(x,y)y(xo)= yo的求解上，与代数方程类似，对于不能用初等方法求解的微分方程，往往用数值方法求解（这是以后要学的数值分析课程的内容之一）。在用数值方法求Cauchy问题解之前，需要在理论上解决下面两个基本问题：《常微分方程》教学课件广东第二师范学院结束首页
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 在前一章中，介绍了能用初等方法求解的一阶微分 方程的几种类型，但是，也指出，大量的一阶微分方程 是不能用初等方法求出其通解的。而另一方面，实际问 题所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此， 现在把注意力集中在Cauchy问题 的求解上，与代数方程类似，对于不能用初等方法求解 的微分方程，往往用数值方法求解（这是以后要学的数 值分析课程的内容之一）。在用数值方法求Cauchy问题 解之前，需要在理论上解决下面两个基本问题： 0 0 ( , ) ( ) y f x y y x y = = 问题的提出
y=f(x,y)(l)Cauchy问题的解是否存在？如果解不存y(x)=o在，要去求解就毫无意义，以后我们将给出在相当一般的条件下，上述Cauchy问题的是存在的（2）若已知Cauchy问题的解是存在的，我们进一步要问这样的解是否唯一的？因为如果解是不唯一的，由于不知道要确定哪一个解，却要去近似地确定它，问题也是不明确的。A《常微分方程》教学课件广东第二师范学院结束首页市
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 (1) Cauchy问题 的解是否存在？如果解不存 在，要去求解就毫无意义，以后我们将给出在相当一般 的条件下，上述Cauchy问题的是存在的. 0 0 ( , ) ( ) y f x y y x y = = (2) 若已知Cauchy问题的解是存在的，我们进一步要问 这样的解是否唯一的？因为如果解是不唯一的，由于不 知道要确定哪一个解，却要去近似地确定它，问题也是 不明确的
$3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法设矩形区域R:x-x0,使对所有(x,y),(x,y2)R均成立：f(x,y)-f(x,y)y-2则称函数f（xy）在矩形区域R对y满足Lipschitz条件，7A教学课件《常微分方程》广东第二师范学院首页上一页结束二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 §3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法 0, ( , ),( , ) : 定义：若存在L 使对所有 x y1 x y2 R均成立 1 2 1 2 f (x, y ) − f (x, y ) L y − y 则称函数f (x, y)在矩形区域R对y满足Lipschitz条件: : , , 设矩形区域R x − x0 a y − y0 b
一存在唯一性定理1定理1考虑初值问题dy= f(x,y)(3.1)dxy(xo)=yo其中f(xy)在矩形区域R：x-xo<a,y-yo≤b,(3.2)上连续，并且对y满足Lipschitz条件则初值问题(3.1)在区间x-x≤h上的解存在且唯),M=Maxf(x,y)这里h=min(a,(x,y)eRAA7《常微分方程》教学课件广东第二师范学院上一真结束首页二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 一 存在唯一性定理 1 定理1 考虑初值问题 , (3.1) ( ) ( , ) 0 0 = = y x y f x y dx dy 其中f (x, y)在矩形区域R: , , (3.2) x − x0 a y − y0 b 上连续, 并且对y满足Lipschitz条件, (3.1) , 则初值问题 在区间x − x0 h上的解存在且唯一 min( , ), ( , ) ( , ) M Max f x y M b h a x y R 这里 = =
证明思路（1）初值问题（3.1）的解等价于积分方程(3.5)y= yo + /" f(t, y)dt的连续解(2）构造(3.5)近似解函数列（,(x))任取一连续函数p(x)p(x)-yo≤b,代入(3.5)右侧的y,得0(x)= yo + /"f(5,po(E)dXO若(x)=P(x),则p(x)为解,否则将p(x)代入(3.5）右侧的y,得f(,P())dP2(x)= y +XA《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页结束一市二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 (1) 初值问题(3.1)的解等价于积分方程 ( , ) (3.5) 0 0 y y f t y dt x x = + 的连续解. 证明思路 (2) 构造(3.5)近似解函数列 { (x)} n 0 1 0 0 ( ) ( , ( )) x x x y f d = + 右侧的 得 任取一连续函数 代入 , ( ), ( ) , (3.5) 0 0 0 y x x − y b 右侧的 得 若 则 为解 否则将 代入 , ( ) ( ), ( ) , ( ) (3.5) 1 0 0 1 y x = x x x 0 2 0 1 ( ) ( , ( )) x x x y f d = +
若p(x)=(x),则g(x)为解,否则将2(x)代入(3.5)右侧的y……Pn+(x)= yo + ["f(E, P,(E)dE,这里要求,(x)-yo<b,若pn+(x)=p,(x),则p,(x)为解否则一直下去可得函数列（x））（逐步求（3.5）的解，逐步逼近法）A《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页上一真结束二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 , ( ) ( ), ( ) , ( ) (3.5) 2 1 1 2 y x x x x 右侧的 若 = 则 为解 否则将 代入 0 1 0 ( ) ( , ( )) , x n n x x y f d + = + ( ) , 这里要求n x − y0 b ( ) ( ), ( ) , 若n+1 x =n x 则n x 为解 { (x)} 否则一直下去可得函数列 n (逐步求(3.5)的解,逐步逼近法)
(3)函数序列g,(x))在[x-h,x+h]上一致收敛于g(x)lim Pn+ (x)=o+limf(E,p()ds这是为了n>00n->00Jxolim f(,p,())d=yo+Xon->α即p(x)= yo + /f(5,p()dE,只需函数列(f(x,p,(x))在[xo-h,x+h]上致收敛于f(x,p(x))由f(x,p,(x)-f(x,p(x)≤Lp,(x)-p(x)只需(p,(x))在[x-h,x+h]上一致收敛于p(x)《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页店结束
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 (3) { ( )} [ , ] ( ). 0 0 x x h x h x 函数序列 n 在 − + 上一致收敛于 这是为了 0 1 0 lim ( ) lim ( , ( )) x n n n n x x y f d + → → = + 0 0 lim ( , ( )) x n x n y f d → = + 即 0 0 ( ) ( , ( )) , x x x y f d = + ( , ( )). { ( , ( ))} [ , ] 0 0 f x x f x n x x h x h 致收敛于 只需函数列 在 − + 上一 f (x, (x)) f (x, (x)) L (x) (x) 由 n − n − { ( )} [ , ] ( ). 0 0 x x h x h x 只需 n 在 − + 上一致收敛于
W由于P(x)+E(p(x)-Pk-1(x)=pn(x),k=-1于是函数列(p,(x)在[x-h,x+h]上一致收敛性，等价于函数项级数8E(p,(x)-pn-i(x),Po(x)+n=1在[x-h,x+h]上致收敛性（4）p(x）是积分方程（3.5）定义于[x-h,x+h上连续解且唯一A《常微分方程》教学课件广东第二师范学院上一真结束首页二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 ( ) ( ( ) ( )) ( ), 1 0 1 x x x x n n k + k −k = = 由于 − 敛性 等价于函数项级数 于是函数列 在 上一致收 , { ( )} [ , ] n x x0 − h x0 + h ( ) ( ( ) ( )), 1 0 1 = + − − n n n x x x [ , ] . 在 x0 − h x0 + h 上一致收敛性 . (4) ( ) (3.5) [ , ] 0 0 且唯一 x 是积分方程 定义于 x − h x + h 上连续解
下面分五个命题来证明定理，为此先给出积分方程如果一个数学关系式中含有定积分符号且在定积分符号下含有未知函数，则称这样的关系式为积分方程如：y=e+y(t)dt,就是一个简单的积分方程积分方程的解对于积分方程y=yo+f(t,y)dt,如果存在定义在区间=[α,β]上的连续函数y=p(x,使得p(x)=yo +"f(t,p(t)dt在区间I上恒成立，则称y=(x）为该积分方程的解二《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页结束
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 下面分五个命题来证明定理,为此先给出 积分方程的解 如果一个数学关系式中含有定积分符号且在定积分符 号下含有未知函数, 则称这样的关系式为积分方程. 积分方程 : ( ) , . 0 如 = + 就是一个简单的积分方程 x x y e y t dt , ( ) . ( ) ( , ( )) [ , ] ( ), ( , ) , 0 0 0 0 在区间 上恒成立 则称 为该积分方程的解 上的连续函数 使得 对于积分方程 如果存在定义在区间 I y x x y f t t dt I y x y y f t y dt x x x x = = + = = = +