S2.2线性方程与常数变易法教学目的了解一阶线性方程形式，熟练掌握求一阶非齐线性方程解的常数变易法及伯努利（Bernoulli）方程教学要求利用常数变易法解一阶非齐线性方程，掌握伯努利（Bernoulli）方程的求解方法教学重点常数变易法；伯努利（Bernoulli）方程的求解方法教学难点常数变易法思想的理解；求伯努利方程的解变量替换法。教学方法讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。教学手段传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。一阶线性微分方程)+b(x)+c(x)=0a(x)dx在a(x)≠0的区间上可以写成dy=p(x)y+Q(x)(1)dx这里假设p（x），Q（x）在考虑的区间上是的连续函数。若Q(x)=0，则(1)变为=p(x)y(2)dx(2)称为一阶齐次线性方程。若Q（x）≠0，（1）称为一阶非齐次线性方程。一阶线性微分方程解法一一常数变量法解法（a）对应的齐次方程d = p(x)ydx得对应齐次方程解，y=cena)dc为任常数（b）常数变易法求解（将常数变为x的待定函数c（x），使它成为（1）的解，从而求出c（x））令y=c(x)efp(a)ax为(1)的解，则de+()()e/ dxdx代入(1)得de( =- (x) ra)dtdx
§2.2 线性方程与常数变易法 教学目的 了解一阶线性方程形式，熟练掌握求一阶非齐线性方程解的常数变易法及伯努利 （Bernoulli）方程 教学要求 利用常数变易法解一阶非齐线性方程，掌握伯努利（Bernoulli）方程的求解方法 教学重点 常数变易法；伯努利（Bernoulli）方程的求解方法 教学难点 常数变易法思想的理解；求伯努利方程的解变量替换法。 教学方法 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 教学手段 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 一阶线性微分方程 ( ) + b(x) y + c(x) = 0 dx dy a x 在 a(x)≠0 的区间上可以写成 p(x) y Q(x) dx dy = + (1) 这里假设 p(x)，Q(x)在考虑的区间上是的连续函数。 若 Q(x)≡0，则(1)变为 p x y dx dy = ( ) (2) (2)称为一阶齐次线性方程。 若 Q(x)≠0，(1)称为一阶非齐次线性方程。 一、 一阶线性微分方程解法——常数变量法 解法（a）对应的齐次方程 p x y dx dy = ( ) 得对应齐次方程解 y=ce ∫p(x)dx c 为任常数 （b）常数变易法求解（将常数变为 x 的待定函数 c(x)，使它成为（1）的 解，从而求出 c(x)） 令 y=c(x)e∫p(x)dx 为(1)的解，则 + = p x dx p x dx e c x p x e dx dc x dx dy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 代入(1)得 = − p x dx Q x e dx dc x ( ) ( ) ( )
积分得c(x）=『Q(x)e-p()axdx+c(1)的通解为y=e'pwd(JQ(x)e-paudx+c)(3)注：求(1)的解可直接用公式(3)。dy例1、求方程(x+1)-ny=e"(x+1)n+ldx的通解，这里为n常数。解：将方程改写为dy-ny+e*(x+1)"+Idxx+1dyn首先，求齐次线性方程dxx+1从虫=n的通解。dxx+1dy-n分离变量得-dxyx+1积分得 ln|y|=n ln|x+1|+ci故对应齐次线性方程通解为y=c(x+1)"其次应用常数变易法求非齐次线性方程的通解，令y=c(x）（x+1)"为原方程的解，代入得dc(x)(x+ 1)" + nc(x)(x + 1)"-l = nc(x)(x + 1)"-I + e*(x + 1)"dxdc(x) = e即 dx积分得c（x）=e"+c因此，原方程的通解为y=(x+1)"（e*+c"），c为任常数。dy-y例2、求方程dx2x-y2的通解。解：原方程不是未知函数的线性方程，但将它改写为dx_ 2x-y2dyy即安_2-x-)dyyzdx把x看作未知函数，y看作自变量，这样，对于x及来说，上面方程为线性dy方程。故其通解为(这里p(y)=2，Q(y)=-y)y
积分得 c(x) =∫Q(x)e-∫p(x)dxdx+ c^ （1)的通解为 y=e ∫p(x)dx(∫Q(x)e-∫p(x)dxdx＋c^) （3） 注：求(1)的解可直接用公式(3)。 例1、 求方程 1 ( 1) ( 1) + + − = + x n ny e x dx dy x 的通解，这里为 n 常数。 解：将方程改写为 1 ( 1) 1 + + + + = x n y e x x n dx dy 首先，求齐次线性方程 y x n dx dy +1 = 的通解。从 y x n dx dy +1 = 分离变量得 dx x n y dy +1 = 积分得 ㏑|y|=n ㏑|x+1|+c1 故对应齐次线性方程通解为 y=c(x+1)n 其次应用常数变易法求非齐次线性方程的通解， 令 y=c(x)(x+1)n 为原方程的解，代入得 n n n x n x nc x x nc x x e x dx dc x ( 1) ( )( 1) ( )( 1) ( 1) ( ) 1 1 + + + = + + + − − 即 x e dx dc x = ( ) 积分得 c(x)=ex +c^ 因此，原方程的通解为 y=(x+1)n (ex +c^)，c^为任常数。 例 2、求方程 2 2 dy y dx x y = − 的通解。 解：原方程不是未知函数的线性方程，但将它改写为 y x y dy dx 2 2 − = 即 x y dy y dx = − 2 把 x 看作未知函数，y 看作自变量，这样，对于 x 及 dy dx 来说，上面方程为线性 方程。故其通解为(这里 p(y)= y 2 ，Q(y)=-y)
X=e/p()dy(SQ(y)e-/p()ddy+c)[=dy-{[2dy(f(-y)e dy+ c)=e'y=y (c In lyl)c为任常数。例3、求初始值问题dy_32y+4x2+1,y(1)=1dxx的解。解：首先求方程的通解（p(x)==，Q(x)=4x+1)x-[=das([(4x? +1)eJdx+)y=ej=x(nx_12r2+a)=x'lnx*-=+cx?223将初始条件y(1)=1代入后得：2故所给初始方程的解为3,3_xy=x'inx+2-2二．伯努利（Bernoalli）方程形如= p(x)y+Q()"dx的方程，称为伯努利方程。这里p(x),O(x)为x的连续函数。解法，1°引入变量变换z=yl-"方程变为dz=(1-n)p(x)z+Q(x)dx2°求以上线性方程得通解。30变量还原。例4.求方程dx2x2y的通解解：这是一个Bernoalli方程，n=-l，令z=y?代入方程
X=e ∫p(y)dy(∫Q(y)e-∫p(y)dydy+c^) = + − − e y e dy dy y dy y 2 2 ( ( ) c^) =y 2 (c^－㏑|y|) c^为任常数。 例 3、求初始值问题 4 1 3 2 = y + x + dx x dy ，y(1)=1 的解。 解：首先求方程的通解（p(x)= x 3 ，Q(x)=4x2＋1） + + = − ) ~ ( (4 1) 3 2 3 y e x e dx c dx x dx x ) ~ 2 1 (ln 2 3 4 c x = x x − + 3 4 ~ 3 2 ln cx x = x x − + 将初始条件 y(1) = 1 代入后得: 2 ~ 3 c = 故所给初始方程的解为 2 2 3 ln 3 4 3 x y = x x + x − 二．伯努利（Bernoalli）方程 形如 n p x y Q x y dx dy = ( ) + ( ) 的方程，称为伯努利方程。这里 p(x),Q(x) 为 x 的连续函数。 解法， 0 1 引入变量变换 n z y − = 1 方程变为 (1 n) p(x)z Q(x) dx dz = − + 0 2 求以上线性方程得通解。 0 3 变量还原。 例 4．求方程 y x x y dx dy 2 2 2 = + 的通解 解：这是一个 Bernoalli 方程， n =−1 ，令 2 z = y 代入方程
dz12+rdxY解以上线性方程得1z = cx +2将z=y?代入得所给方程的通解为11y? = cx +-x2三.线性微分方程的应用举例。例5.RL串联电路由电阻，电感和电源所组成的串联电路如图所示，其中电阻R，电感L和电源的电动势E均为常数，求开关闭合后电路中的电流强度)解：由物理学中的有电路定律，当电路中的电流为i(t)时，在电阻R上的电压降为Ri(t)，在电感L上的电压降为Ldi + R() =Edt取开关闭合时的时刻为0，则i（0)=0解线性方程Ri0+Edi(t)dtLL得通解为Li=i(t)-R.Ei(t)= ce 7R将初始条件(0)=0代入得ECR故当开关闭合后电路中的电流应为i个REE-(1-eli(t)=PRi(0)随时间的增加趋于三。多种情况下，认为回R路的电流强度为鲁RY
1 2 z x dx x dz = + 解以上线性方程得 3 2 1 z = cx + x 将 2 z = y 代入得所给方程的通解为 2 3 2 1 y = cx + x 三．线性微分方程的应用举例。 例 5．RL 串联电路由电阻，电感和电源所组成的串联电路如图所示，其中电 阻 R，电感 L 和电源的电动势 E 均为常数，求开关闭合后电路中的电流强度 i(t) 解：由物理学中的有电路定律，当电路中的电流为 i(t) 时，在电阻 R 上的电 压降为 R i(t) ，在电感 L 上的电压降为 Ri t E dt di t L + ( ) = ( ) 取开关闭合时的时刻为 0，则 i(0) = 0 解线性方程 L E i t L R dt di t = − ( ) + ( ) 得通解为 R E i t ce t L R = + − ( ) 将初始条件 i(0) = 0 代入得 R E c = − 故当开关闭合后电路中的电流应为 ( ) (1 ) t L R e R E i t − = − i(t) 随时间的增加趋于 R E 。多种情况下，认为回 路的电流强度为 R E