广东第二师范学院：《常微分方程》课程教学资源（教案讲义）第五章 线性微分方程组 5.2 线性微分方程组的一般理论

§5.2 线性微分方程组的一般理论 教学目的 讨论线性微分方程组的基本理论及其求解方法（包括常数变易法，常系数方程组 基本解矩阵的求法） 教学要求 掌握线性微分方程组的基本理论和基本解矩阵的性质，掌握常系数线性方程组基 本解矩阵的计算 教学重点 解的叠加原理；向量函数的线性相关性的定义；Wronsky 行列式；解矩阵的定义和 性质；常数变易法；解的结构 教学难点 向量函数的线性相关性；Wronsky 行列式的定义及其性质。 教学方法 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 教学手段 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 这一节,我们讨论线性微分方程组 x  = A(t)x + f (t) (5.14) 的基本理论 , 主 要 研 究 它 们 解 的 结 构 问 题 , 这 里 A(t)和f (t)在a  x  b上连续, 若f (t)  0,则(5.14)变为 x  = A(t)x (5.15) (5.15)称为齐线性的,若 f (t)  0 ,则称(5.14)为非齐线性的,并称(5.15)为(5.14)的对应齐 线性方程组. 齐线性微分方程组 我们讨论(5.15)通解的结构,与 n 阶线性齐次方程类似,也有下面的叠加原理 定 理 2. 设 x1 (t), x2 (t),, xm (t)也是(5.14)的m个解,则它们的 线性组合

( ) (5.15) , , , , . 1 2 1 也是 的解 这里则有 m是任常数 M i i i c x t c c  c = Proof: 因 xi (t)(i =1,2,,m)是(5.15)的解,则有 A(t)x (t) dt dx i i = (i =1,2,,m) 所以 ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 m m m m m m m m A t c x c x c A t x t c A t x t dt dx c dt dx c c x c x dt d = ++ = ++ = ++ ++ ( ) (5.15) . 1 =  M i i i c x t 也是 的解 定理 2 表明,(5.15)的所有解构成一个线性空间,自然要问,此空间的维数是多少呢?为此,先引 时进向量函数 ( ), ( ), , ( ) 1 2 x t x t x t  m 线性相关的概念. 定义: 设 ( ), ( ), , ( ) 1 2 x t x t x t  m 是一组定义在区间 a  x  b 上的函数向量,如果存在一 组不全为零的常数 m c ,c , ,c 1 2  ,使得对所有 a  x  b 有恒等式 c1 x1 (t) ++ cm xm (t)  0 成立,则称此组函数向量在区间 a  x  b 上线性相关,否则,就称此组函数向量在 a  x  b 上是线性无关的. 例1. 证明,函数向量组           − =           = t t x t t t x t 1 1 sin 1 , ( ) cos ( ) 2 2 2 1 在任何区间上都是线性相关的. Proof : 取 c1 =1,c2 = −1,则           +  0 0 0 ( ) ( ) 1 1 2 2 c x t c x t t 故 ( ), ( ) 1 2 x t x t 在 a  x  b 线性相关

例2. 证明函数向量组           =           =           = − 0 , 1 0 0 , 3 2 1 3 1 1 t t t t t e e x e x e e x 在 (−,+) 上线性无关. Proof: 要使 0 1 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 3 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 2            +           +           + + = − t t t t t e e c e c e e c x t c x t c x t c 成立,则需           =                     − 0 0 0 1 0 0 0 3 2 1 3 3 2 c c c e e e e e t t t t t −   t  + 因为 2 0 1 0 0 0 3 3 4 2 = −            − t t t t t t e e e e e e 所以得※ c1 = c2 = c3 = 0,故x1 , x2 , x3线性无关 下面介绍(5.15)解的函数向量组 ( ), , ( ) 1 x t x t  n 在所定义区间上线性相关的判别准则 设有 n 个定义在区间 a  x  b 上的向量函数               =              = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 21 11 1 x t x t x t ， ，x t x t x t x t x t nn n n n n 由这个向量函数构成的行列式                         ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , ( ) ( ) 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 x t x t x t x t x t x t x t x t x t W x t x t W t n n n n n n n 称为这些向量函数的 Wronsky 行列式 定理 3.如果向量函数 ( ), , ( ) 1 x t x t  n 在 a  x  b 上线性相关,则它们的 Wronsky 行列 式 W (t)  0 , a  t  b . Proof: 因 ( ), , ( ) 1 x t x t  n 在 a  x  b 上线性相关,从而存在不全为零的常数

n c ,c , ,c 1 2  使 ( ) ( ) ( ) 0, c1 x1 t + c2 x2 t ++ cn xn t  a  x  b 从而对任一确定的 t 0 a,b,常向量组 ( ), , ( ) 1 x t x t  n 均线性相关,因而 W(t 0 ) = 0, 由 0 t 的任意性,故有 W (t)  0 , t a,b. 定理 4.如果(5.15)的解 ( ), , ( ) 1 x t x t  n 线性无关, 那么它们的 Wronsky 行列式 W (t)  0, a  t  b . Proof: “ 反证法 ” , 若 有 t 0 ,a  t 0  b,使得W(t) = 0,则常向量组 ( ), , ( ) 1 0 0 x t x t  n 线性相关,即存在不全为零的常数 n c c c ~ , , ~ , ~ 1 2  使得 ( ) 0 ~ ( ) ~ ( ) ~ c1 x1 t 0 + c2 x2 t 0 ++ cn xn t 0 = (5.17) 现在考虑函数向量 ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ 1 1 2 2 x t c x t c x t c x t = + ++ n n 由定理 2, ( ) ~ x t 是(5.15)的解,由(5.17)知,设解 ( ) ~ x t 满足初始条件 ( ) 0 ~ x t 0 = ,因此由解的存 在唯一性定理知, ( ) 0 ~ x t = ,即有 c x t c x t c x t t a b n n ( ) 0, , ~ ( ) ~ ( ) ~ 1 1 + 2 2 ++   故解组 ( ), , ( ) 1 x t x t  n 在 a  t  b 上线性相关,矛盾. 注:(5.15)的 n 个解 ( ), , ( ) 1 x t x t  n 线性相关  W (t)  0 , t a,b (5.15)的 n 个解 ( ), , ( ) 1 x t x t  n 线性无关  W (t)  0 , t a,b 即(5.15)的 n 个解 ( ), , ( ) 1 x t x t  n 做成的 Wronsky 行列式 W (t) 或者恒等于零,或者恒不 等于零. 注 2.(5.15)的 n 个解 ( ), , ( ) 1 x t x t  n 在 a  t  b 上线性无关的充要条件为存在 t a,b 0  , 有 W(t 0 )  0. 定理 5.(5.15)一定存在 n 个线性无关的解 Proof: 任取 t a,b 0  ,根据解的存在唯一性定理,(5.15)一定存在满足初始条件

              =              =              = 1 0 0 , ( ) 0 1 0 , ( ) 0 0 1 ( ) 1 0 2 0 0 x t x t ，x t n 的解 x1(t),x2(t),.,xn(t) t∈[a,b],且以该组作出的 Wronsky 行列式在 t0 处取值为 W(t0)=1 ≠0，因此由定理 3 可知: x1(t),x2(t),.,xn(t)在[a,b]上线性无关。 定理 6（通解结构定理），如果 x1(t),x2(t),.,xn(t)是(5、15)的 n 个线性无关组的解，则 ⑴ = = n n i i x t c x t 1 ( ) ( ) 是的通解，其中 c1,c2,.,cn 是的任常数， ⑵ (5、15) 的任一解 x(t) 均可表为 xi (i=1,2,.,n) 的线性组合。 Proof:由定理 2 知， = = n n i i x t c x t 1 ( ) ( ) 是 (5、15)的解它包含 n 个任常数，又因为, ( , , , ) ( , , , ) 1 2 1 2 n n c c c x x x     = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 21 22 2 11 12 1 x t x t x t x t x t x t x t x t x t n n nn n n        = w(t)≠0 故 c1,c2,.,cn 彼此独立，于是 = = n n i i x t c x t 1 ( ) ( ) 为 (5、15) 的通解。 ⑵设 x(t)是(5、15) 的任一解，且 x(to)=xo, 因 x1(t),x2(t),.,xn(t)是 (5、15) 的 n 个 线性无关的解，从而可知常数向量组 x1(to),x2(to),.,xn(to) 线性无关，即它们构成 n 维 线性空间的基，故对向量 x(to)一定存在惟一确定的一组常数 c1,c2,.,cn，满足 x(to)=c1x1(t)+c2x2(t)+.+cnxn(t) (5、20) 现在考虑函数向量 ~ x = c1x1(t)+c2x2(t)+.+cnxn(t) 由定理 2， ~ x 为 (5、15)的解，由 (5、20) 知它满足初始条件 x(to)=x0 因而由解的惟一性定 理，应有 ~ x (t)=x(t), 即 x(t)= c1x1(t)+c2x2(t)+.+cnxn(t) 由定理 5,定理 6,易得 推论 1、(5、15)的线性无关解的最大的个数等于 n。 基本解组的定义: (5、15)的 n 个线性无关的解 x1(t),x2(t),.,xn(t)为 (5、15) 的一 个基本解组。 注 1: (5、15)的基本解组不唯一 注 2: (5、15)的所有解的集合构成一个 n 维线性空间 注 3:由 n 阶线性的微分方程的初值问题(5、6)与线性微分方程组的初值问题(5、7)的

等价性的论述,本节的所有定理却可平行的推论到阶线性微分方程上去. (首先有:一组(n-1)次可微的纯量函数 x1(t),x2(t),.,xn(t),线性相关的充要条件是向 量函数 X1(t) x2(t) xm(t) X1’(t) x2’(t) . xm’(t) ﹕ ﹕ ﹕ X1 (n-1)(t) x2 (n-1)(t) xm (n-1)(t) 线性相关线性。 Proof:若 x1(t),x2(t),.,xn(t) 线性相关则存在不全为零的常数 c1,c2,.,cn 使得 c1x1(t)+c2x2(t)+.+cnxn(t)=0 将上式对微分一次,二次,.,n-1 次得 c1x1’(t)+.+cnxn’(t)=0 . . c1x1 (n-1)(t)+.+cnxn (n-1)(t)=0 即有 x1(t) x2(t) xm(t) X1’(t) x2’(t) xm’(t) c1 . +c2 . + . +cn . =0 (**) . . . x1 (n-1)(t) x2 (n-1)(t) xm (n-1)(t) 即向量函数组(*)是线性相关. 反之,如果向量函数(*)线性相关,则存在不全为零的常数 c1,c2,.,cm 使得(**)成立,当 然有 c1x1(t)+c2x2(t)+.+cmxm(t)=0 这表明 x1(t),x2(t),.,xm(t) 线性相关. 从而从 4、1、2  Wronsky 行列式的概念可看出,本节定理，3、4、5 立即分别推出第四 章的定理 3、4、5. 从本节定理 6 直接得到 推论 2,如果 x1(t),x2(t),.,xn(t)是 n 阶微分方程 x(n)+a1(t)x(n-1)+.+an(t)x=0 的 n 个线性无关解,其中 ai(t) (i=1,2,.,n)是 a≤t≤b 上连续函数。则(5、21)的任一解 x(t)均可表为 x(t)≡c1x1(t)+c2x2(t)+.+cmxm(t) 这里 c1,c2,.,cn 是相应的确定常数. 推论 2 是第四章定理 6 的另一种表达形式.) 为了方便简洁,我们把前面论述的有关结果写成矩阵的形式,如果一个 n×n 列矩阵的 每一列都是 (5、15) 的解,我们称这个矩阵为 (5、15) 的解矩阵.如果该矩阵的列在[a,b] 上是的线性无关的解组,则称该矩阵为方程组 (5、15) 的基解矩阵.用  (t)表示方程 (5、15)的由  1(t),  2(t),.,  n(t) 作为列构成的基解矩阵,即  (t)=[  1(t),  2(t),.,  n(t)] 这样定理 5 和定理 6 就可以表述为下面的定理 定理 1*,一定存在一个基解矩阵  (t) ,如果  (t) 是 (5、15) 的任一解,那末  (t)=  (t)c (5、12)

这里 c 是确定的 n 维常数列向量. 从上面的讨论中可以看到,为了寻求 (5、15)的任一解,需要寻求一个基解矩阵,如果在 a≤t≤b 上找到 (5、15)的一个解矩阵,能否以某种方式验证这个解矩阵是不是基解矩阵呢? 定理和定理完全回答了这个问题,即可以用下面表述形式: 定理 2*, (5、15)的一个解矩阵  (t) 是基解矩阵的充要条件是 det  (t)≠0 (a≤t≤b),而且,如果对某一 to∈[a,b], det  (to)≠0,则 det  (t)≠0, a≤t≤b.( det  (t) 表示矩阵的行列式). 注 1:行列式恒等于零的矩阵的列向量未必是线性相关的,为矩阵 1 t t2 0 1 t 0 0 0 的行列式在任何区间 t 恒等于零,但它的列向量线性无关. 注 2: n×n 矩阵  (t) 是的(5、15) 基解矩阵的充要条件是:  ’(t)=A(t)B(t),t∈[a,b] 且  to∈[a,b],使 det  (to)≠0 Proof:若  (t)=[  1(t),  2(t),.,  n(t)]是(5、15) 则有  ’(t)=A(t)  i(t) ,t∈[a,b],i=1,2,.,n, 故有 [  1’(t),  2’(t),.,  n’(t)]=A(t)[  1(t),  2(t),.,  n(t)] 即  ’(t)=A(t)  (t) 又由定理 2*,det  (to)≠0,to∈[a,b] 反之,由  ’(t)=A(t)  (t),则  i’(t)=A(t)  i(t) 故  (t)为解矩阵 又 det  (to)≠0 故  (t)是 (5、15)的基解矩阵 . 例 3．验证        t t t e e te t 0 ( ) 是方程组 , 0 1 1 1 ' x x      = 其中       = 2 1 x x x 的基解矩阵。 解：由于 ( ) 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 ( 1) ( ) ' t e e te e e e t t t t t t t t        =             =      +  = ，故 (t) 是解矩阵。又 因为 0, 0 det ( ) 2  = =  t t t t e e e te t 所以是基解矩阵。从定理 1*和定理 2*可以得出下面的推 论： 推论 1*，如果是（5. 15）在 a  t  b 的基解矩阵。C 是非奇异 nn 常数矩阵。那 么， (t)c 也是（5.15）在 a  t  b 区间上的基解矩阵。 Proof：由于（5.15）的基解矩阵 (t) 满足 ( ) ( ) ( ), ( , ], ( ) ( ) , ( , ], '  t = A t  t t  a b 令 t   t c t  a b 则 ( ) '( ) (( ) ( ) '  t =  t c = A t  t 故 为（5.15）的解矩阵。又由非奇异性有 det (t) = det(t)detC  0(a  t  b) 因此

(t)即（t）c 是（5.15）的基解矩阵。 推论 2*：如果 (t), (t) a t b x A(t)x '   在   上是 = 的两个基解矩阵，那么，存在一个非奇 异 nn 常数矩阵 c，使得在区间 a  t  b 上 (t) = (t)c. Proof：因 (t) 是基解矩阵，故其逆矩阵 ( ) '  t 存在。令 ( ) ( ) ( ), '  t  t  x t t [a,b] 则 X（t） 是 n × n 可微矩阵，且 detX(t) ≠ 0 (a ≤ t ≤ b) 于是有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), [ , ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' ' ' ' A t t X t t X t A t t t X t t a b A t t t t X t t X t   +    +        +  由此可得 (t)X (t) 0, X (t) 0,t [a,b], X(t) n n ， ， C。 (t) (t)c ' '   即   故 为  常数矩阵 且非奇异 记作 即有 =  例 4：验证 X X ， 。 e e e e t t t t t 是方程组  的基解矩阵 并写出其通解       =      −  = 1 2 2 1 ( ) ' 3 3 解：首先验证 ( ) ( ) 1  t 是方程组的基解矩阵， 令（t） 表示 t 的第一列。这时 ( ) 1 2 2 1 1 2 2 1 ( ) 1 ' t e e e e t t t t t         =      −        =      − = − 因此 1 (t)是一个解， 同样， 如果以（t）2 表示（t） 的第一列， 我们有 ( ) ( ) ( ) [ ( ), ( )] 1 2 2 1 1 2 2 1 3 3 ( ) 3 2 2 1 2 3 3 3 2 ' t t 。 t t t e e e e t t t t t     =         =             =      = 这表示 也是一个解 因此 是解矩阵。又因为 e ， 故 t 是基解矩阵， 于是方程的通解为 e e e e t t t t t t det ( ) 2 0 ( ) 4 3 3 =   −  =       − + + =            − =  = t t t t t t t t c e c e c e c e c c e e e e X t c 3 1 2 3 1 2 2 1 3 3 ( ) 二．非齐线性微分方程组 下面讨论非齐线性微分方程组 ( ) ( ) ' X = A t X + f t （5.14 的解的结构问题，这是 A（t） 是 a≤t≤b 上的已知 n×n 连续矩阵。f(t)是 a≤t≤b 上的已知 n 维连续列向量。所得的结果 定一阶线性非齐方程相应的结论完全类似。易验证非齐线性微分方程组（5.14）的解具有下 面一些简单性质。 性质 1 如果 (t)是(5.14)的解， (t)是(5.14)对应的齐线性方程组(5.15)的解， 则(t) + (t)是(5.14)的解。 性质 2 如果

t 。 t t ， t 和 是 的两个解 则 ( )是(5.15)的解 ( ) ~ ( ) (5.14) ( ) ~     − 性质 3 设 = = + + = + = m j m j j j f t f t f t X t X A t X f t ， X X t 1 ' 1 ( ) ( )  ( ),且 ( )是方程组 ( ) ( )的解 则 ( ) 是方程组(5.14)的解。 定理 7 （通解结构定理） 设 (t)是(5.15)的基解矩阵，(t)是(5.14)的某一解， 则(5.14)的任一解(t)都可表为 (t) = (t)c +(t) 这里 C 是确定的常数列向量。 Proof：由性质 2 知， (t) −(t)是(5.15)的解， 再由定理1*得到(t) −(t) = (t)c 这里 C 是确定的常数列向量，由此即得 (t) = (t) + (t)C 。 设定理表示要求非齐线性微分方程（5。14）的通解，只要求出对应的齐次线性微分方 程组（5。15）的基本解组和非齐次线性方程组（5。14）的任一解即可。 在介绍一阶线性微分方程的求解问题时，我们给出了常数变易法，这个方法对于非齐次 线性方程组（5。14）的求解仍有效，5。15 在在的基解矩阵 (t) 的情况下，利用常数变易 法，即可求出方程组（5。15）对应的非齐次方程组（5。14）的特解，下面介绍这个求解方 法： 设 (t) 是（5。15）的基解矩阵，于是方程组（5。15）的通解为 X (t) = (t)c 其中 C 是任意常数列向量，为了求得方程组（5。14）的解，我们把 C（t）看成关于 t 的待定的函 数列向量 C（t），试图寻求（5。14）的形为 (t) = (t)c(t) （5。24）的解，把（5。24） 代入（5。14）得  ' (t)C(t) + (t)C ' (t) = A(t)(t)C(t) + f (t),由于(t)为（ 5。15） 的基解矩阵， 所以 ( ) ( ) ( ) '  t = A t  t 因此,C(t)满足下面的方程组 ( ) ( ) ( ) '  t C t = f t 又因为 (t) 为可逆矩阵.从 而可得 ( ) ( ) ' 1 C t f t − =  对于上述方程组从 t0 到 t 积 分 . 并 取 C(t0)=0 得 =   =     − t t t t C t t f s ds t t a b t t s f s ds t t a b 0 0 ( ) ( ) ( ) , , [ , ] (5.24) ( ) ( ) ( ) ( ) , , [ , ] 0 1 0 ' 因此 变为 反之,可验证上式是方程组(5.14)满足初始条件 (t 0 ) = 0 的特解,上面的结论可归纳成下面的 定理. 定 理 8: 如 果 (t) 是 (5.15) 的 基 解 矩 阵 , 则 (1). 向 量 函 数

 =   = − t t t t s f s ds t 0 ( ) ( ) ( ) ( ) (5.14) , ( 0 ) 0 1  是方程 的解 且满足初始条件 . (2).方程组(5.14)的通解为  − =  +   t t X t t C t s f s ds 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 . 例 5: 求方程组 . 1 2 0 2 1 2 ' 的通解      +       = t e X X 解: 由例 4 知,       −  = t t t t e e e e t 3 3 ( ) 是对应的齐次方程组的基解矩阵,求 (t) 的逆矩阵得:       −  =      −  = − − − − − s s s s s s s s s e e e e e e e e e s 3 3 3 3 4 1 2 1 2 1 ( ) 由(5.26)得方程组的特解为:       − + −  =            −       − =  − − − − t t t s t t t s s s s t t t t e e e e e ds e e e e e e e e e t 3 2 2 3 0 3 3 3 3 2 2 1 2 0 1 ( ) 所以原方程的通解 为:           − + + − + + + −  =      − + − =  +       = ( 2 ) 2 1 ( ) 2 1 2 2 1 ( ) ( ) 3 3 2 1 2 3 3 1 2 3 2 3 2 1 t t t t t t t t t t t t t t C e C e e e e C e C e e e e e e e e t C x x X t 例 6: 试求原方程的通解为 . 1 1 , , (0) 0 1 0 1 1 2 ' 1 的解     − =        =      +       = − X x x X e X X t 解: 由例 3 知:        = t t t e e te t 0 ( ) 是对应的齐线性方程组的基解矩阵.取矩阵 (t) 的逆,得 故方程满足初始条件  的解就是      − =       −  =      −  = − − 1 1 , (0) 0 1 1 0 1 ( ) 2 1  s s s s s e s e e se e s          − + =   +   = = − − − t t t t t e t e e e t t t s f s ds 0 1 1 ( ) 2 1 ( ) ( ) (0) ( ) ( ) ( )  . 由 n 阶线性微分方程初值问题(5.6)与一阶线性微分方程组的初值问题(5.7)的解等价关系,我 们探讨 n 阶线性微分方程的常数变易公式. 设 T n j j j X (t), X (t), X (t) (5.6) . (5.7) X (t) (X (t), X (t) ) ' 1 2  为 的基本解组则 的基本解组为 =  从而其基解矩阵为 ds w s f s X t W s t X t X t t t t t f s ds t t n k k k t t n ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ), , ( )). (5.7) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 1 0            =  = = =   = = −    故 满足 的解为