广东第二师范学院：《常微分方程》课程教学资源（教案讲义）第五章 线性微分方程组 5.2 线性微分方程组的一般理论

85.2线性微分方程组的一般理论教学目的讨论线性微分方程组的基本理论及其求解方法（包括常数变易法，常系数方程组基本解矩阵的求法）教学要求掌握线性微分方程组的基本理论和基本解矩阵的性质，掌握常系数线性方程组基本解矩阵的计算教学重点解的叠加原理；向量函数的线性相关性的定义；Wronsky行列式；解矩阵的定义和性质；常数变易法；解的结构教学难点向量函数的线性相关性；Wronsky行列式的定义及其性质。教学方法讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。教学手段传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。这一节，我们讨论线性微分方程组(5. 14)x=A(t)x+f(t)的基本理论，主要研究它们解的结构问题，这里A(t)和f(t)在a≤x≤b上连续若f(t)=0,则(5.14)变为x'= A(t)x(5. 15)(5.15)称为齐线性的，若f()+0,则称(5.14)为非齐线性的,并称(5.15)为(5.14)的对应齐线性方程组齐线性微分方程组我们讨论(5.15)通解的结构，与n阶线性齐次方程类似也有下面的叠加原理定理2．设x,(t),x2(t),..,xm(t)也是(5.14)的m个解,则它们的线性组合

§5.2 线性微分方程组的一般理论 教学目的 讨论线性微分方程组的基本理论及其求解方法（包括常数变易法，常系数方程组 基本解矩阵的求法） 教学要求 掌握线性微分方程组的基本理论和基本解矩阵的性质，掌握常系数线性方程组基 本解矩阵的计算 教学重点 解的叠加原理；向量函数的线性相关性的定义；Wronsky 行列式；解矩阵的定义和 性质；常数变易法；解的结构 教学难点 向量函数的线性相关性；Wronsky 行列式的定义及其性质。 教学方法 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 教学手段 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 这一节,我们讨论线性微分方程组 x  = A(t)x + f (t) (5.14) 的基本理论 , 主 要 研 究 它 们 解 的 结 构 问 题 , 这 里 A(t)和f (t)在a  x  b上连续, 若f (t)  0,则(5.14)变为 x  = A(t)x (5.15) (5.15)称为齐线性的,若 f (t)  0 ,则称(5.14)为非齐线性的,并称(5.15)为(5.14)的对应齐 线性方程组. 齐线性微分方程组 我们讨论(5.15)通解的结构,与 n 阶线性齐次方程类似,也有下面的叠加原理 定 理 2. 设 x1 (t), x2 (t),, xm (t)也是(5.14)的m个解,则它们的 线性组合

MZc,x,()也是(5.15)的解,这里则有c,C2.c.是任常数.-Proof:因x,(t)(i=1,2..,m)是(5.15)的解则有dx; = A(0)x,(1)(i=1,2....,m)dt所以d(cx)+...+CmXm)dtdx,dxm+Cm= Cidtdt=C,A(t)x,(t)+...+ CmA(t)x.(t)= A(t)[c,x, +...+CmXm]M：Zc,x,()也是(5.15)的解i=l定理2表明，(5.15)的所有解构成一个线性空间，自然要间，此空间的维数是多少呢?为此,先引时进向量函数x,(t),x,()..x.(t)线性相关的概念定义：设x,(t),x2(t),,xm(t)是一组定义在区间a≤x≤b上的函数向量，如果存在一组不全为零的常数c,C2...,Cm,使得对所有a≤x≤b有恒等式Cx()+...+CmXm(0)=0成立，则称此组函数向量在区间a≤x≤b上线性相关，否则，就称此组函数向量在a≤x≤b上是线性无关的例1.证明，函数向量组[cos?]- sin?t1x,(t) =1x,(0):tI在任何区间上都是线性相关的.Proof ：取c, =1,c, =-1,则[0]C)x(t)+c2x2(0)=0Vt[o]故x,(t)xz(t)在a≤x≤b线性相关

( ) (5.15) , , , , . 1 2 1 也是 的解 这里则有 m是任常数 M i i i c x t c c  c = Proof: 因 xi (t)(i =1,2,,m)是(5.15)的解,则有 A(t)x (t) dt dx i i = (i =1,2,,m) 所以 ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 m m m m m m m m A t c x c x c A t x t c A t x t dt dx c dt dx c c x c x dt d = ++ = ++ = ++ ++ ( ) (5.15) . 1 =  M i i i c x t 也是 的解 定理 2 表明,(5.15)的所有解构成一个线性空间,自然要问,此空间的维数是多少呢?为此,先引 时进向量函数 ( ), ( ), , ( ) 1 2 x t x t x t  m 线性相关的概念. 定义: 设 ( ), ( ), , ( ) 1 2 x t x t x t  m 是一组定义在区间 a  x  b 上的函数向量,如果存在一 组不全为零的常数 m c ,c , ,c 1 2  ,使得对所有 a  x  b 有恒等式 c1 x1 (t) ++ cm xm (t)  0 成立,则称此组函数向量在区间 a  x  b 上线性相关,否则,就称此组函数向量在 a  x  b 上是线性无关的. 例1. 证明,函数向量组           − =           = t t x t t t x t 1 1 sin 1 , ( ) cos ( ) 2 2 2 1 在任何区间上都是线性相关的. Proof : 取 c1 =1,c2 = −1,则           +  0 0 0 ( ) ( ) 1 1 2 2 c x t c x t t 故 ( ), ( ) 1 2 x t x t 在 a  x  b 线性相关

例2.证明函数向量组e'n0o.在(-00,+o)上线性无关.Proof：要使Cx,(t)+c,x()+cx,(0) = 成立,则需[e'00es0-80<1<+80ley100因为0e2ee3re3t0=-2e4<00ley1所以得※c=C,=C,=0,故x,x2,x,线性无关下面介绍(5.15)解的函数向量组x,(t)..,x,()在所定义区间上线性相关的判别准则设有n个定义在区间a≤x<b上的向量函数[x(0)][xn (0)]X21(0)X2n(t)x() =,X,()=[()]xmm(t)由这个向量函数构成的行列式[x()Xi2(t)Xin(t)+...X21(1) X22(t)...X2.(0)W[x (t)....x,()] =W(t) =..[xm(t) Xn2(t)x.n(t)...称为这些向量函数的Wronsky行列式定理3.如果向量函数x;(t)..,x,(t)在a≤x<≤b上线性相关,则它们的Wronsky行列式w(t)=0,a≤t≤b.Proof：因x(t)...,x(t)在a≤x≤b上线性相关，从而存在不全为零的常数

例2. 证明函数向量组           =           =           = − 0 , 1 0 0 , 3 2 1 3 1 1 t t t t t e e x e x e e x 在 (−,+) 上线性无关. Proof: 要使 0 1 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 3 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 2            +           +           + + = − t t t t t e e c e c e e c x t c x t c x t c 成立,则需           =                     − 0 0 0 1 0 0 0 3 2 1 3 3 2 c c c e e e e e t t t t t −   t  + 因为 2 0 1 0 0 0 3 3 4 2 = −            − t t t t t t e e e e e e 所以得※ c1 = c2 = c3 = 0,故x1 , x2 , x3线性无关 下面介绍(5.15)解的函数向量组 ( ), , ( ) 1 x t x t  n 在所定义区间上线性相关的判别准则 设有 n 个定义在区间 a  x  b 上的向量函数               =              = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 21 11 1 x t x t x t ， ，x t x t x t x t x t nn n n n n 由这个向量函数构成的行列式                         ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , ( ) ( ) 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 x t x t x t x t x t x t x t x t x t W x t x t W t n n n n n n n 称为这些向量函数的 Wronsky 行列式 定理 3.如果向量函数 ( ), , ( ) 1 x t x t  n 在 a  x  b 上线性相关,则它们的 Wronsky 行列 式 W (t)  0 , a  t  b . Proof: 因 ( ), , ( ) 1 x t x t  n 在 a  x  b 上线性相关,从而存在不全为零的常数

j...使cx(t)+c,x(t)+...+c,x,(t)=0,a≤x≤b从而对任一确定的t。e[a,b]常向量组x;(t),.,x,(1)均线性相关,因而W(to)=0,由t。的任意性,故有W(t)=0,te[a,b]定理4.如果(5.15)的解x(t),...,x,(t)线性无关,那么它们的Wronsky行列式W(t)+0,a≤t<b.Proof：“反证法”，若有to,a≤to≤b,使得W(t)=0,则常向量组x,（t。）,...,xn（to）线性相关,即存在不全为零的常数c,c2...c,使得C)x,(to)+C2x2(to)+...+C,x,(to)=0(5.17)现在考虑函数向量x(t)=C)x(t)+c2x2(0)+...+c,x,(t)由定理2，x(t)是(5.15)的解,由(5.17)知,设解文(t)满足初始条件x(t。)=0,因此由解的存在唯一性定理知，x(t)=0,即有Cix;(t)+Cax2()+...+C,x,(0)=0,t e[a,b)故解组x,(t),.,x,(t)在a≤t≤b上线性相关,矛盾.注:(5.15)的n个解x,(t),.,x,(1)线性相关一W(t)=0，te[a,b)(5.15)的n个解x,(1),..,x,()线性无关一W(t)+0,te[a,b]即(5.15)的n个解x;(t),..,x,(t)做成的Wronsky行列式W(t)或者恒等于零,或者恒不等于零注2.(5.15)的n个解x,(t)...,x,(t)在a≤t≤b上线性无关的充要条件为存在t。=[a,b]有W(to)±0.定理5.(5.15)一定存在n个线性无关的解Proof:任取t。E[a,b],根据解的存在唯一性定理，（5.15)一定存在满足初始条件

n c ,c , ,c 1 2  使 ( ) ( ) ( ) 0, c1 x1 t + c2 x2 t ++ cn xn t  a  x  b 从而对任一确定的 t 0 a,b,常向量组 ( ), , ( ) 1 x t x t  n 均线性相关,因而 W(t 0 ) = 0, 由 0 t 的任意性,故有 W (t)  0 , t a,b. 定理 4.如果(5.15)的解 ( ), , ( ) 1 x t x t  n 线性无关, 那么它们的 Wronsky 行列式 W (t)  0, a  t  b . Proof: “ 反证法 ” , 若 有 t 0 ,a  t 0  b,使得W(t) = 0,则常向量组 ( ), , ( ) 1 0 0 x t x t  n 线性相关,即存在不全为零的常数 n c c c ~ , , ~ , ~ 1 2  使得 ( ) 0 ~ ( ) ~ ( ) ~ c1 x1 t 0 + c2 x2 t 0 ++ cn xn t 0 = (5.17) 现在考虑函数向量 ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ 1 1 2 2 x t c x t c x t c x t = + ++ n n 由定理 2, ( ) ~ x t 是(5.15)的解,由(5.17)知,设解 ( ) ~ x t 满足初始条件 ( ) 0 ~ x t 0 = ,因此由解的存 在唯一性定理知, ( ) 0 ~ x t = ,即有 c x t c x t c x t t a b n n ( ) 0, , ~ ( ) ~ ( ) ~ 1 1 + 2 2 ++   故解组 ( ), , ( ) 1 x t x t  n 在 a  t  b 上线性相关,矛盾. 注:(5.15)的 n 个解 ( ), , ( ) 1 x t x t  n 线性相关  W (t)  0 , t a,b (5.15)的 n 个解 ( ), , ( ) 1 x t x t  n 线性无关  W (t)  0 , t a,b 即(5.15)的 n 个解 ( ), , ( ) 1 x t x t  n 做成的 Wronsky 行列式 W (t) 或者恒等于零,或者恒不 等于零. 注 2.(5.15)的 n 个解 ( ), , ( ) 1 x t x t  n 在 a  t  b 上线性无关的充要条件为存在 t a,b 0  , 有 W(t 0 )  0. 定理 5.(5.15)一定存在 n 个线性无关的解 Proof: 任取 t a,b 0  ,根据解的存在唯一性定理,(5.15)一定存在满足初始条件

00001x,(to)X2(to)(to)00的解xi(t),x2(t),,n(t）tE[a,b]，且以该组作出的Wronsky行列式在to处取值为W(tO-1+0，因此由定理3可知：xi(t),x2(t),,xn(t)在[a,b]上线性无关。定理6（通解结构定理)，如果xi(t),x2(t)，,xn(t)是(5、15)的n个线性无关组的解，则1(1)x(t)=c,x,(t）是的通解，其中c1,c2，,c.是的任常数，n=l(2)（5、15）的任一解x(t）均可表为xi(i=1,2，,n）的线性组合。Zc,x,(t)Proof:由定理2知，x(t)=是（5、15)的解它包含n个任常数，又因为n=lx(t)Xi2(t).xn(t)X21(t)X22(t)... X2n(t)a(x,x2,",x,)w(t)0a(c),C2,",cn)xin(t)x2n(t)..xm(t)故ci,C2,,c.彼此独立，于是x(t)=c,x,(）为（5、15)的通解。n=l(2)设x(t)是(5、15)的任一解，且x(to)=x0,因xi(t),x2(t),,Xn(t)是(5、15)的n个线性无关的解，从而可知常数向量组xi(to),x2(to)，,x(to）线性无关，即它们构成n维线性空间的基，故对向量x(to)一定存在惟一确定的一组常数C1,C2，"，Cn，满足(5、20)X(to)=CiXi(t)+C2X2(t)+*+c,x, (t)现在考虑函数向量x = Cixi(t)+C2X2(t)+.*+CxX. (t)由定理2，x为(5、15)的解，由（5、20）知它满足初始条件x(to)=xo因而由解的惟一性定理，应有x(t)=x(t),即 x(t)=cixi(t)+c2x2(t)+**+c.x.(t)由定理5,定理6,易得推论1、（5、15)的线性无关解的最大的个数等于n。基本解组的定义：(5、15)的n个线性无关的解xi(t),x2(t),,xn(t)为(5、15）的一个基本解组。注1：（5、15)的基本解组不唯一注2：（5、15)的所有解的集合构成一个n维线性空间注3：由n阶线性的微分方程的初值问题（5、6)与线性微分方程组的初值问题（5、7)的

              =              =              = 1 0 0 , ( ) 0 1 0 , ( ) 0 0 1 ( ) 1 0 2 0 0 x t x t ，x t n 的解 x1(t),x2(t),.,xn(t) t∈[a,b],且以该组作出的 Wronsky 行列式在 t0 处取值为 W(t0)=1 ≠0，因此由定理 3 可知: x1(t),x2(t),.,xn(t)在[a,b]上线性无关。 定理 6（通解结构定理），如果 x1(t),x2(t),.,xn(t)是(5、15)的 n 个线性无关组的解，则 ⑴ = = n n i i x t c x t 1 ( ) ( ) 是的通解，其中 c1,c2,.,cn 是的任常数， ⑵ (5、15) 的任一解 x(t) 均可表为 xi (i=1,2,.,n) 的线性组合。 Proof:由定理 2 知， = = n n i i x t c x t 1 ( ) ( ) 是 (5、15)的解它包含 n 个任常数，又因为, ( , , , ) ( , , , ) 1 2 1 2 n n c c c x x x     = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 21 22 2 11 12 1 x t x t x t x t x t x t x t x t x t n n nn n n        = w(t)≠0 故 c1,c2,.,cn 彼此独立，于是 = = n n i i x t c x t 1 ( ) ( ) 为 (5、15) 的通解。 ⑵设 x(t)是(5、15) 的任一解，且 x(to)=xo, 因 x1(t),x2(t),.,xn(t)是 (5、15) 的 n 个 线性无关的解，从而可知常数向量组 x1(to),x2(to),.,xn(to) 线性无关，即它们构成 n 维 线性空间的基，故对向量 x(to)一定存在惟一确定的一组常数 c1,c2,.,cn，满足 x(to)=c1x1(t)+c2x2(t)+.+cnxn(t) (5、20) 现在考虑函数向量 ~ x = c1x1(t)+c2x2(t)+.+cnxn(t) 由定理 2， ~ x 为 (5、15)的解，由 (5、20) 知它满足初始条件 x(to)=x0 因而由解的惟一性定 理，应有 ~ x (t)=x(t), 即 x(t)= c1x1(t)+c2x2(t)+.+cnxn(t) 由定理 5,定理 6,易得 推论 1、(5、15)的线性无关解的最大的个数等于 n。 基本解组的定义: (5、15)的 n 个线性无关的解 x1(t),x2(t),.,xn(t)为 (5、15) 的一 个基本解组。 注 1: (5、15)的基本解组不唯一 注 2: (5、15)的所有解的集合构成一个 n 维线性空间 注 3:由 n 阶线性的微分方程的初值问题(5、6)与线性微分方程组的初值问题(5、7)的

等价性的论述，本节的所有定理却可平行的推论到阶线性微分方程上去（首先有：一组（n-1)次可微的纯量函数Xi(t),x2(t),,Xn(t),线性相关的充要条件是向量函数X.(t)X2 (t)x.(t)x2" (t)X, (t)x," (t)::(X(-1) (t)x2(a-1 (t)x.(a-" (t)线性相关线性。Proof:若xi(t),x2(t)，",Xn(t）线性相关则存在不全为零的常数c1,C2，",C使得CiXi(t)+C2X(t)+.*+C+X. (t)=0将上式对微分一次，二次，，n-1次得Cixi"(t)+.+cnx,' (t)=0Cix,(-) (t)+...+Cnx.(-1) (t)=0即有(xi(t)X2(t)xm(t)X" (t)2' (t)xm(t)(**)=0C1+C2.C.(xi(-" (t)x2(r- (t)x. (-) (t)即向量函数组（*）是线性相关反之，如果向量函数(*)线性相关，则存在不全为零的常数Ci，C2，，C，使得(**)成立，当然有Cix(t)+c2x2(t)+...+c-x(t)=0这表明x(t)，xz(t)，",x(t）线性相关从而从4、1、2@Wronsky行列式的概念可看出，本节定理，3、4、5立即分别推出第四章的定理3、4、5.从本节定理6直接得到推论2,如果x:(t)，xz(t)，,x(t)是n阶微分方程x(n)+a(t)x(n1)++a.(t)x=0的n个线性无关解，其中ai(t）(i=1,2,,n)是a≤t≤b上连续函数。则(5、21)的任一解x(t)均可表为x(t)=cixi(t)+czxz(t)++cax.(t）这里c1,c2,,c.是相应的确定常数推论2是第四章定理6的另一种表达形式.）为了方便简洁，我们把前面论述的有关结果写成矩阵的形式，如果一个nXn列矩阵的每一列都是（5、15）的解，我们称这个矩阵为（5、15）的解矩阵.如果该矩阵的列在[a.b7上是的线性无关的解组，则称该矩阵为方程组（5、15）的基解矩阵.用Φ（t)表示方程(5、15)的由(t)，β2(t),，.(t）作为列构成的基解矩阵，即(t)=[(t)，p2(t),",.(t))这样定理5和定理6就可以表述为下面的定理定理1*，一定存在一个基解矩阵Φ（t），如果β（t）是（5、15）的任一解，那末(5、12)p(t)=Φ(t)c

等价性的论述,本节的所有定理却可平行的推论到阶线性微分方程上去. (首先有:一组(n-1)次可微的纯量函数 x1(t),x2(t),.,xn(t),线性相关的充要条件是向 量函数 X1(t) x2(t) xm(t) X1’(t) x2’(t) . xm’(t) ﹕ ﹕ ﹕ X1 (n-1)(t) x2 (n-1)(t) xm (n-1)(t) 线性相关线性。 Proof:若 x1(t),x2(t),.,xn(t) 线性相关则存在不全为零的常数 c1,c2,.,cn 使得 c1x1(t)+c2x2(t)+.+cnxn(t)=0 将上式对微分一次,二次,.,n-1 次得 c1x1’(t)+.+cnxn’(t)=0 . . c1x1 (n-1)(t)+.+cnxn (n-1)(t)=0 即有 x1(t) x2(t) xm(t) X1’(t) x2’(t) xm’(t) c1 . +c2 . + . +cn . =0 (**) . . . x1 (n-1)(t) x2 (n-1)(t) xm (n-1)(t) 即向量函数组(*)是线性相关. 反之,如果向量函数(*)线性相关,则存在不全为零的常数 c1,c2,.,cm 使得(**)成立,当 然有 c1x1(t)+c2x2(t)+.+cmxm(t)=0 这表明 x1(t),x2(t),.,xm(t) 线性相关. 从而从 4、1、2  Wronsky 行列式的概念可看出,本节定理，3、4、5 立即分别推出第四 章的定理 3、4、5. 从本节定理 6 直接得到 推论 2,如果 x1(t),x2(t),.,xn(t)是 n 阶微分方程 x(n)+a1(t)x(n-1)+.+an(t)x=0 的 n 个线性无关解,其中 ai(t) (i=1,2,.,n)是 a≤t≤b 上连续函数。则(5、21)的任一解 x(t)均可表为 x(t)≡c1x1(t)+c2x2(t)+.+cmxm(t) 这里 c1,c2,.,cn 是相应的确定常数. 推论 2 是第四章定理 6 的另一种表达形式.) 为了方便简洁,我们把前面论述的有关结果写成矩阵的形式,如果一个 n×n 列矩阵的 每一列都是 (5、15) 的解,我们称这个矩阵为 (5、15) 的解矩阵.如果该矩阵的列在[a,b] 上是的线性无关的解组,则称该矩阵为方程组 (5、15) 的基解矩阵.用  (t)表示方程 (5、15)的由  1(t),  2(t),.,  n(t) 作为列构成的基解矩阵,即  (t)=[  1(t),  2(t),.,  n(t)] 这样定理 5 和定理 6 就可以表述为下面的定理 定理 1*,一定存在一个基解矩阵  (t) ,如果  (t) 是 (5、15) 的任一解,那末  (t)=  (t)c (5、12)

这里c是确定的n维常数列向量，从上面的讨论中可以看到，为了寻求（5、15)的任一解，需要寻求一个基解矩阵，如果在a≤t≤b上找到（5、15)的一个解矩阵，能否以某种方式验证这个解矩阵是不是基解矩阵呢？定理和定理完全回答了这个问题，即可以用下面表述形式：定理2*，（5、15)的一个解矩阵Φ（t）是基解矩阵的充要条件是detΦ（t)≠0(a≤t≤b),而且,如果对某一toE[a,b]，det(to)≠0,则detΦ(t)≠0，a≤t≤b.（detΦ（t）表示矩阵的行列式).注1：行列式恒等于零的矩阵的列向量未必是线性相关的，为矩阵tt2o1t(o00的行列式在任何区间t恒等于零，但它的列向量线性无关，注2：nXn矩阵Φ（t）是的（5、15）基解矩阵的充要条件是：Φ(t)=A(t)B(t),tE[a,b]且3toE[a,b],使det(to)0Proof:若(t)=［Φ.(t)，2(t),，β.(t))是(5、15）则有β"(t)=A(t) :(t),te[a,b],i=l,2, ",n,故有[p(t),@2(t),",(t)]=A(t)[(t),2(t),"@.(t)]即Φ(t)=A(t)Φ (t)又由定理2*,det（to)0,toE[a,b]反之,由β(t)=A(t)β(t),则Φ(t)=A(t)@:(t)故β（t)为解矩阵又det@(to)≠0故@（t)是(5、15)的基解矩阵[e'te'][1. 1]x是方程组xx,其中x:的基解矩阵。例3.验证Φ(t)oe'[o1[x2]e'e'(t+)-11e'tetΦ(t)，故Φ(t)是解矩阵。又解：由于Φ(t)==eojoe=0ette'=e2°+0,所以是基解矩阵。从定理1*和定理2*可以得出下面的推因为detΦ(t)=loe论：推论1*，如果是（5.15）在a≤t≤b的基解矩阵。C是非奇异nxn常数矩阵。那么，Φ(t)c也是（5.15）在a≤t≤b区间上的基解矩阵。Proof：由于（5.15）的基解矩阵Φ(t)满足Φ (t) = A(t)Φ(t),t (a,b], 令Y(t)=Φ(t)c,t E (a,b], 则 (t)=Φ'(t)c = A(t)Φ(t) 故为（5.15）的解矩阵。又由非奇异性有detY(t)=detd(t)detC+0(a≤t≤b)）因此

这里 c 是确定的 n 维常数列向量. 从上面的讨论中可以看到,为了寻求 (5、15)的任一解,需要寻求一个基解矩阵,如果在 a≤t≤b 上找到 (5、15)的一个解矩阵,能否以某种方式验证这个解矩阵是不是基解矩阵呢? 定理和定理完全回答了这个问题,即可以用下面表述形式: 定理 2*, (5、15)的一个解矩阵  (t) 是基解矩阵的充要条件是 det  (t)≠0 (a≤t≤b),而且,如果对某一 to∈[a,b], det  (to)≠0,则 det  (t)≠0, a≤t≤b.( det  (t) 表示矩阵的行列式). 注 1:行列式恒等于零的矩阵的列向量未必是线性相关的,为矩阵 1 t t2 0 1 t 0 0 0 的行列式在任何区间 t 恒等于零,但它的列向量线性无关. 注 2: n×n 矩阵  (t) 是的(5、15) 基解矩阵的充要条件是:  ’(t)=A(t)B(t),t∈[a,b] 且  to∈[a,b],使 det  (to)≠0 Proof:若  (t)=[  1(t),  2(t),.,  n(t)]是(5、15) 则有  ’(t)=A(t)  i(t) ,t∈[a,b],i=1,2,.,n, 故有 [  1’(t),  2’(t),.,  n’(t)]=A(t)[  1(t),  2(t),.,  n(t)] 即  ’(t)=A(t)  (t) 又由定理 2*,det  (to)≠0,to∈[a,b] 反之,由  ’(t)=A(t)  (t),则  i’(t)=A(t)  i(t) 故  (t)为解矩阵 又 det  (to)≠0 故  (t)是 (5、15)的基解矩阵 . 例 3．验证        t t t e e te t 0 ( ) 是方程组 , 0 1 1 1 ' x x      = 其中       = 2 1 x x x 的基解矩阵。 解：由于 ( ) 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 ( 1) ( ) ' t e e te e e e t t t t t t t t        =             =      +  = ，故 (t) 是解矩阵。又 因为 0, 0 det ( ) 2  = =  t t t t e e e te t 所以是基解矩阵。从定理 1*和定理 2*可以得出下面的推 论： 推论 1*，如果是（5. 15）在 a  t  b 的基解矩阵。C 是非奇异 nn 常数矩阵。那 么， (t)c 也是（5.15）在 a  t  b 区间上的基解矩阵。 Proof：由于（5.15）的基解矩阵 (t) 满足 ( ) ( ) ( ), ( , ], ( ) ( ) , ( , ], '  t = A t  t t  a b 令 t   t c t  a b 则 ( ) '( ) (( ) ( ) '  t =  t c = A t  t 故 为（5.15）的解矩阵。又由非奇异性有 det (t) = det(t)detC  0(a  t  b) 因此

(t)即Φ(t)c是（5.15）的基解矩阵。推论2*：如果Φ(t),Y(t)在a≤t≤b上是x=A(t)x的两个基解矩阵，那么，存在一个非奇异nxn常数矩阵c，使得在区间a≤t<b上y(t)=Φ(t)cProof:因Φ(t)是基解矩阵，故其逆矩阵Φ(t)存在。令Φ(t)Y(t)=x(t),te[a,b]则x(t)是nxn可微矩阵，且detx(t)≠o(a≤t≤b)于是有A(t)Y(t) = (t)=Φ (t)X(t)+Φ(t)X (t)由此可得=A(t)Φ(t)X(t)+Φ(t)X (t)= A(t)(t)+Φ(t)X (t),tE[a,b)d(t)X(t)=0,即X(1)=0,te[a,b],故X(t)为nxn常数矩阵，且非奇异，记作C。即有(0)=Φ(t)cete[21]是方程组X：例4：验证Φ(t)=X的基解矩阵，并写出其通解。L-e'e3[12]解：首先验证Φ(t)是方程组的基解矩阵，令g(t）表示(t)的第一列。这时212100-[]-因此e(t)e-12-6-12p(t)是一个解，同样，如果以p(t）表示Φ(t）的第一列，我们有5: 0-[]-[[)]-[ h,0这表示,0是一个。 因0-0,01是解矩阵。又因为ete3=2e+0，故Φ(t)是基解矩阵，于是方程的通解为det Φ(t) =-ete3r-0-[ 8]-=,e'+c,e3r-c,e' +c,e3二．非齐线性微分方程组下面讨论非齐线性微分方程组X=A(t)X+(t)（5.14的解的结构问题，这是A（t）是a≤t≤b上的已知nXn连续矩阵。f(t)是a≤t≤b上的已知n维连续列向量。所得的结果定一阶线性非齐方程相应的结论完全类似。易验证非齐线性微分方程组（5.14）的解具有下面一些简单性质。性质1如果p(t)是(5.14)的解，Y(t)是(5.14)对应的齐线性方程组(5.15)的解，则p(t)+Y(t)是(5.14)的解。性质2如果

(t)即（t）c 是（5.15）的基解矩阵。 推论 2*：如果 (t), (t) a t b x A(t)x '   在   上是 = 的两个基解矩阵，那么，存在一个非奇 异 nn 常数矩阵 c，使得在区间 a  t  b 上 (t) = (t)c. Proof：因 (t) 是基解矩阵，故其逆矩阵 ( ) '  t 存在。令 ( ) ( ) ( ), '  t  t  x t t [a,b] 则 X（t） 是 n × n 可微矩阵，且 detX(t) ≠ 0 (a ≤ t ≤ b) 于是有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), [ , ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' ' ' ' A t t X t t X t A t t t X t t a b A t t t t X t t X t   +    +        +  由此可得 (t)X (t) 0, X (t) 0,t [a,b], X(t) n n ， ， C。 (t) (t)c ' '   即   故 为  常数矩阵 且非奇异 记作 即有 =  例 4：验证 X X ， 。 e e e e t t t t t 是方程组  的基解矩阵 并写出其通解       =      −  = 1 2 2 1 ( ) ' 3 3 解：首先验证 ( ) ( ) 1  t 是方程组的基解矩阵， 令（t） 表示 t 的第一列。这时 ( ) 1 2 2 1 1 2 2 1 ( ) 1 ' t e e e e t t t t t         =      −        =      − = − 因此 1 (t)是一个解， 同样， 如果以（t）2 表示（t） 的第一列， 我们有 ( ) ( ) ( ) [ ( ), ( )] 1 2 2 1 1 2 2 1 3 3 ( ) 3 2 2 1 2 3 3 3 2 ' t t 。 t t t e e e e t t t t t     =         =             =      = 这表示 也是一个解 因此 是解矩阵。又因为 e ， 故 t 是基解矩阵， 于是方程的通解为 e e e e t t t t t t det ( ) 2 0 ( ) 4 3 3 =   −  =       − + + =            − =  = t t t t t t t t c e c e c e c e c c e e e e X t c 3 1 2 3 1 2 2 1 3 3 ( ) 二．非齐线性微分方程组 下面讨论非齐线性微分方程组 ( ) ( ) ' X = A t X + f t （5.14 的解的结构问题，这是 A（t） 是 a≤t≤b 上的已知 n×n 连续矩阵。f(t)是 a≤t≤b 上的已知 n 维连续列向量。所得的结果 定一阶线性非齐方程相应的结论完全类似。易验证非齐线性微分方程组（5.14）的解具有下 面一些简单性质。 性质 1 如果 (t)是(5.14)的解， (t)是(5.14)对应的齐线性方程组(5.15)的解， 则(t) + (t)是(5.14)的解。 性质 2 如果

和o()是(5.14)的两个解，则一)-()是(5.15)的解。p(t)(t)性质3设F()=f()++ .(),且X,()是方程组X"=A(0)X+,(0)的解，则X=Zx,0)月是方程组(5.14)的解。定理7（通解结构定理）设Φ(t)是(5.15)的基解矩阵,p(t)是(5.14)的某一解，则(5.14)的任一解p(t)都可表为p(t)=(t)c+p(t)这里C是确定的常数列向量。Proof：由性质2知，p(t)-p(t)是(5.15)的解，再由定理1*得到p(t)-p(t)=p(t)c这里C是确定的常数列向量，由此即得p(t)=p(t)+d(t)C。设定理表示要求非齐线性微分方程（5。14）的通解，只要求出对应的齐次线性微分方程组（5。15）的基本解组和非齐次线性方程组（5。14）的任一解即可。在介绍一阶线性微分方程的求解问题时，我们给出了常数变易法，这个方法对于非齐次线性方程组（5。14）的求解仍有效，5。15在在的基解矩阵Φ(t)的情况下，利用常数变易法，即可求出方程组（5。15）对应的非齐次方程组（5。14）的特解，下面介绍这个求解方法：设Φ(t)是（5。15）的基解矩阵，于是方程组（5。15）的通解为X(t)=Φ(t)c其中C是任意常数列向量，为了求得方程组（5。14）的解，我们把C（t）看成关于t的待定的函数列向量C(t)，试图寻求（5。14)的形为p(t)=Φ(t)c(t)（5。24）的解，把（5。24)代入（5。14）得Φ(t)C(t)+Φ(t)C(t)=A(t)Φ(t)C(t)+f(t),由于Φ(t)为(515)的基解矩阵，所以β ()=A(t)d(t)因此,C(t)满足下面的方程组(t)C (l)=f(t)又因为d()为可逆矩阵.从而可得C(t)=Φ-"f(t)对于上述方程组从to到t积分.并取C(to)=0得C()=Jo'(1),f(s)ds,to,t e[a,b)因此(5.24)变为p(t)=D(0)f" -(s)f(s)ds,to,t E[a,b)0反之,可验证上式是方程组(5.14)满足初始条件β(to）=0的特解,上面的结论可归纳成下面的定理定理8:如果Φ()是（5.15)的基解矩阵，则(1).向量函数

t 。 t t ， t 和 是 的两个解 则 ( )是(5.15)的解 ( ) ~ ( ) (5.14) ( ) ~     − 性质 3 设 = = + + = + = m j m j j j f t f t f t X t X A t X f t ， X X t 1 ' 1 ( ) ( )  ( ),且 ( )是方程组 ( ) ( )的解 则 ( ) 是方程组(5.14)的解。 定理 7 （通解结构定理） 设 (t)是(5.15)的基解矩阵，(t)是(5.14)的某一解， 则(5.14)的任一解(t)都可表为 (t) = (t)c +(t) 这里 C 是确定的常数列向量。 Proof：由性质 2 知， (t) −(t)是(5.15)的解， 再由定理1*得到(t) −(t) = (t)c 这里 C 是确定的常数列向量，由此即得 (t) = (t) + (t)C 。 设定理表示要求非齐线性微分方程（5。14）的通解，只要求出对应的齐次线性微分方 程组（5。15）的基本解组和非齐次线性方程组（5。14）的任一解即可。 在介绍一阶线性微分方程的求解问题时，我们给出了常数变易法，这个方法对于非齐次 线性方程组（5。14）的求解仍有效，5。15 在在的基解矩阵 (t) 的情况下，利用常数变易 法，即可求出方程组（5。15）对应的非齐次方程组（5。14）的特解，下面介绍这个求解方 法： 设 (t) 是（5。15）的基解矩阵，于是方程组（5。15）的通解为 X (t) = (t)c 其中 C 是任意常数列向量，为了求得方程组（5。14）的解，我们把 C（t）看成关于 t 的待定的函 数列向量 C（t），试图寻求（5。14）的形为 (t) = (t)c(t) （5。24）的解，把（5。24） 代入（5。14）得  ' (t)C(t) + (t)C ' (t) = A(t)(t)C(t) + f (t),由于(t)为（ 5。15） 的基解矩阵， 所以 ( ) ( ) ( ) '  t = A t  t 因此,C(t)满足下面的方程组 ( ) ( ) ( ) '  t C t = f t 又因为 (t) 为可逆矩阵.从 而可得 ( ) ( ) ' 1 C t f t − =  对于上述方程组从 t0 到 t 积 分 . 并 取 C(t0)=0 得 =   =     − t t t t C t t f s ds t t a b t t s f s ds t t a b 0 0 ( ) ( ) ( ) , , [ , ] (5.24) ( ) ( ) ( ) ( ) , , [ , ] 0 1 0 ' 因此 变为 反之,可验证上式是方程组(5.14)满足初始条件 (t 0 ) = 0 的特解,上面的结论可归纳成下面的 定理. 定 理 8: 如 果 (t) 是 (5.15) 的 基 解 矩 阵 , 则 (1). 向 量 函 数

p(l)=d(0)"-(s)f(s)ds是方程(5.14)的解,且满足初始条件p(t)=0(2)方程组(5.14)的通解为X(t)=Φ(t)C+Φ()/"-(s)f(s)ds211Tezf例5:求方程组X"的通解IX +102解：由例4知，Φ(t)：是对应的齐次方程组的基解矩阵,求Φ(t)的逆矩阵得1[e3s11Φ-(s)= 由（5.26)得方程组的特解为e~3.2|e-32e4s;Tes03e3t-e'oe(t)=-ds所以原方程的通解31-2e2t+Cre, +Cx= Φ()C+)为: X(t):e3t-2e2t11例6：试求原方程的通解为Xyio的解0100是对应的齐线性方程组的基解矩阵.取矩阵Φ()的逆,得解：由例3知:Φ(t)0Φ-(s) =故方程满足初始条件β(0)的解就是p(t) =Φ(t)- (0)n +Φ()f"- (s)f(s)ds =由n阶线性微分方程初值问题(5.6)与一阶线性微分方程组的初值问题(5.7)的解等价关系,我们探讨n阶线性微分方程的常数变易公式设X,(),X,(l),X,(t)为(5.6)的基本解组则(5.7)的基本解组为X,()=(X,(0),X,(t))从而其基解矩阵为D(t)=(X,(0),,X,(0),故(5.7)满足p(t)=0的解为p(t)= "I' Φ(t)@-'()f(s)ds =(t)W.(sw(s)

 =   = − t t t t s f s ds t 0 ( ) ( ) ( ) ( ) (5.14) , ( 0 ) 0 1  是方程 的解 且满足初始条件 . (2).方程组(5.14)的通解为  − =  +   t t X t t C t s f s ds 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 . 例 5: 求方程组 . 1 2 0 2 1 2 ' 的通解      +       = t e X X 解: 由例 4 知,       −  = t t t t e e e e t 3 3 ( ) 是对应的齐次方程组的基解矩阵,求 (t) 的逆矩阵得:       −  =      −  = − − − − − s s s s s s s s s e e e e e e e e e s 3 3 3 3 4 1 2 1 2 1 ( ) 由(5.26)得方程组的特解为:       − + −  =            −       − =  − − − − t t t s t t t s s s s t t t t e e e e e ds e e e e e e e e e t 3 2 2 3 0 3 3 3 3 2 2 1 2 0 1 ( ) 所以原方程的通解 为:           − + + − + + + −  =      − + − =  +       = ( 2 ) 2 1 ( ) 2 1 2 2 1 ( ) ( ) 3 3 2 1 2 3 3 1 2 3 2 3 2 1 t t t t t t t t t t t t t t C e C e e e e C e C e e e e e e e e t C x x X t 例 6: 试求原方程的通解为 . 1 1 , , (0) 0 1 0 1 1 2 ' 1 的解     − =        =      +       = − X x x X e X X t 解: 由例 3 知:        = t t t e e te t 0 ( ) 是对应的齐线性方程组的基解矩阵.取矩阵 (t) 的逆,得 故方程满足初始条件  的解就是      − =       −  =      −  = − − 1 1 , (0) 0 1 1 0 1 ( ) 2 1  s s s s s e s e e se e s          − + =   +   = = − − − t t t t t e t e e e t t t s f s ds 0 1 1 ( ) 2 1 ( ) ( ) (0) ( ) ( ) ( )  . 由 n 阶线性微分方程初值问题(5.6)与一阶线性微分方程组的初值问题(5.7)的解等价关系,我 们探讨 n 阶线性微分方程的常数变易公式. 设 T n j j j X (t), X (t), X (t) (5.6) . (5.7) X (t) (X (t), X (t) ) ' 1 2  为 的基本解组则 的基本解组为 =  从而其基解矩阵为 ds w s f s X t W s t X t X t t t t t f s ds t t n k k k t t n ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ), , ( )). (5.7) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 1 0            =  = = =   = = −    故 满足 的解为