第二章 一阶微分方程的初等解法 教学目的 本章主要讨论变量分离的方程、齐次方程、线性方程、伯努利（Bernoulli）方程、 恰当方程和一阶隐式方程等方程的解法。 教学要求 能够识别方程的类型，熟练掌握各自的解法并能灵活应用。 教学重点 分离变量法；一阶线性方程的通解公式；常数变易法；伯努利（Bernoulli）方程； 恰当方程的定义、充要条件；积分因子的求法；四类隐式方程通解的求法 教学难点 用变量替换将某些方程转化为变量分离方程；常数变易法思想的理解；积分因子 的求法；求解四类隐式方程的变量替换。 教学方法 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 教学手段 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 课题导入 微分方程的一个主要问题是”求解”,即把微分方程的解通过初等函数或它 们的积分表达出来,但一般的微分方程无法求解,只能是对某些类型通过相应的 方法求解,本章主要介绍一阶微分方程 y' = f (x, y) 或 F(x, y, y') = 0 的一些可解类 型和相应的求解方法-初等解法,即把微分方程求解问题化为积分问题. §2.1 变量分离方程与变量变换 教学目的 了解变量分离的一阶方程和可化为变量分离的一阶方程的类型，熟练掌握变量分 离的一阶方程和可化为变量分离的一阶方程的解法。 教学要求 深刻掌握变量分离的一阶方程的解法，并能利用变量变换方法来解可化为变量分 离的一阶方程。 教学重点 变量分离的一阶方程和可化为变量分离的一阶方程的类型及其求解方法；一阶线
性方程的通解公式。 教学难点 用变量替换将某些方程转化为变量分离方程。 教学方法 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 教学手段 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 形如 f (x) ( y) dx dy = (2.1) 的方程,称为变量分离方程.这里 f (x),( y) 分别是 x,y 的连续函数. 一. 变量分离方程的求解. 当 ( y) 0 时,将(2.1)改写成 f x dx y dy ( ) ( ) = ,对上式两边积分得: = f x dx + c y dy ( ) ( ) (2.2) 原函数 的某一 ( ) 1 y 原函数 的某一 f (x) 由(2.2)所确定的函数 y = (x,c) 就为(2.1)的通解. 例1. 求微分方程 ) 10 (1 y y dx dy = − 的所有解. 解: 方程两边同除以 ) 10 (1 y y − ,再积分得 1 ) 10 (1 = + − dx c y y dy ,两边积分得 1 10 ln x c y y = + − , 从上式中解出从上式中解出 , 再 将 常 数 设 为 c, 得 , 0, 1 10 + = − c ce y x 由 ) 0 10 (1− = y y 求出方程的常数解为 y=0 和 y=10,故方程的所 有解为 , , 0. 1 10 = + = − c y ce y x 为任意常数 和
例2. 求微分方程 2 3 y dx dy x = 的通解. 解:分离变量后得 dx x y dy 1 2 3 = − 两边积分得 1 2 1 − 2y = ln x + c − 整理后得通解为: , , (ln ) 4 (ln ) 4 1 2 2 1 c c e x c cx y = = + = 其中 由于函数在 x=0 无意义,故此解只是在 x>0 或 x<0 中有定义. 此多此一举这有解 y=0,这个解无法从通解中选取常数 c 而得到,所以不是解. 例 3、求方程 P x y dx dy = ( ) 的通解。其中 P(X)是 x 的函数。 解：将变量分离，得到 P x dx y dy = ( ) 两边积分，即得 ㏑|y|=∫P(x)dx＋c1 由对数的定义，即有 |y|=e∫P(x)dx＋c1 即 y= ±e 1 c e ∫P(x)dx =ce ∫P(x)dx 此外，y=0 也是方程的解。若在上式中允许 c=0 即知 y=0 也包括在上式中，故方 程的通解为 y= ce ∫P(x)dx c 为任常数。 二、可化为变量分离方程的类型 1、形为 ( ) x y g dx dy = （2.5） 的方程，称为齐次方程，这里 g(u)是 u 的连续函数。 解法：①作变量代换（引入新变量） u= x y ，即 y=ux 则 dx du u x dx dy = + 代入 u＋ x dx du =g(u) 方程化为 x g u u dx du − = ( ) （这是由于 u dx du x dx dy = + ） ②解以上变量分离方程 ③变量还原 例 4、求解方程 xy y dx dy x + 2 = （x<0） 解：方程改写为 x y x y dx dy = 2 + (x<0)
这是齐次方程。令 u= x y 代入得 u u u dx du x + = 2 + 即 x u dx du 2 = 分离变量得 x dx u du = 2 两边积分得 u = ㏑（－x）＋c 即 u=(㏑（－x）＋c)2 ㏑（－x）＋c>0 c 为任常数。 此外还有解 u=0,不含在通解中 代回原来的变量，得原方程的通解为 − + − + − + = 0, ln( ) 0 [ln( ) ] , ln( ) 0 2 x c x x c x c y 例 5、求下面初值问题的解 （y+ 2 2 x + y ）dx=xdy，y(1)=0 解：方程变为 2 1 ( ) x y x y dx dy = + + 这是一个齐次方程。令 y=ux 代入方程得 2 1 u dx du x = + 分离变量得 dx u x du 1 1 2 = + 积分上式 ㏑|u+ 2 1+ u |=㏑|x|+㏑|c| 得整理后得 u+ 2 1+ u =cx 变量还原得 2 2 1 x y x y + + =cx 最后由初始条件 y(1)=0 可求出 c=1。 故初始值问题的解为 y= ( 1) 2 1 2 x − 2、形为 2 2 2 1 1 1 a x b y c a x b y c dx dy + + + + = 这里 a i ，b i ，c i (i=1、2)为常数的方程可经变量变换化为变量分离方程
分三种情况讨论： ⑴c 1 =c2=0 的情形 ( ) 2 2 1 1 2 2 1 1 x y g x y a b x y a b a x b y a x b y dx dy = + + = + + = 为齐次方程。由 1 可化为变量分离方程。 ⑵ 0, 2 2 1 1 = a b a b 的情形。设 k b b a a = = 2 1 2 1 ，则方程可改写成 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 f a x b y a x b y c k a x b y c dx dy = + + + + + = 令 u=a2x+b2y，则方程化为 ( ) a2 b2 f u dx dy = + 这就是变量分离方程。 ⑶ 0, 2 2 1 1 a b a b 且 c1与 c2不同时为零。 a1x+b1y+c1=0 a2x+b2y+c2=0 代表 xy 平面上两条相交的直线。解以上方程组得交点( , )≠(0,0)(注：若 ( , )=(0，0)则得 c1=c2=0 为(1)) 作变量代换 X=x－ Y=y－ 则方程化为为 ( ) 2 2 1 1 X Y g a X b Y a X b Y dX dY = + + = 为（1）的情形，可化为变量分离方 程求解。 解的步骤：⑴解方程组 a1x+b1y+c1=0 a2x+b2y+c2=0 得解 x= y=
⑵作变换 X=x－ Y=y－ 方程化为 ( ) 2 2 1 1 X Y g a X b Y a X b Y dX dY = + + = ⑶再经变换 u= X Y 将以上方程化为变量分离方程 ⑷求解 ⑸变量还原 例 6、求方程 3 1 − + + − = x y x y dx dy 的通解 解：解方程组 x＋y－1=0 X－y＋3=0 得 x=－1,y=2 令 x=X－1,y=Y+2 代入方程得 X Y X Y dX dY − + = 令 u= X Y ,得 u u dX du X − + = 1 1 2 分离变量后积分 X dX u u du = + − 2 1 (1 ) arctanu－ 2 1 ㏑(1+u2 )=㏑|x|+c 再将这些变量通个还原，整理后得原方程通解为 arctan 1 2 + − x y =㏑ 2 2 (x +1) + ( y − 2) +c 注：上述解题方法和步骤适用于更一般的方程类型 ( ) 2 2 2 1 1 1 a x b y c a x b y c f dx dy + + + + = ( ) ( ) 2 2 1 1 X Y g a X b Y a X b Y f dX dY = + + = 此外，若为 f (ax by c) dx dy = + + yf(xy)dx+xg(xy)dy=0 x 2 dx dy =f(xy) ( ) 2 x y xf dx dy = 以及 M(x,y)(xdx＋ydy)＋N(x,y)(xdy－ydx)=0 （其中 M,N 为 x,y 的齐次函数，设数可以不相同）等一些类型方程。均可适当变 量变换化为变量分离方程
例 7、求方程 ( ) ( ) 0 2 2 y + xy dx + x − x y dy = （y(1+xy)dx+x(1-xy)dy=0） 的通解。 解：令 u=xy 则 du=xdy＋ydx 代入方程，整理得 U(1+u)dx＋(1-u)(xdu-udx)=0 即 2u2 dx＋x(1-u)du=0 对上式分离变量得 x dx du u u 1 2 2 = − 即积分后得 u 1 ＋㏑|u|=㏑ x 2＋c 代入原方程得通解为 xy 1 －㏑| y x |=c 三、应用举例 例 8、雪球的融化 设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比例，且在融化过程中它始终为 球体，该雪球在开始时的半径为 6cm，经过 2 小时后，其半径缩小为 3cm，求雪 球的体积随时间变化的关系。 解：设 t 时刻雪球的体积为 v(t)，表面积为 s(t)，则 ( ) ( ) ks t dt dv t = − 根据球体的体积(v= 3 3 4 R )和表面积(s=4 R 2 = 3 2 ) 4 3 4 ( v )的关系得 s(t)= 3 2 3 2 3 1 (4 ) 3 v ，引入新常数 r = k 3 2 3 1 (4 ) 3 ， 再利用题中的条件得 3 2 rv dt dv = − ,v(0)=288 ,v(2)=36 分离变量积分得方程的通解为 v(t)= 27 1 (c－rt)3 利用条件 v(0)=288 和 v(2)=36 得 c=36 3 6 ，r=9 3 6 。代入得雪球体积随时 间变化的关系为 v(t)= 3 (12 3 ) 6 − t 注：实际问题要求 t∈[0,4] 例 9、求解方程 5 2 2 6 2 2 2 xy x y y x dx dy + − = 解：方程变为 3 2 2 3 2 2 2 ( ) 2 xy x y x dx y dy + − = 即 3 2 3 3 2 2 2 ( ) 2 3 xy x y x dx dy + − =
令 u=y 3 有 2( ) 1 3( ) 6 2 2 3 2 2 2 2 + − = + − = x u x u xu x u x dx du 作变换 v= x u 有 2 1 3 6 2 + − + = v v dx dv v x 即 2 1 6 2 + − − = v v v dx dv x 分离变量 x dx dv v v v = − − + 6 2 1 2 积分得 (v－3)7 (v＋2)3 =cx 5 c 为不为零的常数 变量还原得：(y3－3x)7 (y3+2x)3 =cx 15