第二章一阶微分方程的初等解法教学目的本章主要讨论变量分离的方程、齐次方程、线性方程、伯努利（Bernoulli）方程、恰当方程和一阶隐式方程等方程的解法。教学要求能够识别方程的类型，熟练掌握各自的解法并能灵活应用。教学重点分离变量法；一阶线性方程的通解公式；常数变易法：伯努利（Bernoulli）方程；恰当方程的定义、充要条件；积分因子的求法；四类隐式方程通解的求法教学难点用变量替换将某些方程转化为变量分离方程；常数变易法思想的理解；积分因子的求法；求解四类隐式方程的变量替换。教学方法讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。教学手段传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。课题导入微分方程的一个主要问题是”求解”，即把微分方程的解通过初等函数或它们的积分表达出来，但一般的微分方程无法求解，只能是对某些类型通过相应的方法求解，本章主要介绍一阶微分方程y'=f(x,J)或F(x,y,y)=0的一些可解类型和相应的求解方法-----初等解法，即把微分方程求解问题化为积分问题s2.1变量分离方程与变量变换教学目的了解变量分离的一阶方程和可化为变量分离的一阶方程的类型，熟练掌握变量分离的一阶方程和可化为变量分离的一阶方程的解法。教学要求深刻掌握变量分离的一阶方程的解法，并能利用变量变换方法来解可化为变量分离的一阶方程。教学重点变量分离的一阶方程和可化为变量分离的一阶方程的类型及其求解方法；一阶线
第二章 一阶微分方程的初等解法 教学目的 本章主要讨论变量分离的方程、齐次方程、线性方程、伯努利（Bernoulli）方程、 恰当方程和一阶隐式方程等方程的解法。 教学要求 能够识别方程的类型，熟练掌握各自的解法并能灵活应用。 教学重点 分离变量法；一阶线性方程的通解公式；常数变易法；伯努利（Bernoulli）方程； 恰当方程的定义、充要条件；积分因子的求法；四类隐式方程通解的求法 教学难点 用变量替换将某些方程转化为变量分离方程；常数变易法思想的理解；积分因子 的求法；求解四类隐式方程的变量替换。 教学方法 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 教学手段 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 课题导入 微分方程的一个主要问题是”求解”,即把微分方程的解通过初等函数或它 们的积分表达出来,但一般的微分方程无法求解,只能是对某些类型通过相应的 方法求解,本章主要介绍一阶微分方程 y' = f (x, y) 或 F(x, y, y') = 0 的一些可解类 型和相应的求解方法-初等解法,即把微分方程求解问题化为积分问题. §2.1 变量分离方程与变量变换 教学目的 了解变量分离的一阶方程和可化为变量分离的一阶方程的类型，熟练掌握变量分 离的一阶方程和可化为变量分离的一阶方程的解法。 教学要求 深刻掌握变量分离的一阶方程的解法，并能利用变量变换方法来解可化为变量分 离的一阶方程。 教学重点 变量分离的一阶方程和可化为变量分离的一阶方程的类型及其求解方法；一阶线
性方程的通解公式。教学难点用变量替换将某些方程转化为变量分离方程。教学方法讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。教学手段传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。形如= f(x)0()(2. 1)dx的方程，称为变量分离方程.这里f(x),(y)分别是x,y的连续函数一：变量分离方程的求解当g()*0时,将(2.1)改写成=f(x)dx，对上式两边积分得：p(y)dy(2. 2)[f(x)dx+cp(y)个个1f(x)p(y)的某一的某一原函数原函数由(2.2)所确定的函数y=p(x,c)就为(2.1)的通解求微分方程业=义(1-岁)的所有解。例1．dx10dy方程两边同除以y(1-），再积分得解：dx+c，两边积分得10J(1-10VInx+c，从上式中解出从上式中解出，再将常数设为c，得10-y10六)=0求出方程的常数解为 y=0和 y=10,故方程的所，0由1V101+ce10有解为y=,c为任意常数,和y=0.1+ce-
性方程的通解公式。 教学难点 用变量替换将某些方程转化为变量分离方程。 教学方法 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 教学手段 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 形如 f (x) ( y) dx dy = (2.1) 的方程,称为变量分离方程.这里 f (x),( y) 分别是 x,y 的连续函数. 一. 变量分离方程的求解. 当 ( y) 0 时,将(2.1)改写成 f x dx y dy ( ) ( ) = ,对上式两边积分得: = f x dx + c y dy ( ) ( ) (2.2) 原函数 的某一 ( ) 1 y 原函数 的某一 f (x) 由(2.2)所确定的函数 y = (x,c) 就为(2.1)的通解. 例1. 求微分方程 ) 10 (1 y y dx dy = − 的所有解. 解: 方程两边同除以 ) 10 (1 y y − ,再积分得 1 ) 10 (1 = + − dx c y y dy ,两边积分得 1 10 ln x c y y = + − , 从上式中解出从上式中解出 , 再 将 常 数 设 为 c, 得 , 0, 1 10 + = − c ce y x 由 ) 0 10 (1− = y y 求出方程的常数解为 y=0 和 y=10,故方程的所 有解为 , , 0. 1 10 = + = − c y ce y x 为任意常数 和
例2．求微分方程x业v2的通解dx-3dx两边积分得-2y解：分离变量后得y2dy==nx+c整理后得通解为：x44其中c=e，由于函数在x=0无意义，故此解只是在x>0y:(In|x+c)(In|cx)3或x<0中有定义此多此一举这有解v=0，这个解无法从通解中选取常数c而得到，所以不是解崇=P(x)y 的通解。其中 P(X)是x的函数。例3、求方程9dx解：将变量分离，得到=P(d)axy两边积分，即得lnly|=『P(x）dx十c由对数的定义，即有lyl=eP(a)a+el即y=±ee/Pa)=ce/Pa)此外，y=0也是方程的解。若在上式中允许c=O即知y=0也包括在上式中，故方程的通解为y=ceP()dc为任常数。二、可化为变量分离方程的类型1、形为=g()(2.5)dxY的方程，称为齐次方程，这里g（u）是u的连续函数。dyduy即y=ux则代入 u+解法：①作变量代换（引入新变量）=u+xdxdxxdu_=g（u）方程化为dxdu_ g(u)-u（这是由于=x尝+u）dxdxdxx②解以上变量分离方程③变量还原+2/x=(x<0)例4、求解方程dx反+dy_2解：方程改写为(x<0)dxVxx
例2. 求微分方程 2 3 y dx dy x = 的通解. 解:分离变量后得 dx x y dy 1 2 3 = − 两边积分得 1 2 1 − 2y = ln x + c − 整理后得通解为: , , (ln ) 4 (ln ) 4 1 2 2 1 c c e x c cx y = = + = 其中 由于函数在 x=0 无意义,故此解只是在 x>0 或 x<0 中有定义. 此多此一举这有解 y=0,这个解无法从通解中选取常数 c 而得到,所以不是解. 例 3、求方程 P x y dx dy = ( ) 的通解。其中 P(X)是 x 的函数。 解：将变量分离，得到 P x dx y dy = ( ) 两边积分，即得 ㏑|y|=∫P(x)dx＋c1 由对数的定义，即有 |y|=e∫P(x)dx＋c1 即 y= ±e 1 c e ∫P(x)dx =ce ∫P(x)dx 此外，y=0 也是方程的解。若在上式中允许 c=0 即知 y=0 也包括在上式中，故方 程的通解为 y= ce ∫P(x)dx c 为任常数。 二、可化为变量分离方程的类型 1、形为 ( ) x y g dx dy = （2.5） 的方程，称为齐次方程，这里 g(u)是 u 的连续函数。 解法：①作变量代换（引入新变量） u= x y ，即 y=ux 则 dx du u x dx dy = + 代入 u＋ x dx du =g(u) 方程化为 x g u u dx du − = ( ) （这是由于 u dx du x dx dy = + ） ②解以上变量分离方程 ③变量还原 例 4、求解方程 xy y dx dy x + 2 = （x<0） 解：方程改写为 x y x y dx dy = 2 + (x<0)
du这是齐次方程。令u=代入得x+u=2/u+uxdxdu_2Vu即dxxdudx分离变量得，2/ux两边积分得Vu=ln（一x）+c即u=(ln（-x）+c)2ln（一x）十c>0c为任常数。此外还有解u=0,不含在通解中代回原来的变量，得原方程的通解为[x[n(-x)+c}’, In(-x)+c>0ys0,In(-x)+c≤0例5、求下面初值问题的解(y+/x2+y2)dx=xdy,y(1)=0解：方程变为崇=±++()dxxV1du=Vi+u?这是一个齐次方程。令y=ux代入方程得dxdu=d分离变量得Vi+u?x积分上式In|u+/1+u?|=ln|x|+ln|c得整理后得u+/1+u?=cx+/+变量还原得=CXxV1+x?最后由初始条件y（1)=0可求出c=1。(x2 - 1)故初始值问题的解为Iy=22、形为dy_ax+by+cdxaax+by+cz这里a,，b,，,（i=l、2)为常数的方程可经变量变换化为变量分离方程
这是齐次方程。令 u= x y 代入得 u u u dx du x + = 2 + 即 x u dx du 2 = 分离变量得 x dx u du = 2 两边积分得 u = ㏑（－x）＋c 即 u=(㏑（－x）＋c)2 ㏑（－x）＋c>0 c 为任常数。 此外还有解 u=0,不含在通解中 代回原来的变量，得原方程的通解为 − + − + − + = 0, ln( ) 0 [ln( ) ] , ln( ) 0 2 x c x x c x c y 例 5、求下面初值问题的解 （y+ 2 2 x + y ）dx=xdy，y(1)=0 解：方程变为 2 1 ( ) x y x y dx dy = + + 这是一个齐次方程。令 y=ux 代入方程得 2 1 u dx du x = + 分离变量得 dx u x du 1 1 2 = + 积分上式 ㏑|u+ 2 1+ u |=㏑|x|+㏑|c| 得整理后得 u+ 2 1+ u =cx 变量还原得 2 2 1 x y x y + + =cx 最后由初始条件 y(1)=0 可求出 c=1。 故初始值问题的解为 y= ( 1) 2 1 2 x − 2、形为 2 2 2 1 1 1 a x b y c a x b y c dx dy + + + + = 这里 a i ，b i ，c i (i=1、2)为常数的方程可经变量变换化为变量分离方程
分三种情况讨论：a+b,之dy_ax+byx=g()(1)c,=C2=0的情形dxazx+baya, +b,x为齐次方程。由1可化为变量分离方程。bia,ai=b(2)=0,设=k，的情形。则方程可改写成b2b2a2azdyk(a,x+b,y)+Ci = f(azx+bay)dxa,x+b,y+c2dy令u=a2x+b2y，则方程化为这就是变量分离方程。=a,+b,f(u)dxbar(3)± 0,且 c,与 C2不同时为零。b2a2 aix+biy+ci=0a2x+b2y+c2=05代表xy平面上两条相交的直线。解以上方程组得交点（α，β）丰（O,O）（注：若(α,β)=(0,0)则得ci=C2=0为(1))作变量代换cX=x-αY=y-βdy_a,X+b,yY则方程化为为为（1）的情形，可化为变量分离方=g(dx+a,X+b,y程求解。解的步骤：（1)解方程组aix+biy+ci=0a2x+b2y+c2=0得解aBV=
分三种情况讨论： ⑴c 1 =c2=0 的情形 ( ) 2 2 1 1 2 2 1 1 x y g x y a b x y a b a x b y a x b y dx dy = + + = + + = 为齐次方程。由 1 可化为变量分离方程。 ⑵ 0, 2 2 1 1 = a b a b 的情形。设 k b b a a = = 2 1 2 1 ，则方程可改写成 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 f a x b y a x b y c k a x b y c dx dy = + + + + + = 令 u=a2x+b2y，则方程化为 ( ) a2 b2 f u dx dy = + 这就是变量分离方程。 ⑶ 0, 2 2 1 1 a b a b 且 c1与 c2不同时为零。 a1x+b1y+c1=0 a2x+b2y+c2=0 代表 xy 平面上两条相交的直线。解以上方程组得交点( , )≠(0,0)(注：若 ( , )=(0，0)则得 c1=c2=0 为(1)) 作变量代换 X=x－ Y=y－ 则方程化为为 ( ) 2 2 1 1 X Y g a X b Y a X b Y dX dY = + + = 为（1）的情形，可化为变量分离方 程求解。 解的步骤：⑴解方程组 a1x+b1y+c1=0 a2x+b2y+c2=0 得解 x= y=
(2)作变换X=XαLY=y-βdyaX+byL=g(方程化为一dxa,X+b,yXY(3)再经变换u=将以上方程化为变量分离方程X(4)求解(5)变量还原dy_x+y-1例6、求方程的通解dxx-y+3解：解方程组「x+y-1=0X-y+3=0得 x=-1,y=2dY_X+Y令x=X一1,y=Y+2代入方程得dxX-YXdu_I+u?-Y令u=，得Xdx1-u(1-u)du_dx分离变量后积分X1+u?-In (1+u")=In|x|+carctanu-2再将这些变量通个还原，整理后得原方程通解为>-2=ln /x+1)° +(y-2) +carctanx+1注：上述解题方法和步骤适用于更一般的方程类型=(*+by+）→ -(aX+b))= g(dxdxa,X+b,yax+by+c2+此外，若为= f(ax+by+c)dxyf (xy) dx+xg (xy) dy=0dy=f(xy)dxdy=邓(当)1dxx以及M(x,y)(xdx+ydy)+N(x,y)(xdy-ydx)=0（其中M,N为x,y的齐次函数，设数可以不相同）等一些类型方程。均可适当变量变换化为变量分离方程
⑵作变换 X=x－ Y=y－ 方程化为 ( ) 2 2 1 1 X Y g a X b Y a X b Y dX dY = + + = ⑶再经变换 u= X Y 将以上方程化为变量分离方程 ⑷求解 ⑸变量还原 例 6、求方程 3 1 − + + − = x y x y dx dy 的通解 解：解方程组 x＋y－1=0 X－y＋3=0 得 x=－1,y=2 令 x=X－1,y=Y+2 代入方程得 X Y X Y dX dY − + = 令 u= X Y ,得 u u dX du X − + = 1 1 2 分离变量后积分 X dX u u du = + − 2 1 (1 ) arctanu－ 2 1 ㏑(1+u2 )=㏑|x|+c 再将这些变量通个还原，整理后得原方程通解为 arctan 1 2 + − x y =㏑ 2 2 (x +1) + ( y − 2) +c 注：上述解题方法和步骤适用于更一般的方程类型 ( ) 2 2 2 1 1 1 a x b y c a x b y c f dx dy + + + + = ( ) ( ) 2 2 1 1 X Y g a X b Y a X b Y f dX dY = + + = 此外，若为 f (ax by c) dx dy = + + yf(xy)dx+xg(xy)dy=0 x 2 dx dy =f(xy) ( ) 2 x y xf dx dy = 以及 M(x,y)(xdx＋ydy)＋N(x,y)(xdy－ydx)=0 （其中 M,N 为 x,y 的齐次函数，设数可以不相同）等一些类型方程。均可适当变 量变换化为变量分离方程
例7、求方程（y+xy2)dx+(x-x2y)dy=0(y(1+xy)dx+x(1-xy)dy=0)的通解。解：令u=xy则du=xdy十ydx代入方程，整理得U(1+u)dx+(1-u)(xdu-udx)=0即2u'dx+x(1-u)du=0"-du= 2d对上式分离变量得ux1 + In |u|=In x+c即积分后得u1- In | = [=c代入原方程得通解为xyy三、应用举例例8、雪球的融化设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比例，且在融化过程中它始终为球体，该雪球在开始时的半径为6cm，经过2小时后，其半径缩小为3cm，求雪球的体积随时间变化的关系。解：设t时刻雪球的体积为 <(t)，表面积为s(t)，则=-ks()Vdt3v4:根据球体的体积（v=元R3）和表面积（s=4元R2=4元（)3）的关系得s(t)=24元1 2.21 2（4元）3333，引入新常数r=(4元）333k，2dv再利用题中的条件得-r3,v(0)=288元，v(2)=36元dt分离变量积分得方程的通解为v(t)=一(crt)327元元利用条件v（0）=288元和v（2）=36元得c=36代入得雪球体积随时，r=9V6V6间变化的关系为 v(t)=(12-31)36注：实际问题要求tE[0,4]dy_y-2x2例9、求解方程dx2xy' +xy?y2dy_ (y3)2 -2x2解：方程变为dx2xy + x?dy33(y)? -2x?即dx2xy+x?
例 7、求方程 ( ) ( ) 0 2 2 y + xy dx + x − x y dy = （y(1+xy)dx+x(1-xy)dy=0） 的通解。 解：令 u=xy 则 du=xdy＋ydx 代入方程，整理得 U(1+u)dx＋(1-u)(xdu-udx)=0 即 2u2 dx＋x(1-u)du=0 对上式分离变量得 x dx du u u 1 2 2 = − 即积分后得 u 1 ＋㏑|u|=㏑ x 2＋c 代入原方程得通解为 xy 1 －㏑| y x |=c 三、应用举例 例 8、雪球的融化 设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比例，且在融化过程中它始终为 球体，该雪球在开始时的半径为 6cm，经过 2 小时后，其半径缩小为 3cm，求雪 球的体积随时间变化的关系。 解：设 t 时刻雪球的体积为 v(t)，表面积为 s(t)，则 ( ) ( ) ks t dt dv t = − 根据球体的体积(v= 3 3 4 R )和表面积(s=4 R 2 = 3 2 ) 4 3 4 ( v )的关系得 s(t)= 3 2 3 2 3 1 (4 ) 3 v ，引入新常数 r = k 3 2 3 1 (4 ) 3 ， 再利用题中的条件得 3 2 rv dt dv = − ,v(0)=288 ,v(2)=36 分离变量积分得方程的通解为 v(t)= 27 1 (c－rt)3 利用条件 v(0)=288 和 v(2)=36 得 c=36 3 6 ，r=9 3 6 。代入得雪球体积随时 间变化的关系为 v(t)= 3 (12 3 ) 6 − t 注：实际问题要求 t∈[0,4] 例 9、求解方程 5 2 2 6 2 2 2 xy x y y x dx dy + − = 解：方程变为 3 2 2 3 2 2 2 ( ) 2 xy x y x dx y dy + − = 即 3 2 3 3 2 2 2 ( ) 2 3 xy x y x dx dy + − =
3(=)~ -63u2 -2x2dux有令u=y3=3dx2xu+x22() +1x3v2 -6dy=作变换有V+x$xdx2v+1_ 12-v-6ady即+dx2v+12v+1dv=dr分离变量12-v-6x(v—3) (v+2)"=cxc为不为零的常数积分得变量还原得：（y3—3x）(y3+2x）"=cx15
令 u=y 3 有 2( ) 1 3( ) 6 2 2 3 2 2 2 2 + − = + − = x u x u xu x u x dx du 作变换 v= x u 有 2 1 3 6 2 + − + = v v dx dv v x 即 2 1 6 2 + − − = v v v dx dv x 分离变量 x dx dv v v v = − − + 6 2 1 2 积分得 (v－3)7 (v＋2)3 =cx 5 c 为不为零的常数 变量还原得：(y3－3x)7 (y3+2x)3 =cx 15