常微分方程 §第一章绪论 §第二章一阶微分方程的初等解法 §第三章一阶微分方程的解的存在定理 §第四章高阶微分方程 §第五章线性微分方程组 §第六章非线性微分方程 §第七章一阶线性偏微分方程 《常微分方程》教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 常微分方程 §第二章 一阶微分方程的初等解法 §第三章 一阶微分方程的解的存在定理 §第四章 高阶微分方程 §第一章 绪论 §第五章 线性微分方程组 §第六章 非线性微分方程 §第七章 一阶线性偏微分方程
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 普林斯顿大学出版社把它列入“普林斯顿科学文库” 《天遇》一书是从动力系统的观点来解释混沌的，到现在 也只有大学高年级的数学系学生才能读这门课。而《天遇 》一书强调，定量的分析只能解决某些问题，像混沌和天 体力学的多体问题，定性的方法既直观又容易，它只要知 道动力系统的平衡解或不动点（注意这只要解一个非线性 代数方程组）的几何拓扑类型就可以知道该点附近的流形 （即流动的动力行为）以及几个不动点之间的整体状况（ 如同宿轨道）。《天遇》一书作者数学家霍尔姆斯把100 多年前法国著名天文学家庞加莱的贡献称为“定性时代” 开始。自然界事物都要经过生长（即伸长），消耗耗散（ 即折叠），和弯弯曲曲（即弯曲）的演化，数学家斯梅尔 称之为马蹄变换。这几种很直观的多次演化过程却产生了 像混沌一样复杂的现象。在《天遇》一书中你可以形象地 看到混沌产生的过程
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 1.常微分方程的来源 （1）几何问题 （2）物理、生物、社会等实际问题 （3）从含有变量和任意常数的多个基本的 代数关系式推出
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 常微分方程在微积分概念出现后即已出现， 1676年，莱布尼兹在给Newton（牛顿）的信中 首次提到Differential Equations（微分方程 ）这个名词。发展初期是对具体的常微分方程 希望能用初等函数或超越函数表示其解，属于 “求通解”时代（第二章内容）。leibniz曾专 门研究利用变量变换解决一阶微分方程的求解 问题，euler则试图用积分因子统一处理。 早期的常微分方程求解热潮被liouville于1841 年证明Riccati方程不存在一般的初等解而中断 。加上Cauchy初值问题的提出，常微分方程从 “求通解”时代转向“求定解”时代。解得存 在性、唯一性等性质研究；定义特殊函数，促 成微分方程解析理论的建立
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 同时由于天文计算的需要促进了常微分方 程摄动理论以及小参数、幂级数等近似方 法的研究。 19世纪末，天体力学中的太阳系稳定性问 题需要研究常微分方程的大范围性态，从 而使常微分方程的研究从“求定解”问题 转向“求所有解”的新时代。Lyapunov提 出的运动稳定性理论，用于解决方程解的 初值扰动不影响原方程解的趋向问题，在 天文、物理及工程技术中得到广泛应用
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 20世纪60年代后，常微分方程由于计算机 技术的发展迎来了新的时期，从“求所有 解”转入“求特殊解”时代，发现了具有 新性质的特殊的解和方程，如混沌解、奇 异吸引子及孤立子等科技和数学界的重大 发现
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 2.常微分方程的基础 常微分方程是从微积分中自然发展起来的 ，有了微分才能提出微分方程，通过积分 求解微分方程。因此，微积分是常微分方 程的基础。学习常微分方程首先要熟悉各 类函数的微分和积分
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 3.常微分方程对其他学科的影响 （1）是了解物理科学的基础 （2）微分方程是高等分析中大部分思想和 理论的根源，由解微分方程引出了幂级数 、傅里叶变换、特殊函数、复分析、勒贝 格积分、度量空间、算子理论、泛函分析 等。 微分方程是自然科学数学观的基础； 微分方程理论是数学科学的基本工具之一 。（阿诺尔德《常微分方程》）
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 赛蒙斯：300年来分析是数学的首要分支， 而微分方程又是分析的心脏。这是初等微 积分的天然后继课，又是为了了解物理科 学的一门最重要的数学，而且在它产生的 较深的问题中，它又是高等分析里大部分 思想和理论的根源。 【美】赛蒙斯GF.微分方程.张理京译.北京 ：人民教育出版社，1981
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 微分方程研究领域的代表人物： Bernoulli、Cauchy、 Euler 、Taylor 、 Leibniz、Poincare、Liyapunov等。 微分方程理论发展经历了三个过程：求 微分方程的解； 定性理论与稳定性理论 ；微分方程的现代分支理论