3.3解对初值的连续性和可微性定理国教学课件《常微分方程》广东第二师范学院首页结束一市可
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 3.3 解对初值的连续性和可微性定理
内容提要解对初值的连续性S解对初值的可微性本节要求：1了解解对初值及参数的连续依赖性定理：2了解解对初值及参数的可微性定理。教学课件《常微分方程》广东第二师范学院结束首页一市二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 ➢ 解对初值的连续性 ➢ 解对初值的可微性 本节要求： 1 了解解对初值及参数的连续依赖性定理； 2 了解解对初值及参数的可微性定理。 内容提要 2
一个很重要的问题当初值发生变化时，对应的解是怎样变化的？大家知道，很多自然现象的研究，都可以归结为求某些微分方程满足其初值的解，但是这些初值是要通过实验来测定的，因此所得到的数据总会有些误差，如果所测定的初始值的微小误差R引起相应解产生巨大的变化，那么在有些问题上所求的初值问颠的解在实用上就不会有多大的价值。所以，实际应用上经常要求，在所研究的现象的某个有限过程中，当初值变化不大时，相应的解变化不大。7教学课件《常微分方程》广东第二师范学院结束首页一市面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 一个很重要的问题： 当初值发生变化时，对应的解是怎样变化的？ 大家知道，很多自然现象的研究，都可以归结为求某些微分 方程满足其初值的解，但是这些初值是要通过实验来测定的，因 此所得到的数据总会有些误差，如果所测定的初始值的微小误差 引起相应解产生巨大的变化，那么在有些问题上所求的初值问题 的解在实用上就不会有多大的价值。所以，实际应用上经常要求 ，在所研究的现象的某个有限过程中，当初值变化不大时，相应 的解变化不大
少= f(x,y), (x,y)eGc R?考察(1)y(xo)=yo的解=(x,xo,)对初值的一些基本性质内容：解对初值的连续性解对初值和参数的连续性解对初值的可微性A教学课件《常微分方程》广东第二师范学院上一页结束首页二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 2 0 0 ( , ) , ( , ) (1) ( ) dy f x y dx x y G R y x y = = 考察 的解 y x x y =( , , ) 0 0 对初值的一些基本性质 解对初值的连续性 解对初值和参数的连续性 解对初值的可微性 内容:
y=(xxo,Jo)81e19图例分析（见右）R(0)dyf(xy)dx(x,y)EGCR2y(xo)=yo解可()初值问题的解不单依赖于自变量的o(x,xo.yo)同时也依赖于初值(Xo,J0)满初值变动，相应的初值问题的解也将随之变动前提解对初值旧Yo=0xo解存在唯Q：当初值发生变化时，对应的解是如何变化的？当初始值微小变动时，方程的解变化是否也是很小呢？1A教学课件《常微分方程》广东第二师范学院首页上市结束
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 y x G 0 0 ( , ) x y 0 0 y x x y =( , , ) 0 0 ( , ) x y 0 0 y x x y =( , , ) 图例分析(见右) 2 0 0 ( , ) , ( , ) ( ) dy f x y dx x y G R y x y = = 解可看成是关于 0 0 x x y , , 的三元函数 0 0 y x x y =( , , ) 满足 0 0 0 0 y x x y =( , , ) 1 1 ( , ) x y 解对初值的对称性: 0 0 y x x y =( , , ) 0 0 y x x y =( , , ) 前提 解存在唯一 例: 0 0 0 0 ( ) x x dy y dx y y e y x y = − = = 初值问题的解不单依赖于自变量 , 同时也依赖于初值 . 初值变动,相应的初值问题的解也将随之变动. . 0 0 ( , ) x y x Q:当初值发生变化时,对应的解是如何变化的? 当初始值微小变动时,方程的解变化是否也是很小呢？
由(3.1)满足y(x）=yo的解存在区间内任取一值x，证明y=p(xi,xo,y),则由解的唯一性知(3.1)过点(x，）与过点(xo,y）的解是同一条积分曲线即此解也可写成：y=p(x,X,y)且显然有：yo=0(xo,Xi,y)由于点(x，）是积分曲线上任一点因此关系式y=pxo,xy)对该积分曲线上任意点(xy)均成立A二《常微分方程》教学课件广东第二师范学院结束首页一市
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 证明 (3.1) ( ) , 0 0 1 由 满足y x = y 的解存在区间内任取一值x ( , , ), 1 1 0 0 y = x x y 则由解的唯一性知, (3.1) ( , ) ( , ) , 过点 x1 y1 与过点 x0 y0 的解是同一条积分曲线 即此解也可写成: ( , , ), 1 1 y = x x y 且显然有: ( , , ), 0 0 1 1 y = x x y ( , ) , 由于点 x1 y1 是积分曲线上任一点 x y 。 y x x y 点 均成立 因此关系式 对该积分曲线上任意 ( , ) ( , , ) 0 = 0
按解的存在范围是否有限，又分成下面两个问题(x的）Q1解在某有限闭区间[a,b]上有定义，讨论初值微小变化对解的影响情况，称为解对初值的连续性.内容包括：当初值发生小的变化时，所得到的解是否仍在[a,b]上有定义以及解在整个区间[a.bl上是否也变化很小？解在某个无限闭区间「a,+b有定义，讨论初值Q2:(xo,yo)的微小变化是否仍有解在E【α.+h有定义，且解在整个区间[a,+上变化也很小?这种问题称为解的稳定性问题，将在第六章中讨论A《常微分方程》教学课件广东第二师范学院L结束首页一市二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 按解的存在范围是否有限,又分成下面两个问题: Q1:解在某有限闭区间[a,b]上有定义,讨论初值 的 微小变化对解的影响情况,称为解对初值的连续性.内容 包括:当初值发生小的变化时,所得到的解是否仍在[a,b] 上有定义以及解在整个区间[a,b]上是否也变化很小? 0 0 ( , ) x y Q2:解在某个无限闭区间 上有定义,讨论初值 的微小变化是否仍有解在 上有定义,且解在整个 区间 上变化也很小?这种问题称为解的稳定性 问题,将在第六章中讨论. 0 0 [ , ) a + ( , ) x y [ , ) a + [ , ) a +
解对初值的连续性0-11.解对初值的连续依赖性定义设初值问题=f(x,y)(3.1)(xo)=yo的解y=p(x,xo,y)在区间[a,b]上存在如果对V>0,3S=(,a,b)>0,使得对于满足(xo-x0)+(-y0)~≤82的一切(xo,),A1《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页上一真结束二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 一 解对初值的连续性 定义 设初值问题 , (3.1) ( ) ( , ) 0 0 = = y x y f x y dx dy ( , , ) [ , ] , 的解y = x x0 y0 在区间 a b 上存在 如果对 0, =(,a,b) 0,使得对于满足 2 2 0 0 2 0 0 (x − x ) +(y − y ) ( , ), 0 0 的一切 x y 1.解对初值的连续依赖性
初值问题业小= f(x,y)(3.1)y(xo)=yo的解y=(x,xo,yo)都在区间[a,b]上存在,并且0(x, Xo, yo)-(x, xo, yo)<s, xe[a,b]则称初值问题(3.1)的解y=(x,xo,yo)在点(xo,y）连续依赖于初值（xoy）A7《常微分方程》教学课件广东第二师范学院结束首页一市二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 的解y =(x, x0 , y0 )都在区间[a,b]上存在,并且 ( , , ) ( , , ) , [ , ] x x0 y0 − x x0 y0 x a b ( , ). (3.1) ( , , ) ( , ) 0 0 0 0 0 0 ' x y y x x y x y 连续依赖于初值 则称初值问题 的解 = 在点 ' 0 0 , (3.1) ( ) ( , ) = = y x y f x y dx dy 初值问题
引理如果函数f（天某域G内连续，且关于满足利普希茨d的任(x,y)条件（利普希茨常数为L），则对方程dx意两个解（及业在密们的公共存在区间内成立着不等式 [o(x)-y(x)|≤[(x0),其中 所考虑Xo区间内的某一值。设o(x）y(x）在区间[a,b]上均有定义，令证明V(x) =(g(x)-y(x),xe[a,b)则V (x)=2(p(x)-y(x)(@ (x)-y (x)=2(p(x)-y(x) (f(x, p(x))=f(x,y(x))《常微分方程》教学课件广东第二师范学院T首页结束
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 引理 如果函数 于某域G内连续，且关于 y 满足利普希茨 条件（利普希茨常数为L），则对方程 的任 意两个解 及 ,在它们的公共存在区间内成立着不 等式 .其中 为所考虑 区间内的某一值。 f x y ( , ) ( , ) dy f x y dx = ( ) x ( ) x 0 x 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) L x x x x x x e − − − 证明 设(x),(x)在区间[a,b]上均有定义,令 ( ) ( ( ) ( )) , [ , ] 2 V x = x − x x a b ( ) = ' V x 则 = 2((x) − (x)) 2((x) − (x))( ( ) ( )) ' ' x − x ( f (x,(x)) − f (x, (x))