第四章高阶微分方程教学目的本章主要讨论线性微分方程的基本理论，常数变易法，常系数线性方程的解，高阶微分方程的降阶以及二阶线性方程的幕级数解法教学要求掌握线性微分方程的基本理论和常系数线性方程的解法，会把高阶微分方程降阶以及会用幂级数解法解某些二阶线性方程教学重点齐次和非齐次线性微分方程的解性质与结构：常数变易思想；常系数齐次线性方程的特征根法和待定系数法：高阶可积类型的解法：幂级数解法教学难点函数的线性相关性：Wronsky行列式的定义及其性质：特征根法和待定系数法；幕级数解法教学方法讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。教学手段传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。课题导入在第二章介绍了一阶微分方程的解法，在实际应用中，还常常遇到高阶微分方程，本章我们将介绍高阶微分方程的求解方法和理论，在微分方程的理论中，线性微分方程的理论占有非常重要的地位，这不仅是线性微分方程最简单，它的一般理论已被研究得十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础。本章重点介绍线性微分方程的基本理论和常系数方程的解法，对于高阶方程的降阶问题和二阶线性方程的幂级数解法也作简单介绍。线性微分方程的一般理论$4.1教学目的本章主要讨论线性微分方程的基本理论，常数变易法。教学要求掌握线性微分方程的基本理论和常系数线性方程的解法。教学重点
第四章 高阶微分方程 教学目的 本章主要讨论线性微分方程的基本理论，常数变易法，常系数线性方程的解，高阶微 分方程的降阶以及二阶线性方程的幂级数解法 教学要求 掌握线性微分方程的基本理论和常系数线性方程的解法，会把高阶微分方程降阶以 及会用幂级数解法解某些二阶线性方程 教学重点 齐次和非齐次线性微分方程的解性质与结构；常数变易思想；常系数齐次线性方程的特 征根法和待定系数法；高阶可积类型的解法；幂级数解法 教学难点 函数的线性相关性；Wronsky 行列式的定义及其性质；特征根法和待定系数法；幂级数 解法 教学方法 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 教学手段 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 课题导入 在第二章介绍了一阶微分方程的解法,在实际应用中，还常常遇到高阶微分方程，本章 我们将介绍高阶微分方程的求解方法和理论，在微分方程的理论中，线性微分方程的理论占 有非常重要的地位，这不仅是线性微分方程最简单，它的一般理论已被研究得十分清楚，而 且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础。本章重点介绍线性微分方程的基本理论和常 系数方程的解法，对于高阶方程的降阶问题和二阶线性方程的幂级数解法也作简单介绍。 § 4.1 线性微分方程的一般理论 教学目的 本章主要讨论线性微分方程的基本理论，常数变易法。 教学要求 掌握线性微分方程的基本理论和常系数线性方程的解法。 教学重点
齐次和非齐次线性微分方程的解性质与结构：常数变易思想教学难点函数的线性相关性；Wronsky行列式的定义及其性质。教学方法讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。教学手段传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。线性微分方程是常微分方程中一类很重要的方程，它的理论发展十分完善，本节将介绍它的基本理论。一，线性微分方程的有关概念1．我们将未知函数x及其各阶导数，.d"均为一次的n阶微分方程称为n线性微dt"dt"方程，它的一般形式为：dn-lxd"xdx(4.1)+a(t).+an-(t)+a,(t)=f(t)din-1dt"dt其中a,(t)i=1,2,n)及f(t)都是区间a≤t≤b上的连续函数,如果f(t)=0,则方程(4.1)变为d"-'xd"xdx+a()..+a-(t)+a,(t)=0(4.2)din-idt"di我们称(4.2)为n阶齐线性方程,简称齐线性方程,而称(4.1)为非齐线性微分方程,简称非齐线性方程且通常把(4.2)叫对应于(4.1)的齐线性方程如下面4个方程是线性微分方程2d'x+dx+(t2-n2)x=0,(n为常数)dt?dtd'x2dx+3x =0dt?dt12d2xdx+azx=f(x)(a,a,为常数)+atdt?dtd'x+4x=sint(dt?前两个是齐次的后两个是非齐次的同一阶方程一样，高阶方程也有着是否有解和解是否惟一的问题因此作为讨论的基础，下面我们将给出方程(4.1)的解的存在惟一性定理,其证明将在下一章讲述线性方程组有关定理时给出定理1.如果a,(t)(i=1,2,n)及f(t)都是区间a≤t≤b上的连续函数,则对于任一
齐次和非齐次线性微分方程的解性质与结构；常数变易思想。 教学难点 函数的线性相关性；Wronsky 行列式的定义及其性质。 教学方法 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 教学手段 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 线性微分方程是常微分方程中一类很重要的方程，它的理论发展十分完善，本节将介绍 它的基本理论。 一．线性微分方程的有关概念 1．我们将未知函数 x 及其各阶导数 dt dx k ,., n n dt d x 均为一次的 n 阶微分方程称为 n 线性微 方程，它的一般形式为： + + − − 1 1 1 ( ) n n n n dt d x a t dt d x . ( ) ( ) ( ) 1 a t f t dt dx a t + n− + n = （4.1） 其中 a (t)(i = 1,2, i . n) 及 f (t) 都是区间 a t b 上的连续函数,如果 f (t) 0 ,则方程 (4.1)变为 + + − − 1 1 1 ( ) n n n n dt d x a t dt d x . + −1 ( ) + a (t) = 0 dt dx a t n n (4.2) 我们称(4.2)为 n 阶齐线性方程,简称齐线性方程,而称(4.1)为非齐线性微分方程,简称非齐线 性方程,且通常把(4.2)叫对应于(4.1)的齐线性方程. 如下面 4 个方程是线性微分方程 + = + + = + + = + + − = x t dt d x a x f x a a dt dx a t dt d x t x dt dx dt d x t n x n dt dx t dt d x t 4 sin ( ),( , ) 2 3 0 ( ) 0,( ) 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 为常数 为常数 前两个是齐次的,后两个是非齐次的. 同一阶方程一样,高阶方程也有着是否有解和解是否惟一的问题,因此作为讨论的基础,下面 我们将给出方程(4.1)的解的存在惟一性定理,其证明将在下一章讲述线性方程组有关定理时 给出. 定理 1.如果 a (t)(i = 1,2, i . n) 及 f (t) 都是区间 a t b 上的连续函数,则对于任一
(--I),方程(4.1)存在惟一解x=p(t),定义在区间te[a,b]及任意的xo,xaa≤t≤b上，且满足初始条件d"-lp(to)dp(to) = x",= x(n-l)p(to)= xo,..dt"-1dt从这个定理可看出，初始条件唯一确定了方程(4.1)的解，而且这个解在所有a,(t)(i=l,2,n)及f(t)连续的区间a≤t≤b上有定义二.齐次线性方程解的性质和结构首先我们讲述齐次线性方程d"xd"-lxdx+a,(t)+.+a--(t)+a,(t)=0(4.2)dtn-I +dt"dt的一般理论.假设(4.2)系数a,(t)(i=1,2,n)在a≤t≤b上连续1.定理2(叠加原理)如果x,(t),x,(t),..,x()是方程(4.2)的k个解,则它们的线性组合Cjx(t)+C2x2(t)+..+Cnx,(t)也是方程(4.2)的解,这是ci,C2..,C,是任常数Proof:因为x,(l)是(4.2)的解,故有d"-"x,(t)d"x,(t)+a,(t)i=1,2,..,k...+a.(t)x,(t)=0dt "-1dt "-!上面k个等式第i个后相加，依据微分的性质有d"x(t),d"-x(t)+a()+...+a,(t)x=0dt"-!di"-x(t)=cx(t)+...+cx(t)故cx(t)+..+Cx(t)为(4.2)的解例1.验证sint,cost,p(t)=csint+c,cost是方程x"+x=O的解解：分别将sint,cost,gp(t)代入方程x"+x=0.我们有(sin t)"+ sin t = 0(cost)"+cost =0p"(t)+p(t)=c[(sin t)"+sint]+c[(cost)"+cost]= 0所以sint,cost,p(t)都是该方程的解在定理2中,若
( 1) 0 (1) 0 0 [ , ] , , , − n t a b 及任意的x x x , 方 程 (4.1) 存在惟一解 x =(t),定义在 区 间 a t b 上, 且满足初始条件: ( 1) 1 0 0 1 (1) 0 0 0 0 ( ) , , ( ) ( ) , − − − = = = n n n x dt d t x dt d t t x 从这个定理可看出 , 初 始 条件 唯 一 确定 了 方 程(4.1) 的 解 , 而且 这 个 解在所有 a (t)(i = 1,2, i . n) 及 f (t) 连续的区间 a t b 上有定义. 二.齐次线性方程解的性质和结构. 首先我们讲述齐次线性方程 + + − − 1 1 1 ( ) n n n n dt d x a t dt d x . + −1 ( ) + a (t) = 0 dt dx a t n n (4.2) 的一般理论.假设(4.2)系数 a (t)(i = 1,2, i . n) 在 a t b 上连续. 1.定理 2(叠加原理)如果 ( ), ( ), , ( ) 1 x t x t x t i k 是方程(4.2)的 k 个解,则它们的线性组合 ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 c x t c x t c x t + ++ n n 也是方程(4.2)的解,这是 c1 ,c2 ,,cn是任常数 Proof: 因为 xi (t)是(4.2)的解,故有 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 + 1 ++ = − − − a t x t dt d x t a t dt d x t n n i i n n i n i = 1,2,, k 上面 k 个等式第 i 个后相加,依据微分的性质有 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 + 1 ++ = − − − a t x dt d x t a t dt d x t n n n n n ( ) ( ) ( ) 1 1 x t c x t c x t = ++ k k 故 ( ) ( ) 1 1 c x t c x t ++ k k 为(4.2)的解. 例 1.验证 sin t,cost,(t) = c1 sin t + c2 cost是方程x + x = 0的解 解:分别将 sin t,cost,(t)代入方程x + x = 0 .我们有 sin ,cos , ( ) . ( ) ( ) [(sin ) sin ] [(cos ) cos ] 0 (cos ) cos 0 (sin ) sin 0 1 2 所以 t t t 都是该方程的解 t t c t t c t t t t t t + = + + + = + = + = 在定理 2 中,若
k=n,即n阶方程(4.2)有关n个解x,(0),x2(1)..x,(t),则由定理2知c,x,(t)也是(4.2)的解,它含有n个c=任意常数,反过来,如果方程(4.2)的任意一个解β(t)都可表为0(0)=Zcx,(0)(4.4)i=l即(4.4)上方程(4.2)的通解.自然,我们关心的是x(),x(t)...x,(t)在什么情况下能够使(4.4)为方程的通解.为回答这个问题，我们首先介绍函数组在已知区间上线性相关和线性无关及Wronskian行列式的概念2.函数线性相关性定义，定义在区间[a,b]上的函数x;(t),x2(t)...x(t),如果存在不全为零的常数C....使得Gx(t)+C2X2(t)+..+Cxxx(t)=0在[α,b]上恒成立,我们称这些函数线性相关的,否则称这些函数线性无关如cost,sint任何区间线性无关，但sint,cost-1在任何区间线性相关又如函数1,t,t2..,"在任何区间上都是线性无关的,因为恒等式Co+cit+C2t?+...+Cht"=0(4.5)只有当所有的c,=0(i=0,1...,n)时才成立如果至少一个c,±0,则(4.5)工的左端是一个不高于n次的多项式,它至多有n个不同的根,因此,它在所考虑的区间上不能有多于n个零点，更不可能恒为零注1,在函数组x,(t),x(0)...x,()中,如果有一个函数,如x(0)在[a,b]上恒等于零，则x(t),x2(t)...x(t)在[a,b]上线性相关注,函数组的线性无关性依赖于所取的区间,如x,(t)=4,和xz(t)=t在区间(-c0,+)上是线性无关，但在（一00,0）相关的下面我们来建立线性相关和线性无关的判别法则，为此先引进3.Wronskian行列式定义.由定义在[a,b]上k个可微k-1次的函数x,(),x,(t)...x(t)所作成的行列式
= = 1 1 2 , (4.2) ( ), ( ) ( ), 2 ( ) (4.2) , c k n 即n阶方程 有关n个解x t x t xn t 则由定理 知 ci xi t 也是 的解 它含有n个 任意常数,反过来,如果方程(4.2)的任意一个解 (t) 都可表为 = = 1 ( ) ( ) i i i t c x t (4.4) 即(4.4)上方程(4.2)的通解.自然,我们关心的是 ( ), ( ) ( ) 1 2 x t x t x t n 在什么情况下能够使(4.4) 为方程的通解.为回答这个问题,我们首先介绍函数组在已知区间上线性相关和线性无关及 Wronskian 行列式的概念. 2.函数线性相关性 定 义 , 定义在区间 [a,b] 上的函数 ( ), ( ) ( ) 1 2 x t x t x t k , 如果 存 在 不全 为 零的常数 k c ,c , ,c 1 2 使得 c1 x1 (t) + c2 x2 (t) ++ ck xk (t) 0 在 [a,b] 上恒成立,我们称这些函数线性相关的,否则称这些函数线性无关. 如: cost,sin t 任何区间线性无关,但 sin ,cos 1 2 2 t t − 在任何区间线性相关 又如函数 n 1,t,t , ,t 2 在任何区间上都是线性无关的,因为恒等式 0 2 0 + 1 + 2 ++ n n c c t c t c t (4.5) 只有当所有的 = 0( = 0,1,, ) . 0, i i c i n 时才成立如果至少一个c 则(4.5)工的左端是一个 不高于 n 次的多项式,它至多有 n 个不同的根,因此,它在所考虑的区间上不能有多于 n 个零 点,更不可能恒为零. 注 1,在函数组 ( ), ( ) ( ) 1 2 x t x t x t k 中,如果有一个函数,如 x (t) k 在 [a,b] 上恒等 于零, 则 ( ), ( ) ( ) 1 2 x t x t x t k 在 [a,b] 上线性相关. 注,函数组的线性无关性依赖于所取的区间,如 x (t) = t , x (t) = t 1 和 2 在区间 (−,+) 上是 线性无关,但在 (−,0) 相关的. 下面我们来建立线性相关和线性无关的判别法则,为此先引进 3.Wronskian 行列式 定义.由定义在 [a,b] 上 k 个可微 k-1 次的函数 ( ), ( ) ( ) 1 2 x t x t x t k 所作成的行列式
x(t)x2(t)X(t)x(t)x:(t)x(0)W[x,(t),x,(t)...x(t)] =x(-)() x(4-(1) .. x(-1(0|称为这些函数的Wronskian行列式,也写作W(t)4.定理3.若函数x,(t),x,(t)...x,()在区间a≤t0,而当t≥0时,又推得c=0,故x(t),x(t)在（-0,+）上是线性无关的推论.如果函数组x,(t),x,(t)...x,(t)的Wronskian行列式在区间[a,b]上某点t。处不等于零，即W（t.）±0,则该函数组在该区间上线性无关。应该指出，如果函数组x(t),x2(t)...x,(t)是齐次方程的n个解，此时，它的Wronskian行列式等于零将成为该组在[α,b]上线性相关的充要条件。这可由下面定理推出
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ), ( ) ( )] ( 1) ( 1) 2 ( 1) 1 1 2 1 2 1 2 x t x t x t x t x t x t x t x t x t W x t x t x t k k k k k k k − − − 称为这些函数的 Wronskian 行列式,也写作 W(t). 4.定理 3. 若函数 ( ), ( ) ( ) 1 2 x t x t x t n 在区间 a t b 上线性相关,则在 [a,b] 上 它们的 Wronskian 行列式 W (t) 0 Proof: 由假设可知存在一组不全为零的常数 n c ,c , ,c 1 2 使得 c1 x1 (t) + c2 x2 (t) ++ cn xn (t) 0 , t [a,b] 依次将此恒等式对 t 微分,得到 n 个恒等式 + ++ + ++ + ++ − − − ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( 1) ( 1) 2 2 ( 1) 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t n n n n n n n n n 上述方程组是关于 n c ,c , ,c 1 2 的齐次方程组,它的系数行列式就是 Wronskian 行列式 W (t) , 由线性代数理论知,要使方程组存在非零解,则它的系数行列式必为零,即 W (t) = 0 注 1 定理 3 的逆不成立 如函数 = 0, 0 0 ( ) 2 1 t t t x t = 0 0 0 ( ) 2 2 t t t x t 显然,对所有的 t ,恒有 W[x1 (t), x2 (t)] = 0,但x1 (t), x2 (t)在 (−,+) 上却都是线性无关的. 事实上,假设存在恒等式 c1 x1 (t) + c2 x2 (t) 0 则当 t 0时,推得c2 0,而当t 0时,又推得c1 = 0,故 ( ), ( ) 1 2 x t x t 在 (−,+) 上是线性 无关的. 推论.如果函数组 ( ), ( ) ( ) 1 2 x t x t x t n 的 Wronskian 行列式在区间 [a,b] 上某点 0 t 处不等于零, 即 W(t 0 ) 0,则该函数组在该区间上线性无关。 应该指出，如果函数组 ( ), ( ) ( ) 1 2 x t x t x t n 是齐次方程的 n 个解，此时，它的 Wronskian 行列式等于零将成为该组在 [a,b] 上线性相关的充要条件。这可由下面定理推出
5.定理4，如果定理（4.2）的解x(t),x(t)...x,(t)在区间a≤t≤b上线性无关，则W[x,(t),xz(t)...x,(t))在这个区间的任何点上都不等于零,即W(t。)+0(a≤t≤b)Proof“反证”没有某个to,a≤t。≤b,使得W(to）=O，考虑关于c,C2...C,的齐次线性方程组[c,x(0)+c2x2(t)+...+c,x,(t)=0cx(t)+cx(t)+...+c,x(t)=0Cx(n-l) ()+C2x/n-l (t)+... + C,x(n-l) (t) = 0其系数行列式W(t。）=0，故它有非零解c,C2c,，现以这组常数构造函数a≤t≤bx(t)=Cx()+cx()+...+c,x,()由定理2知，x(t)是方程（4.2）的解,又因为x(to)=Cx(to)+C2x2(to)+...+Cnx,(to)=0x(to)=Cix(to)+C2x2(to)+...+cnx,(to)= 0x(a-l) (to) = C,x("-I (to)+ C2x"-)(to)+...+c,x("-1)(t0) = 0这表明这个解x(t)满足初始条件X(t0)= x(t)=...= x(n-1)(to)=0(4.10)但是x(0）=0显然也是方程(4.2)满足初始条件(4.10)的解.由解惟一性定理知a≤t≤bx(t)=cx,(t)+c2x2(t)+...+c,x,()=0因为Ci,C2...,C不全为零.这与x(t),x2(t)...x,(t)线性无关相矛盾。由定理4易得下面结论
5．定理 4，如果定理（4.2）的解 ( ), ( ) ( ) 1 2 x t x t x t n 在区间 a t b 上线性 无关, 则 [ ( ), ( ) ( )] 1 2 W x t x t x t n 在这个区间的任何点上都不等于零,即 W(t 0 ) 0 ( a t b ). Proof:“反证”没有某个 , 0 t a t 0 b ,使得 W(t 0 ) = 0 ，考虑关于 n c ,c , ,c 1 2 的齐次线性方 程组 + ++ + ++ + ++ − − − ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( 1) ( 1) 2 2 ( 1) 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t n n n n n n n n n 其系数行列式 W(t 0 ) = 0 ，故它有非零解 n c ,c , ,c 1 2 ，现以这组常数构造函数 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 x t c x t c x t c x t = + ++ n n a t b 由定理 2 知， x(t) 是方程（4.2）的解,又因为 = + ++ = = + ++ = = + ++ = − − − − ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 ( 1) 0 ( 1) 0 2 2 ( 1) 0 1 1 ( 1) 0 1 1 0 2 2 0 0 0 1 1 0 2 2 0 0 x t c x t c x t c x t x t c x t c x t c x t x t c x t c x t c x t n n n n n n n n n n 这表明这个解 x(t) 满足初始条件 ( ) ( ) ( 0 ) 0 ( 1) 0 = 0 = = = − x t x t x t n (4.10) 但是 x(t) = 0 显然也是方程(4.2)满足初始条件(4.10)的解,由解惟一性定理知 x(t) c1 x1 (t) + c2 x2 (t) ++ cn xn (t) 0 a t b 因为 n c ,c , ,c 1 2 不全为零.这与 ( ), ( ) ( ) 1 2 x t x t x t n 线性无关相矛盾。 由定理 4 易得下面结论
推论1.设x,(t),x,(t)...x,(t)是方程(4.2)在区间a≤t≤b上的n个解,如果存在t。E[a,b]使W(t.）=o,则该组解在a≤t≤b上线性相关推论2.方程(4.2)的n个解x;(t),x2(t)..x,(t)在区间a≤t≤b上线性无关的充要条件是存在t。=[a,b]使W(t.)±0由上述结论知,由方程(4.2)的n个解构成的Wronskian行列式,或者恒为零,或者在方程的系内为连续区间上处处不等于零由定理1知,方程(4.2)满足初始条件x,(to) = 1,x;(to) = 0,..,x(n-l)(to) = 0x2(to)=0,x(t)=1,,x("-(t)= 0,(to) = 0,x(to) = 0,..., x(n-1)(to)=1的解x,(t),xz(t)...x,(t)一定存在,又因为W[x(),x,(t)...x,(t)) =1 0故由定理4知，这几个解一定线性无关，由此即得下面的定理56.定理5，n阶线性方程（4.2)一定存在n个线性无关的解7.通解的结构定理6.如果x,(),x,(0)...x,()是方程(4.2)的n个线性无关的解,则方程(4.2)的通解可表为：(4.11)x=Cx,(t)+C,x(t)+...+C,x,(t)其中cj,C2,.,C,是任意常数,且通解(4.11)包含了方程(4.2)的所有解Proof:首先由叠加原理知，（4.11）是(4.2)的解,它包含有n个任意常数,由于
推论 1.设 ( ), ( ) ( ) 1 2 x t x t x t n 是方程(4.2)在区间 a t b 上的 n 个解,如果存在 [ , ] t 0 a b 使 W(t 0 ) = 0,则该组解在 a t b 上线性相关. 推论 2. 方程(4.2)的 n 个解 ( ), ( ) ( ) 1 2 x t x t x t n 在区间 a t b 上线性无关的充要条件是 存在 [ , ] t 0 a b 使 W(t 0 ) 0. 由上述结论知,由方程(4.2)的 n 个解构成的 Wronskian 行列式,或者恒为零,或者在方程的系内 为连续区间上处处不等于零. 由定理 1 知,方程(4.2)满足初始条件. = = = = = = = = = − − − ( ) 0, ( ) 0, , ( ) 1 ( ) 0 ( ) 1, , ( ) 0 ( ) 1, ( ) 0, , ( ) 0 0 ( 1) 0 0 0 ( 1) 2 0 1 2 0 2 0 ( 1) 1 0 1 0 1 x t x t x t x t x t x t x t x t x t n n n n n n 的解 ( ), ( ) ( ) 1 2 x t x t x t n 一定存在,又因为 W[x1 (t), x2 (t)xn (t)] = 1 0 故由定理 4 知,这几个解一定线性无关,由此即得下面的定理 5 6.定理 5, n 阶线性方程(4.2)一定存在 n 个线性无关的解. 7.通解的结构 定理 6. 如果 ( ), ( ) ( ) 1 2 x t x t x t n 是方程(4.2)的 n 个线性无关的解,则方程(4.2)的通解可表 为: ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 x c x t c x t c x t = + ++ n n (4.11) 其中 n c ,c , ,c 1 2 是任意常数,且通解(4.11)包含了方程(4.2)的所有解. Proof: 首先由叠加原理知，（4.11）是(4.2)的解,它包含有 n 个任意常数,由于
axaxaxac,ac,[axax'ac,ac.a≤t≤bac2=W[x(),x(t)...x,(0]0ariarioar(oc,acnac2因而这些常数Ci,C2…..C,是彼此独立的,因而(4.11)为(4.2)的通解对方程(4.2)的任一解x(t),且满足初始条件x(to) = Xo.x(to) = xo.., x(n-1)(to) = x(n-1)考虑方程组cx,(to)+C2x2(to)+...+C,x,(to)=XoCx(to)+c,x(to)+...+c,x'(to)=xC,x(n-1)(to)+C,x(n-I)(to)+.. +C,r(n-1) (t) = x(n-l)由它的系数行列式就是W(t。）,由定理4知W(to）+0因而上面方程组有惟一解Ci,C2,,C,.以这组常数构造p(t)=c,x,(),则p(t)是(4.2)的iel解,且有p(t）=xo,p(to)=x..,p(n-1)(to)=x(n-1)由解的一性定理得p(t)=x(t),即x(0) =Zc,x;(t)i=l②推论：方程(4.2)的线性无关解的最大个数等于n，因此可得结论：n阶齐线性方程的所有解构成一个n维空间③基本解组：方程(4.2)的一组n个线性无关解称为方程的一个基本解组注：基本解组不是唯一的例子．设x,(t)(i=1,2.,n)是线性方程(4.2)的任意n个解,它们所构成的Wronskian行列式
[ 1 ( ), 2 ( ) ( )] 0 1) 2 1) 1 1) 1 2 1 2 − − − W x t x t x t c x c x c x c x c x c x c x c x c x n n n n n n n （ （ （ a t b 因而这些常数 n c ,c , ,c 1 2 是彼此独立的,因而(4.11)为(4.2)的通解. 对方程(4.2)的任一解 x(t),且满足初始条件 ( 1) 0 0 ( 1) 0 0 0 0 ( ) , ( ) , , ( ) − − = = = n n x t x x t x x t x 考虑方程组 + ++ = + ++ = + ++ = − − − ( −1) 0 0 ( 1) 0 ( 1) 0 2 2 ( 1) 1 1 1 1 0 2 2 0 0 0 1 1 0 2 2 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n n n n n c x t c x t c x t x c x t c x t c x t x c x t c x t c x t x 由它的系数行列式就是 ( ) 0 W t ,由定理 4 知 W(t 0 ) 0 因而上面方程组有惟一解 n c ,c , ,c 1 2 .以这组常数构造 = = 1 ( ) ( ) i i i t c x t ,则 (t) 是(4.2)的 解,且有 ( 1) 0 0 ( 1) 0 0 0 0 ( ) , ( ) , , ( ) − − = = = n n t x t x t x ,由解的惟一性定理得 (t) = x(t) ,即 = = 1 ( ) ( ) i i i x t c x t . ②推论: 方程(4.2)的线性无关解的最大个数等于 n ,因此可得结论: n 阶齐线性方程的所有 解构成一个 n 维空间. ③基本解组: 方程(4.2)的一组 n 个线性无关解称为方程的一个基本解组. 注: 基本解组不是唯一的. 例子. 设 x (t)(i 1,2, ,n) i = 是线性方程(4.2)的任意 n 个解,它们所构成的 Wronskian 行列式
W为W(t)，试证明W(t)满足一阶线性方程W'(t)+a,(t)W(t) =0因而有W(0) = W(10)e-l.a(0)ds,to,te(a,b)Proof:由于x;(0)x2(t)x(t)x(t)x:()x(0).W(t) =x(r-1) (0)x(n"-l)(t)x(n-1) (t)微分上述行列式，得：x(0)x2(t)x(0)x(0)x(t)x(t)dw(t)dtx(a-2) (1)(n=2) (0)x(n-2)(t)1x("(0)x((t)..x(m (t)分别以a,),a.-().,a,()乘上上述行列式的第一行，第二行，…，第n-1行元素，再将它们分别加到最后一行上去，这时，行列式最后一行的元素是x(n)(t)+a,(t)x(n-2)(t)+...+an--(t)x(t)+a,(t)x(t),k =1,2,..,n由于x(t),x(t)...x.(t)均是方程(4.2)的解，故可得x(n)(t)+a,(t)x(n-2)(t) +...+a,(t)x (t)= -a, (t)x(n-1)(t), k = 1,2,..,nx,(t)x,(t)X(0)...x;(t)x:(1)x(0)...dw(t)则=-a (t)W(t)dtx(n-2) (0)x(g-2)(0)x(n-2) (0)-a,(t)x(n-l (t)-a,(t)x(n-)(t))...-a,(t)x(n-l(t)
W为W(t) ,试证明 W (t) 满足一阶线性方程 W(t) + a1 (t)W(t) = 0 因而有 ( ) ( ) , , ( , ) 0 ( ) 0 0 1 W t W t e t t a b t T a s ds = − Proof: 由于 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) 2 ( 1) 1 1 2 1 2 x t x t x t x t x t x t x t x t x t W t n n n n k k − − − = 微分上述行列式，得： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2) ( ) 2 ( 2) 2 ( ) 1 ( 2) 1 1 2 1 2 x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t dt dW t n n n n n n n n k k − − − = 分别以 ( ), ( ), , ( ) 1 2 a t a t a t n n− 乘上上述行列式的第一行，第二行，.，第 n −1 行元 素,再将它们分别加到最后一行上去,这时,行列式最后一行的元素是: x t a t x t an t xk t an t xk t k n n k n k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 1,2, , 1 ( 2) 2 ( ) + − ++ − + = 由于 ( ), ( ) ( ) 1 2 x t x t x t n 均是方程(4.2)的解,故可得 x t a t x t a t x t a t x t k n n n k n k n k n k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 1,2, , ( 2) ( 1) 2 ( ) + − ++ − − = 则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 1) 1 ( 2) ( 1) 1 2 ( 2) 2 ( 1) 1 1 ( 2) 1 1 2 1 2 a t W t a t x t x t a t x t x t a t x t x t x t x t x t x t x t x t dt dW t n n n n n n n n k k = − − − − = − − − − − −
即: W(t)+a,(t)W(t)= 0从而-w(0el(oda"1=0dt所以el.a(0)d .W(t) = W(t0)故W(t) = W(t.)e-l% (0)d例2.对二阶微分方程x"+a,(t)+az(t)x=0,若x,(t)是方程的一个解,求它的通解解：设x()是与x(t)不同的解,则刘维尔公式得x, ·x'-x)-x=cexp(-Ja,(t)dt)14()=e-Ja(0)a2乘以上式两端并得（）=用xX-[%e-/aad"dt+cJ X由此可得X-jar(ndt dt取c1=0,c=1则就是二阶方程的另一解，又因为w(t)=IXxe'fa(ndxix±0E所以x是与x1线性无关的解,从而通解为x(1)=Gx(0) +cx(0]e'p(0dx(t)例3、求方程（-1")x"-2x+2x=0的通解2ta,(t)=1-t*解：容易看出所给方程有解x1(t)=t，在此处由上面导出的二阶方程通解公
即: W(t) + a1 (t)W(t) 0 从而 [ ( ) ] 0 0 1 ( ) t t a t dt W t e dt d 所以 ( ) ( ) 0 ( ) 0 1 e W t W t t t a t dt 故 − t t a t dt W t W t e 0 1 ( ) 0 ( ) ( ) 例 2. 对二阶微分方程 x + a1 (t) + a2 (t)x = 0 ,若 ( ) 1 x t 是方程的一个解,求它的通解. 解: 设 x(t) 是与 ( ) 1 x t 不同的解,则刘维尔公式得 − = exp(− ( ) ) x1 x x1 x c a1 t dt 用 乘以上式两端并得 由此可得 取 c1=0,c=1 则 ， 就是二阶方程的另一解,又因为 w(t)=| |= 所以 x 是与 x1 线性无关的解,从而通解为 例 3、求方程 的通解 解：容易看出所给方程有解 x1(t)=t，在此处 由上面导出的二阶方程通解公 2 1 1 x = − a t dt e x c x x dt d ( ) 2 1 1 1 ( ) + = − 1 ( ) 1 1 1 e dt c x c x x a t dt e dt x x x a t dt = − ( ) 1 2 1 1 ' ' 1 1 x x x x 0 ( ) 1 − a t dt e e dt x t x t c x t cx t p t dt = + − ( ) 2 1 1 1 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) (1 ) 2 2 0 2 '' ' − t x − tx + x = 1 2 1 2 ( ) t t a t − = −