§2.3 恰当方程与积分因子 教学目的 理解恰当方程，积分因子的概念，掌握恰当方程的解法以及用积分因子求解方法。 教学要求 掌握恰当方程的解法以及积分因子的概念与用积分因子法求解。 教学重点 恰当方程的定义、充要条件；积分因子的求法 教学难点 积分因子的求法。 教学方法 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 教学手段 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 在前二节，我们求解了变量可分离方程和一阶线性微分方程方程，当然还包 括能转化到这两种形式的一些方程。前面刀有的方法都是一元函数积分法，在本 节中，我们从二元函数及微分的角度来考察微分方程的求解问题，可增加可解方 程的类型 一． 恰当议程的定义与充要条件 设 u = u(x, y) 是一个连续可微的函数，则这它的全微分为 dy y u dx x u du + = 。 如果我们恰好碰见了方程 0 ( , ) ( , ) = + dy y u x y dx x u x y 就可以马上写出它的隐式解 0 t(x, y) = c 这也是一大类可求解的微分方程，下面将对这类情形进行详细讨论。 1．定义 若有函数 u(x, y), 使得 du(x, y) = M (x, y)dx + N(x, y)dy （0） 则称 M (x, y)dx + N(x, y)dy = 0 （1）
是恰当方程。此时（1）的通解是 0 u(x, y) = c 如： xdy + ydx = 0 (3 ) ( 2 ) 0 2 2 3 x y + y dx + x + xy dy = f (x)dx + g( y)dy = 0 都是恰当方程，因为函数 = + = + = + u x y f x dx g y dy u x y x y xy u x y x y ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) 3 3 3 2 2 2 1 的全微分分别是这三个方程式的左端。它们的解分别是 u x y c i ( , ) = (i = 1,2,3) 但并不是所有的方程能很方便地找到 u(x, y) ，或者这样的 u(x, y) 就不存在， 所以有三个问题需要考虑： （1） 方程（1）是否为恰当方程。 （2） 若（1）是恰当方程，怎样求解。 （3） 若（1）不是恰当方程，有无可能转化为一个恰当方程来求解。 问题（1）和（2）已经有了完满的结论，而问题（3）反有一些充分条件需 要我们在求解微分方程的过程中不断探索和发展。 2．恰当方程的充要条件 定理 1 设函数 M (x, y) 和 N(x, y) 在一个矩形区域 R 中连续且有连续的一阶 偏导数，则方程 M (x, y)dx + N(x, y)dy = 0 （1） 则恰当方程的充要条件是 x N x y y M x y = ( , ) ( , ) （2） 证 必要性 设（1）是一个恰当方程，则有函数 u(x, y) ，使得 dy M x y dx N x y dy y u dx x u du(x, y) = ( , ) + ( , ) + = 故有 y u N x y x u M x y = ( , ) = , ( , ) （3）
计算 u(x, y) 的二阶混合偏导数得 x N x y u y M y x u = = 2 2 , 由于 y x u 2 和 x y u 2 都是连续的,从而有 x y u y x u = 2 2 故(2)成立 充要性 设 M (x, y) 和 N(x, y) 满足(2),我们需要构造函数 u(x, y) 满足 du(x, y) = M (x, y)dx + N(x, y)dy (4) 也即满足 M x u = (5) N y u = (6) 我们从(5)出发,把 y 看作参数,解这个方程，得 u(x, y) = M (x, y)dx +( y) 这里 ( y) 是 y 的任意可微函数，我们现在来选择 ( y) ，使 u 同时满足（6）， 即 + = = N dy d y M x y dx y y u ( ) ( , ) 因此 = − M x y dx y N dy d y ( , ) ( ) （7） 我们证明（7）的右端与 x 无关，为此，只需证明（7）的右端对 x 的偏导数恒 等于零，事实上 − = − [ ( , ) ] [ M (x, y)dx] x x y N M x y dx y N x − = [ M (x, y)dx] x y x N
0 − = y M x N 于是，（7）右端的确只含有 y ，积分之，得到 = − M x y dx dy y ( y) (N ( , ) ] 故 = + − M x y dx dy y u(x, y) M (x, y)dx (N ( , ) ] （8） 即 u(x, y) 存在，从而（1）为恰当方程 注：若（1）为恰当方程，则其通解为 = + − M x y dx dy c y M (x, y)dx (N ( , ) ] ， c 为任常数 二． 恰当方程的求解 恰当方程的求解方法这里介绍三种，一种是定理充分性证明过程给出的公式 （8）—不定积分法，另一种是分组凑微法，还有一种是分式积分法 1．不定积分法 0 1 判断 Mdx + Ndy = 0 是否为恰当方程，若是，进下一步 0 2 求 u(x, y) = Mdx +( y) 0 3 由 N y u = ，求 ( y) 例1， 验证方程 (e + y)dx + (x − 2sin y)dy = 0 x 是恰当方程，并求它的通解 解：由于 M x y e y N x y x y x ( , ) = + , ( , ) = − 2sin x N y M = = 1 故所给方程是恰当方程 由于所求的函数 u(x, y) 满足 x y y u e y x u x , = − 2sin = +
由偏导数的定义知，只要将 y 看作常数，将 e y x + 对积分得 u(x, y) = (e + y)dx + ( y) = e + yx + ( y) x x 对 u(x, y) 关于 y 求偏导数得 ( y) 应满足方程为 x y dy d y x 2sin ( ) + = − 即 = dy d( y) − 2sin y 积分后得 ( y) = 2cos y 故 u x y e yx y x ( , ) = + + 2cos 从而，方程通解为 e yx y c x + + 2cos = 2．分组凑微法： 例 2．求方程 (3 6 ) (6 4 ) 0 2 2 2 3 x + xy dx + x y + y dy = 的通解 解：这里 2 2 2 3 M(x, y) = 3x + 6xy ,N(x, y) = 6x y + 4y 这时 x N xy y M = = 12 因此方程是恰当方程 把方程重新“分项组合”，得 3 4 (6 6 ) 0 2 3 2 2 x dx + y dy + xy dx + x ydy = 即 (3 3 ) 0 3 4 2 2 2 2 dx + dy + y dx + x dy = 或者写成 ( 3 ) 0 3 4 2 2 d x + y + x y = 于是方程通解为 x + y + x y = c 3 4 2 2 3 ， c 是任常数
例 3．验证方程 (cos sin ) (1 ) 0 2 2 x x − xy dx + y − x dy = 是恰当方程。把方程重新“分项组合”，得 cos sin ( ) 0 2 2 x xdx− xy dx + yx dy + ydy = 即 0 2 1 2 1 sin 2 1 2 2 2 2 d x − d x y + d y = 或者写成 (sin ) 0 2 2 2 2 d x − x y + y = 故方程通解为 x − x y + y = c 2 2 2 2 sin 利用初始条件 y(0) = 2 ，得 c = 4 ，故所求初始值的通解为 sin 4 2 2 2 2 x − x y + y = 3．分式积分法 定理 1 的充分性证明也可用如下方法： 由于 x N y M = ，由积分曲线积分与路 径无关的定理知 M (x, y)dx + N(x, y)dy 为某函数 u(x, y) 的全微分，即存在函数 u(x, y) ，使 du(x, y) = M (x, y)dx + N(x, y)dy 因此（1）为恰当方程 这时，取 (x0 , y0 ) R ，则 = + ( , ) ( , ) 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) x y x y u x y M x y dx N x y dy = + x x y y M x y dx N x y dy 0 0 ( , ) ( , ) 从而（1）的通解为 + = x x y y M x y dx N x y dy c 0 0 ( , ) ( , ) ，c 为任常数 例 4．求解方程
( cos 2 ) (sin 2) 0 2 y x + xe dx + x + x e + dy = y y 解：由于 ( , ) cos 2 , ( , ) sin 2 2 = + = + + y y M x y y x x e N x y x x e ， x N x xe y M x = + = cos 2 所以方程是恰当方程 由于 M (x, y), N(x, y) 在平面上连续，故取 ( , ) 0 0 x y 为坐标原点，则 = + x y u x y M x y dx N x y 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) = + + x y y y x xe dx dy 0 0 ( cos 2 ) 2 y x x e y y sin 2 2 = + + 故所给方程的通解为 y x x e y c y sin + + 2 = 2 ， c 为任常数 二．积分因子 对一个恰当方程，我们有各种求解方法，而（1）不是恰当方程时，此时，能 否进行一些恒等变形，将（1）化为一个恰当方程来求解呢？ 先回头从另一角度来看我们解可分离变量方程和一阶线性方程的过程，对于 变量分离方程 dy − f (x)( y)dx = 0 对它两边同乘以 ( ) 1 y 后得 ( ) 0 ( ) 1 dy − f x dx = y 此时它就变成了恰当方程，对于线性方程 ( p(x) y + Q(x))dx − dy = 0 我们对它两边同乘以 − p x dx e ( ) 后得 ( ( ) ( ) 0 ( ) ( ) = + − − − e p x y Q x dx e dy p x dx p x dx 即 = − − − ( ( ) ) 0 p(x)dx p(x)dx d ye Q x e 此时它变成了恰当方程，可见，求解线性方程和变量分离方程的过程，实际
上就是将它们转化为恰当方程来进行，对许多方程，也可以进行类似处理 定义：如果存在连续可微的函数 u = u(x, y) 0, 使得 u(x, y)M (x, y)dx + u(x, y)N(x, y) = 0 为一恰当方程，则 u(x, y) 方程（1）的一个积分因子 例 5．验证 u x y x y 2 ( , ) = 是方程 (3 4 ) (2 3 ) 0 2 2 y + xy dx + x + x y dy = 的一个积分因子，并求其通解。 解：对方程有 3 4 2 2 2 3 3 ( , ) ( , ) 2 3 ( , ) ( , ) 3 4 u x y N x y x y x y u x y M x y x y x y = + = + 由于 x u x y N x y x y x y y u x y M x y = + = ( ( , ) ( , )) 6 12 ( ( , ) ( , )) 2 3 2 故所给方程乘于 u(x, y) 后为恰当方程，所以 u(x, y) 是其积分因子，对方程两 边乘以 u x y x y 2 ( , ) = 后得 (3 2 ) (4 3 ) 0 2 2 3 3 3 4 2 x y dx + x ydy + x y dx + x y dy = 即 0 3 2 4 3 dx y + dx y = 也即 ( ) 0 3 2 4 3 d x y + x y = 故所给方程的通解为 x y + x y = c 3 2 4 3 ，c 为任常数 从上例可看出，当给定了函数 u(x, y) 后，很容易验证它是否是方程（1） 的积分因子。但问题是方程（1）的积分因子是否一定存在，或者有无切实可行 的方法求得（1）的积分因子，这是一个十分困难的问题，一般来说，无法给出 解答，只能对某些特殊形式的函数或方程给出一些充分条件。 若 u(x, y) 是（1）的积分因子，则 u(x, y) 应满足 x u x y N x y y u x y M x y = ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
即 x N x y u x y x u x y N x y y M x y u x y y u x y M x y + = + ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) （9） 这意味着 u(x, y) 必须满足一个偏微分方程，求以上偏微分方程比求解常微 分方程更困难。求出它的解再去（1）的一般是行不通的，但在某些特殊情况下 可以实现。 假设方程（1）有一个仅与 x 有关的积分因子，而 u(x, y) = u(x) ，则由（9） u(x) 必须满足 x N x y u x dx du x N x y y M x y u x = + ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) 即 N x N y M u du − = （10） 由于上式左端只与 x 有关，所以右端也只能是 x 的函数，因此，微分方程（1）有 一个反依赖于 x 人积分因子的必要条件是函数 N x N y M − （11） 仅与 x 有关，而与 y 无关，反之，若（10）表达式仅与 x 有关，我们取 N x N y M u x e x x dx − = ( ) = , ( ) ( ) 则 u(x) 是（1）的积分因子，我们将上述论证过程表达为下面的定理 定理 2 微分方程 M (x, y)dx + N(x, y)dy = 0 有一个仅依赖于 x 的积分因子的充要条件是: N x N y M − 仅与 x 有关,这时积分因子为:
= x dx x e ( ) ( ) , N x N y M x − ( ) = . 同理,微分方程(1)有一个仅依赖于 y 的积分因子的充要条件是: M x N y M − − 仅与 y 有关,这时的积分因子为: ( ) ( ) x dy y e = , ( ) y = M x N y M − − . 例六:求微分方程( 2 ) ( ) 0 2 2 + ye dx + y + e dy = y x x 的通解. 解:这是 M(x,y)= x ye y 2 2 2 + , N(x,y)=y+e x , x x e x N y e y M = = + 2 故它不是恰当方程,又因为 = 1 + + = − x x y e y e N y N x M 它与 y 无关,故方程有一个仅与 x 有关的积分因子 x dx x e = e = 1 ( ) 方程两边同乘于 x (x) = e 得 ( 2 ) ( ) 0 2 2 2 2 e + ye dx + ye + e dy = y x x x x 利用恰当方程求解方法得通解为 e ye c y x x + = 2 2 2 积分因子是求解积分方程的一个极为重要的方法,绝大多数方程求解都可以 通过寻找到一个合适的积分因子来解决,但求一微分方程的积分因子十分困难, 需要灵活运用各种微分法的技巧和经验.下面通过例子说明一些简单积分因子的 求法