《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 2.3 恰当方程与积分因子 二、恰当方程的求解 一、恰当方程的定义及条件 三、积分因子
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 称形式为 的方程为对称形式的微分方程． 自变量．即变量 与变量 在方程中的地位是对称的，因此也常 成未知函数， 看成自变量；也可以把 看成未知函数， 看 成 以看到，把微分方程写成这种形式的优点在于：既可以把 看 或更一般地， 的形式．由前面的例子可 为此，将一阶正规微分方 程 改写成 ， 接下来，我们探讨另外一类可用初等解法求解的方程类型． ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) 0 + = + = = − = M x y dx N x y dy x y x x y y M x y dx N x y dy f x y f x y dx dy dx dy
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 一、恰当方程的定义及条件 设u = u(x, y)是一个连续可微的函数,则它的全微分为 dy y u dx x u du + = 如果我们恰好碰见了方程 0 ( , ) ( , ) = + dy y u x y dx x u x y 就可以马上写出它的隐式解 u(x, y) = c
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 定义1 若有函数u(x, y),使得 du(x, y) = M (x, y)dx + N(x, y)dy 则称微分方程 M (x, y)dx + N(x, y)dy = 0, (1) 是恰当方程. 此时(1)的通解为u(x, y) = c. 如 xdy + ydx = 0 (3 ) ( 2 ) 0 2 2 3 x y + y dx + x + x y dy = f (x)dx + g( y)dy = 0 是恰当方程. d(xy) = ( + ) = 3 2 d x y x y+ = d( f (x)dx g( y)d y) 1 恰当方程的定义
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 需考虑的问题 (1) 方程(1)是否为恰当方程? (2) 若(1)是恰当方程,怎样求解? (3) 若(1)不是恰当方程,有无可能转化为恰当方程求解? 2 方程为恰当方程的充要条件 定理1 域 中连续且有连续的一阶偏导数 则方程 设函数 和 在一个矩形区 , ( , ) ( , ) R M x y N x y M (x, y)dx + N(x, y)dy = 0, (1) 为恰当方程的充要条件是 , (2). ( , ) ( , ) x N x y y M x y = M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0, (1)
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 证明 “必要性”设(1)是恰当方程, 则有函数u(x, y),使得 dy y u dx x u du x y + ( , ) = = M (x, y)dx + N(x, y)dy 故有 M (x, y), x u = N(x, y) y u = 从而 2 , M u y y x = 2 . N u x x y = 由于 和 都是连续的,从而有 2 2 x y u y x u , 2 2 x y u y x u = 故 . ( , ) ( , ) x N x y y M x y =
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 “充分性” ， x N x y y M x y = ( , ) ( , ) 若 从(5)出发,把y看作参数,解这个方程得 则需构造函数u(x, y),满足 du(x, y) = M (x, y)dx + N(x, y)dy, (4) 即应满足 M (x, y), (5) x u = N(x, y), (6) y u = u(x, y) = M (x, y)dx +( y)
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 这里(y)是y的任意可微函数, = y u 因此 = − ( , ) (7) ( ) M x y dx y N dy d y 下面证明(7)的右端与x无关, 即对x的偏导数常等于零 事实上 [ ( , ) ] − M x y dx y N x [ ( , ) ] − = M x y dx x x y N N(x, y), (6) y u = 下面选择(y),使u同时满足(6),即 + dy d y M x y dx y ( ) ( , ) = N u(x, y) = M (x, y)dx +( y)
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 [ ( , ) ] − = M x y dx x y x N y M x N − = 0. 于是,(7)右端的确只含有y,积分之得 ( ) [ M (x, y)dx]dy, y y N = − 故 u(x, y) = M (x, y)dx [ M (x, y)dx]dy, y N + − (8) 即u(x, y)存在,从而(1)为恰当方程。 = − ( , ) (7) ( ) M x y dx y N dy d y 注:若(1)为恰当方程,则其通解为 M x y dx dy c c为任常数 y M (x, y)dx [N ( , ) ] = , + −
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 二、恰当方程的求解 1 不定积分法 . 1 ( , ) ( , ) 0 , 0 若是进入下一步 判断M x y dx + N x y dy = 是否为恰当方程 2 u(x, y) = M (x, y)dx + ( y)， 0 求 3 ( , ) ( ). 0 N x y y y u 由 = 求 例1 验证方程 (e + y)dx + (x − 2sin y)dy = 0 x 是恰当方程,并求它的通解