广东第二师范学院：《常微分方程》课程教学资源（PPT课件）第二章 一阶微分方程的初等解法 2.3 恰当方程与积分因子

2.3恰当方程与积分因子恰当方程的定义及条件、恰当方程的求解三、积分因子A教学课件《常微分方程》广东第二师范学院首页结束一市二面

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 2.3 恰当方程与积分因子 二、恰当方程的求解 一、恰当方程的定义及条件 三、积分因子

接下来，我们探讨另外一类可用初等解法求解的方程类型dy为此，将一阶正规微分方程fxy）改写成f（xy）dx-dy=0dx或更一般地，M(xy）dx+N(xy）dy=O的形式.由前面的例子可以看到，把微分方程写成这种形式的优点在于既可以把看成未知函数，x看成自变量；也可以把x看成未知函数，看成自变量.即变量x与变量v在方程中的地位是对称的，因此也常称形式为M(xy）dx+N(xy）dy=0的方程为对称形式的微方程A二《常微分方程》教学课件广东第二师范学院结束首页市

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 称形式为 的方程为对称形式的微分方程． 自变量．即变量 与变量 在方程中的地位是对称的，因此也常 成未知函数， 看成自变量；也可以把 看成未知函数， 看 成 以看到，把微分方程写成这种形式的优点在于：既可以把 看 或更一般地， 的形式．由前面的例子可 为此，将一阶正规微分方 程 改写成 ， 接下来，我们探讨另外一类可用初等解法求解的方程类型． ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) 0 + = + = = − = M x y dx N x y dy x y x x y y M x y dx N x y dy f x y f x y dx dy dx dy

一、恰当方程的定义及条件设u=uxy）是一个连续可微的函数则它的全微分为Ououdu=ddx+axOy如果我们恰好碰见了方程Ou(x,y)Ou(x,y)dx+dy=0axay就可以马上写出它的隐式解u(x, y) = c.A二《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页上一真结束面

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 一、恰当方程的定义及条件 设u = u(x, y)是一个连续可微的函数,则它的全微分为 dy y u dx x u du   +   = 如果我们恰好碰见了方程 0 ( , ) ( , ) =   +   dy y u x y dx x u x y 就可以马上写出它的隐式解 u(x, y) = c

1恰当方程的定义若有函数u(x,y),使得定义1du(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy则称微分方程(1)M(x,y)dx+N(x,y)dy=O,是恰当方程.此时(1)的通解为u(x,y)=c如d(xy) = xdy+ ydx = 0d(xy+xy)=(3xy+y)dx+(x3+2xy)dy=0d(J f(x)dx+ [ g(y)dy)= f(x)dx + g(y)dy = 0是恰当方程AM《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页市结束

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 定义1 若有函数u(x, y),使得 du(x, y) = M (x, y)dx + N(x, y)dy 则称微分方程 M (x, y)dx + N(x, y)dy = 0, (1) 是恰当方程. 此时(1)的通解为u(x, y) = c. 如 xdy + ydx = 0 (3 ) ( 2 ) 0 2 2 3 x y + y dx + x + x y dy = f (x)dx + g( y)dy = 0 是恰当方程. d(xy) = ( + ) = 3 2 d x y x y+ =   d( f (x)dx g( y)d y) 1 恰当方程的定义

(1)M(x.y)dx+N(x,y)dy=0需考虑的问题（1）方程（1）是否为恰当方程？（2）若（1）是恰当方程，怎样求解？（3）若（1）不是恰当方程，有无可能转化为恰当方程求解？2方程为恰当方程的充要条件定理1设函数M(xy）和N(x,y）在一个矩形区域R中连续且有连续的一阶偏导数则方程(1)M(x,y)dx+N(x,y)dy=0,为恰当方程的充要条件是aM(x,y)aN(x,y)(2).axayA二《常微分方程》教学课件广东第二师范学院结束首页市二面

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 需考虑的问题 (1) 方程(1)是否为恰当方程? (2) 若(1)是恰当方程,怎样求解? (3) 若(1)不是恰当方程,有无可能转化为恰当方程求解? 2 方程为恰当方程的充要条件 定理1 域 中连续且有连续的一阶偏导数 则方程 设函数 和 在一个矩形区 , ( , ) ( , ) R M x y N x y M (x, y)dx + N(x, y)dy = 0, (1) 为恰当方程的充要条件是 , (2). ( , ) ( , ) x N x y y M x y   =   M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0, (1)

证明“必要性"设(1)是恰当方程，则有函数u(x,y),使得ouOudx+dy=M(x,y)dx+N(x,y)dydu(x,y)=Oxaydudu= N(x,y)M(x,y),故有ayaxa"ua'uanaM从而ayaxayaxOxoyauauauau和由于都是连续的，从而有ayaxaxoyaxoyayOxOM(x,y)aN(x,y)故ayax二《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页结束一市二面

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 证明 “必要性”设(1)是恰当方程, 则有函数u(x, y),使得 dy y u dx x u du x y   +   ( , ) = = M (x, y)dx + N(x, y)dy 故有 M (x, y), x u =   N(x, y) y u =   从而 2 , M u y y x   =    2 . N u x x y   =    由于 和 都是连续的,从而有 2 2 x y u y x u       , 2 2 x y u y x u    =    故 . ( , ) ( , ) x N x y y M x y   =  

aM(x,y)aN(x,y)若“充分性”ayax则需构造函数u(x,y),满足(4)du(xy)=M(x,y)dx+N(x,y)dydu= M(x,y),即应满足(5)axou= N(x,y),(6)ay从（5）出发，把看作参数，解这个方程得u(x, y) =[ M(x, y)dx +p(y).《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页结束二面

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 “充分性” ， x N x y y M x y   =   ( , ) ( , ) 若 从(5)出发,把y看作参数,解这个方程得 则需构造函数u(x, y),满足 du(x, y) = M (x, y)dx + N(x, y)dy, (4) 即应满足 M (x, y), (5) x u =   N(x, y), (6) y u =    u(x, y) = M (x, y)dx +( y)

Ou= N(x, y), (6)u(x, y) =[M(x, y)dx+p(y)ay这里(y)是y的任意可微函数下面选择（y)使u同时满足（6)即adudp(y)=NM(x,y)dx+oydyOy0dp(y)=NM(x,y)dx(7)因此dyOy下面证明(7)的右端与x无关，即对x的偏导数常等于零a0M(x,y)dx)IN事实上axayanaaM(x,y)dx)axOxOvA《常微分方程》教学课件广东第二师范学院结束首页

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 这里(y)是y的任意可微函数, =   y u 因此    = − ( , ) (7) ( ) M x y dx y N dy d y 下面证明(7)的右端与x无关, 即对x的偏导数常等于零 事实上 [ ( , ) ]    −   M x y dx y N x [ ( , ) ]      −   = M x y dx x x y N N(x, y), (6) y u =   下面选择(y),使u同时满足(6),即  +   dy d y M x y dx y ( ) ( , )  = N  u(x, y) = M (x, y)dx +( y)

anaanamOM(x, y)dx):=0.OxaxOyayOx于是（7右端的确只含有积分之得OP(y)= [N-M(x,y)dxldy,ayadp(y)故(7)M(x,y)dxNdyO1Ou(x,y)=[ M(x, y)dx +[[NM(x, y)dxjdy, (8)即ux)存在，从而)为恰当方程注：若（1）为恰当方程，则其通解为[M(x, y)dx+J[N-%[ M(x,y)dx]dy=c,c为任常数教学课件《常微分方程》广东第二师范学院首页生克

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 [ ( , ) ]      −   = M x y dx x y x N y M x N   −   =  0. 于是,(7)右端的确只含有y,积分之得 ( ) [ M (x, y)dx]dy, y y N      = − 故  u(x, y) = M (x, y)dx [ M (x, y)dx]dy, y N     + − (8) 即u(x, y)存在,从而(1)为恰当方程。    = − ( , ) (7) ( ) M x y dx y N dy d y 注:若(1)为恰当方程,则其通解为 M x y dx dy c c为任常数 y M (x, y)dx [N ( , ) ] = ,   + −   

恰当方程的求解1不定积分法1°判断M(xy)dx+N(xy)dy=0是否为恰当方程若是进入下步2° 求u(x, y) =[ M(x, y)dx +p(y),u= N(x, y)求(y).3°由Oy例1验证方程(e"+y)dx+(x-2siny)dy=0是恰当方程，并求它的通解A二《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页结束一市二

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 二、恰当方程的求解 1 不定积分法 . 1 ( , ) ( , ) 0 , 0 若是进入下一步 判断M x y dx + N x y dy = 是否为恰当方程  2 u(x, y) = M (x, y)dx + ( y)， 0 求  3 ( , ) ( ). 0 N x y y y u 由 = 求   例1 验证方程 (e + y)dx + (x − 2sin y)dy = 0 x 是恰当方程,并求它的通解