一阶逻辑
析取范式与合取范式 一阶逻辑
一阶逻辑命题逻辑的基本组成单位是简单（原子）命题，具有一定局限性。例如：“凡偶数都能被2整除”作为简单命题其本质不能被充分表述；S={a1...an]中的元素大于3,需要n个命题表述.一般地，简单命题作为具有真值的陈述句至少由主语和谓语两部分组成。例如，“2是有理数”，2是主语，“是有理数”是谓语
一阶逻辑 命题逻辑的基本组成单位是简单（原子）命题，具有一定局 限性。 例如： “凡偶数都能被2整除”作为简单命题其本质不能被充分表述； S={a1 ,.an }中的元素大于3,需要n个命题表述. 一般地，简单命题作为具有真值的陈述句至少由主语和谓语 两部分组成。 例如，“2是有理数”，2是主语，“是有理数”是谓语. 1
一阶逻辑命题符号化个体词一一所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体个体常项：具体的事务，用a,b，c等表示个体变项：抽象的事物，用x,y,z等表示个体域（论域）一一个体变项的取值范围有限个体域，如{a,b,c},1,2]无限个体域，如NZ，R，全总个体域一一由宇宙间一切事物组成2
2 一阶逻辑命题符号化 个体词——所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体 个体常项：具体的事务，用a, b, c等表示 个体变项：抽象的事物，用x, y, z等表示 个体域(论域)——个体变项的取值范围 有限个体域，如{a, b, c}, {1, 2} 无限个体域，如N, Z, R, . 全总个体域——由宇宙间一切事物组成
谓词谓词一一表示个体词性质或相互之间关系的词谓词常项如,F(a): a是人谓词变项如，F(x)：x具有性质Fn（n1）元谓词一元谓词（n=1）一一表示性质多元谓词（n2）一一表示事物之间的关系如, L(x,y): x与y有关系 L, L(x,y): xzy, …0元谓词一一不含个体变项的谓词.任何命题都可以表示为零元谓词3
3 谓词 谓词——表示个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项 如, F(a)：a是人 谓词变项 如, F(x)：x具有性质F n(n1)元谓词 一元谓词(n=1)——表示性质 多元谓词(n2)——表示事物之间的关系 如, L(x,y)：x与y 有关系L，L(x,y)：xy，. 0元谓词——不含个体变项的谓词. 任何命题都可以表示为零元 谓词
量词量词一一表示数量的词全称量词√：表示所有的Vx：对个体域中所有的X如，VxF(x)表示个体域中所有的x具有性质FVxVyG(x,y)表示个体域中所有的x和y有关系G4
4 量词 量词——表示数量的词 全称量词: 表示所有的 x : 对个体域中所有的x 如, xF(x)表示个体域中所有的x具有性质F xyG(x,y)表示个体域中所有的x和y有关系G
量词存在量词：表示存在，有一个日x：个体域中有一个x如，日xF(x)表示个体域中有一个x具有性质F日x=yG(x,y)表示个体域中存在x和y有关系GVx日yG(x,y)表示对个体域中每一个x都存在一个y使得x和y有关系G日xVyG(x,y)表示个体域中存在一个x使得对每一个yX和y有关系G5
5 量词 存在量词: 表示存在, 有一个 x : 个体域中有一个x 如, xF(x)表示个体域中有一个x具有性质F xyG(x,y)表示个体域中存在x和y有关系G xyG(x,y)表示对个体域中每一个x都存在一个y使得 x和y有关系G xyG(x,y)表示个体域中存在一个x使得对每一个y, x和y有关系G
实例1例用0元谓词将命题符号化(1)墨西哥位于南美洲(2)V2是无理数仅当/3是有理数(3)如果2>3，则3q,其中，p:/2是无理数,q:/3是有理数。假命题(3)p→q，其中，p：2>3,q：3<4.真命题6
6 实例1 例 用0元谓词将命题符号化 (1) 墨西哥位于南美洲 (2) 是无理数仅当 是有理数 (3) 如果2>3，则33, q：3<4. 3 真命题 假命题 真命题
实例1例用0元谓词将命题符号化(1)墨西哥位于南美洲(2)2是无理数仅当/3是有理数(3)如果2>3、则3G(/3),其中，F(x): x是无理数，G(x)：x是有理数(3) F(2, 3)→G(3, 4), 其中, F(x,y): x>y, G(x,y): x<y1
7 实例1 在一阶逻辑中： (1) F(a)，其中，a：墨西哥，F(x)：x位于南美洲. (2) F( )→G( ), 其中，F(x)：x是无理数，G(x)：x是有理数 (3) F(2, 3)→G(3, 4)，其中，F(x, y)：x>y，G(x, y)：x3，则3<4 2 3
实例2例2在一阶逻辑中将下面命题符号化(1)人都爱美(2) 有人用左手写字个体域分别为(a）D为人类集合(b) D为全总个体域解(a)(1) VxG(x), G(x): x爱美(2)日xH(x), H(x)： x用左手写字(b) F(x): x为人(1) Vx(F(x)→G(x)(2) 3x(F(x)^H(x))说明：1.引入特性调词F(x),使用全总个体域时区分“人”和其他事物82. (1),(2)是一阶逻辑中的两个“基本”公式
实例2 例 2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 人都爱美 (2) 有人用左手写字 个体域分别为 (a) D为人类集合 (b) D为全总个体域 解 (a) (1) xG(x), G(x)：x爱美 (2) xH(x), H(x)：x用左手写字 (b) F(x)：x为人 (1) x(F(x)→G(x)) (2) x(F(x)H(x)) 说明: 1. 引入特性谓词F(x) ,使用全总个体域时区分“人”和其他事物 2. (1),(2)是一阶逻辑中的两个“基本”公式 8
实例3例3在一阶价逻辑中将下面命题符号化(1)正数都大于负数(2)有的无理数大于有的有理数解注意：题目中没给个体域。一律用全总个体域(1)令F(x): x为正数， G(y)： y为负数， L(x,y): x>yVx(F(x)-→Vy(G(y)-→L(x,y)))或者 VxVy(F(x)^G(y)→>L(x,y))(2)令F(x): x是无理数， G(y): y是有理数， L(x,y): x>yEx(F(x)^3y(G(y)^L(x,y)))或者Ex3y(F(x)^G(y)△L(x,y))9
9 实例3 例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 正数都大于负数 (2) 有的无理数大于有的有理数 解 注意：题目中没给个体域，一律用全总个体域 (1) 令F(x)：x为正数，G(y)：y为负数, L(x,y)：x>y x(F(x)→y(G(y)→L(x,y))) 或者 xy(F(x)G(y)→L(x,y)) (2) 令F(x)：x是无理数，G(y)：y是有理数，L(x,y)：x>y x(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或者 xy(F(x)G(y)L(x,y))