陕西师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第二章 行列式

引言$ 2.11.用消元法解二元线性方程组axi +ai2x, =b,(1)[a21X +a22X2 =b2.(2)(1)×a22 :alia22Xi + a2a22x2 = bja229(2)×a12 :a12a21xi +ai222x2 = ba129两式相减消去x2得(a1ia22 -ai2a21) Xi = b,a22 -a12b2;

1．用消元法解二元线性方程组        . , 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b 1 : a22 , a11a22 x1  a12a22 x2  b1a22 2 : a12 , a12a21x1  a12a22 x2  b2a12 (1) (2) ; （a11a22  a12a21）x1  b1a22  a12b2 两式相减消去 2 x 得

类似地,消去x，得(aa22 -ai2a21) X, = aibz -b,a219原方程组有唯一解当 aia22 -a12l21 ± 0 时,b,a22 - a1zb2b,au -az,bx, :Xa11a22 -a12a21aiia22 -a12a21由方程组的四个系数确定

1 22 12 2 2 11 21 1 1 2 11 22 12 21 11 22 12 21 , . b a a b b a a b x x a a a a a a a a       , （a11a22  a12a21）x2  a11b2  b1a21 当a11a22  a12a21  0时， 原方程组有唯一解 由方程组的四个系数确定 类似地, 消去 x1 得

a12= D.若记 22 -221a21a22b,a12D.b,a22 -a1zb2b2a22b,aiDa,b, - b,a21b2a21则当 D ≠ 0 时该方程组的解为D,D2XXDD

若记 1 12 1 22 12 2 2 22 1 , a b a a b D a b b    11 11 2 1 21 2 21 1 2 , a a b b a D b a b    11 12 11 22 12 21 21 22 , a a a a a a D a a    则当 D  0 时该方程组的解为 1 2 1 2 , . D D x x D D  

2.在三元一次线形方程组求解时有类似以结果即有方程组ax +a12x+a3xg=ba21xi +a22x, +a23xg = b2a31X+a32X2+a33g=b3a1a3a12当D=≠0 时，有唯一解1a21a23a22a31a32a33DD3D2XX2DDD

2．在三元一次线形方程组求解时有类似结果 即有方程组 11 1 12 2 13 3 1 21 1 22 2 23 3 2 31 1 32 2 33 3 3 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b               当 时，有唯一解 11 12 13 21 22 23 31 32 33 0 a a a D a a a a a a   1 2 3 1 2 3 , , D D D x x x D D D   

bay2a13其中D, =b,a22a23b3a32a33b,a1a13b,D, =a21a23b3a31a33616263a11a12D, =a22a21)a32

其中 1 12 13 1 2 22 23 3 32 33 , b a a D b a a b a a  11 1 13 2 21 2 23 31 3 33 , a b a D a b a a b a  11 12 1 3 21 22 2 31 32 3 . a a b D a a b a a b 

3．自然科学与工程技术中，我们会碰到未知数的个数很多的线性方程组一一如n元一次线性方程组auX, +a2X2 +...+ainxn=br,a21x, + a22X, +...+ a2nx, =b,(*)aniX,+an2X,+...+annXn=bn它的解是否也有类似的结论呢？

3．自然科学与工程技术中，我们会碰到未知数的 个数很多的线性方程组——如n元一次线性方程组 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 , , ( ) . n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b                   它的解是否也有类似的结论呢？

为此，本章依次解决如下问题1）怎样定义n级行列式？2）n级行列式有哪些性质？3）n级行列式的计算方法？4）方程组（*）在什么情况下有解？有解的情况下，如何表示此解？

为此，本章依次解决如下问题： 2）n级行列式有哪些性质？ 1）怎样定义n级行列式？ 4）方程组(＊)在什么情况下有解？ 有解的情况下，如何表示此解？ 3） n级行列式的计算方法？

排列$ 2. 2一、排列二、逆序，逆序数三、奇排列和偶排列+四、对换

一、排列 二、逆序，逆序数 三、奇排列和偶排列 四、对换

一、排列定义由1，2，…，n组成的一个有序数组称为一个n级排列注：所有不同n级排列的总数是n!=1.2....(n-1)n = P,( 阶乘)如，所有的3级排列是123, 132, 213, 231, 312, 321.一一共6=3！个

一、排列 定义 称为一个 n 级排列． 由1，2， . ，n 组成的一个有序数组 123，132，213，231，312，321． 如，所有的3级排列是 ——共6=3！个. ! 1 2 ( 1) n n n n P      n ( 阶乘) 注： 所有不同 n 级排列的总数是

二、逆序，逆序数我们规定各元素之间有一个标准次序，n个不同的自然数，规定由小到大为标准次序定义在一个排列中，如果一对数的前后位置与标准次序相反，即前面的数大于后面的数则称这对数为一个逆序一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数

二、逆序，逆序数 我们规定各元素之间有一个标准次序,n 个不同 的自然数，规定由小到大为标准次序. 定义 一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数． 在一个排列中，如果一对数的前后位置 与标准次序相反，即前面的数大于后面的数， 则称这对数为一个逆序；