陕西师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第五章 二次型

高等代数各章之间关系，行列式，矩阵，入-矩阵（多元）线性方程组·线性空间，线性变换，欧氏空间二次型起源方程论（求根）一元高次方程多项式（因式分解）

  -                      行列式，矩阵， 矩阵 （ ） 线性空间，线性变换，欧氏空间 二次型 方程论（求根） 多项式（因式分解 多元 线性方程组 一元高次方程 ） 起源 高等代数各章之间关系

第五章二次型问题的起源1在笛卡尔平面上，二元二次方程Ax?+Bxy+Cy?+Dx+Ey+F=0(*)的图像是圆锥曲线（即二次曲线）。根据方程（*）的判别式的不同它包含了椭圆（含圆）、双曲线、抛物线以及各种退化情形2.圆锥曲线可根据有没有对称中心来分类，分为有心二次曲线和无心二次曲线，如抛物线属无心二次曲线，而椭圆和双曲线属有心二次曲线

第五章 二次型 问题的起源 1.在笛卡尔平面上，二元二次方程 2 2 A x Bxy Cy Dx Ey F        0 （ ） 的图像是圆锥曲线(即二次曲线)。根据方程( )的判别式的不同， 它包含了椭圆(含圆)、双曲线、抛物线以及各种退化情形. 2. 圆锥曲线可根据有没有对称中心来分类,分为有心二次曲线和无 心二次曲线.如抛物线属无心二次曲线,而椭圆和双曲线属有心二 次曲线

3.对有心二次曲线，它的中心与坐标原点重合一方程（*）不含x，J的一次项Ax?+Bxy+C,?+Dx+Ey+F=0（*）4.设Ax+Bxy+Cy~+F=0表示一个有心二次曲线，且其中心与坐标原点重合，能否将这个曲线所在的坐标轴旋转一个合适的角度0，使得这个曲线在新坐标系下的方程不含混合项？

4. 设 2 2 Ax Bxy Cy F     0表示一个有心二次曲线, 且其中心与坐标 原点重合，能否将这个曲线所在的坐标轴旋转一个合适的角度 ，使得 这个曲线在新坐标系下的方程不含混合项？ 3. 对有心二次曲线，它的中心与坐标原点重合 方程( )不含 x y, 的一次项. 2 2 A x Bxy Cy Dx Ey F        0 （ ）

解析几何中f(x, y)= Ax? + Bxy +Cy?x=x coso-y sin选择适当的角度y=xsino+ycoso逆时针旋转坐标轴g=ax? +by2代数观点下f(x,x2,",xn)X, =CuJi+Ci2y2 +...+Ciny'nX2=C2ii+C22J2+...+C2nyn作适当的线性替换Xn=Cnyi+Cn2y2 +...+Cmng(yi,y2,*., y.)=by? +b,y? +...+b.y?

解析几何中 ' ' ' ' cos sin sin cos x x y y x y            ' '2 ' '2 g a x b y   代数观点下 1 2 ( , , , ) n f x x x 作适当的 线性替换 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 n n n n n n n nn n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y                    2 2 2 1 2 1 1 2 2 g( , , , ) n n n y y y b y b y b y     2 2 f x y Ax Bxy Cy ( , )    选择适当的角度 ， 逆时针旋转坐标轴

8 5.1二次型的矩阵表示主要内容：1.n元二次型2.非退化线性替换3.矩阵的合同

2.非退化线性替换 3.矩阵的合同 1.n元二次型 §5.1 二次型的矩阵表示 主要内容：

一、n元二次型1f(x,x2,.,xn)= ax? +2ai2xx2 +...+2ainxxn+a22x2+...+2a2nX,Xn(1)十+a..InnX,称为数域P上的一个n元二次型2二次型的另外两种表示令（1）中ai=aj，l<i<j≤n

称为数域P上的一个n元二次型． 一、n元二次型 1 1 2 2 11 1 12 1 2 1 1 2 22 2 2 2 2 ( , , , ) 2 2 2 n n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x a x x a x          (1) 2 二次型的另外两种表示 令（1）中 ji ij a a  ，1   i j n

2)二次型的双重和符号表示f(xi,X2,.",xn)= ax? +2a2x,x2 +...+2ainxxn2+...+2anx,x,+a2x2++annxnaux' +ai2xx, +...+ainxx+a2xX +a22x +...+a2nxxn+..2+anx,X, +anx,X, +...+annnnXn

1 2 2 11 1 12 1 2 1 1 2 22 2 2 2 2 2 11 1 12 1 2 1 1 2 21 2 1 22 2 2 ( , , , ) 2 2 2 n n n n n nn n n n n f x x x a x a x x a x x a x a x x a x a x a x x a x x a x x a x a x                  2 2 1 1 2 2 n n n n n nn n x a x x a x x a x      2) 二次型的双重和符号表示

f(x,x2,**,x)= ax? +a2xx, +..+anxxn+a2xx, +a2x2...+a2nxxn+.+anx,x +an2x,X,+...+annnnn= x(axi +a2x2 +...+ainxn)+x,(a2ix, +a22x *..+a2nx,)++x,(anx, +an2X, +...+annxn)=x(Z aayx,)+x(2 a2jx,)+...+x,E aamx,j=1j=1i=-Zaa,x,x(2)i=l j=l

1 2 2 11 1 12 1 2 1 1 2 21 2 1 22 2 2 2 2 1 1 2 2 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 ( , , , ) n n n n n n n n n nn n n n n n n n n nn n n n j j j j n j j j f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x x a x x a x x                                 （ ） （ ） （ ） = （ ） （ ） （ 1 1 1 n nj j n n ij i j i j a x a x x       ） (2)

主要内容：1.n元二次型1)二次型的定义表示2)二次型的双重和符号表示 (X)=agx,x,i=l j=l

1. n元二次型 主要内容： 1) 二次型的定义表示 2) 二次型的双重和符号表示 ' 1 1 ( ) n n ij i j i j f X a x x    

3）二次型的矩阵表示f(xi,X2,".",xn)= ax +2a2x,x2 +..+2ainxxn2+...+2a2nX,Xn+a22x2+2+a.nn1aux' +ai2xx2 +...+ainxixn+a21XX, +a22x2 +...+a2nX2Xn十2+anxnX, +an2xnX, +...+anXnnn

1 2 2 11 1 12 1 2 1 1 2 22 2 2 2 2 2 11 1 12 1 2 1 1 2 21 2 1 22 2 2 ( , , , ) 2 2 2 n n n n n nn n n n n f x x x a x a x x a x x a x a x x a x a x a x x a x x a x x a x a x                  2 2 1 1 2 2 n n n n n nn n x a x x a x x a x      3）二次型的矩阵表示