陕西师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第七章 线性变换

$ 7. 1线性变换的定义一、线性变换的定义二、线性变换的简单性质三、有关例子

一、线性变换的定义 二、线性变换的简单性质 §7.1 线性变换的定义 三、有关例子

线性变换的定义设V为数域P上的线性空间，若变换:V→V满足: Vα,βeV,kEPα(α+β)=α(α)+α(β)α(kα) = ka(α)则称为线性空间V上的线性变换

一、 线性变换的定义 设V为数域P上的线性空间，若变换  :V V  满足：     , , V k P     k k     则称  为线性空间V上的线性变换.                

注：几个特殊线性变换单位变换(恒等变换)：E:V→V，αα，VαEV0:V→V, αH>0, VαeV零变换：（由数k决定的数乘变换：K:V→V，α>kα，αV事实上,Vα,βeV,VmEP,K(α+β)= k(α+β)=kα+kβ=K(α)+K(β)K(mα) = kmα = mkα = mK(α)

注：几个特殊线性变换 由数k决定的数乘变换： K V V k V : , ,       事实上，      , , , V m P K k k k K K                 ( ) ,     K m km mk mK           . 单位变换(恒等变换)： E V V V : , ,       零变换： 0 : , 0, V V V     

例1.V=R2(实数域上二维向量空间)，把V中每一向量绕坐标原点旋转A角，就是一个线性变换用T。表示，即()一()T。: R?→ R2,(cn8 0)()(3)-(这里，sin cos易验证:Vα,βR2,VkeRT.(α+β)=T(α)+ T.(β)T.(kα) = kT(α)

例1. V R  2 (实数域上二维向量空间)，把V中每 一向量绕坐标原点旋转  角，就是一个线性变换， 用 T 表示，即     2 2 : , x x T R R y y     这里， 易验证： T T T                 T k kT          2      , , R k R      cos sin sin cos x x y y        

例2.V=P[x|或P[xl,上的求微商是一个 线性变换用D表示，即D:V→V, D(f(x))= f'(x), Vf(x)eV例3．闭区间[a,b]上的全体连续函数构成的线性空间C(a,b)上的变换J :C(a,b)→C(a,b), J(f(x)= f(t)dt是一个线性变换

例2． V P x P x  [ ] [ ] 或 n 上的求微商是一个 线性变换， 用D表示，即 D V V D f x f x f x V : , ( ( )) ( ), ( )      例3. 闭区间 [ , ] a b 上的全体连续函数构成的线性空间 : , , ,          x a J C a b C a b J f x f t dt    是一个线性变换. C a b  ,  上的变换

线性变换的简单性质1.o为V的线性变换，则(0)= 0, (-α) =-α(α)2．线性变换保持线性组合及关系式不变，即若 β=kα+kα,+...+k,αr则 α(β) = k,o(α)+k,o(α)+...+k,o(α,)3．线性变换把线性相关的向量组的变成线性相关的向量组．即

1．  为V的线性变换，则      (0) 0, ( ) ( ).     2．线性变换保持线性组合及关系式不变，即 若 1 1 2 2 , r r         k k k 则 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ). r r             k k k 3．线性变换把线性相关的向量组的变成线性相关 二、 线性变换的简单性质 的向量组. 即

若αj,α2,"",α,线性相关，则(α),α(α),.",α(α,)也线性相关，事实上，若有不全为零的数k,k2,,k,使kjα +k,α, +...+k,α,=0则由2即有,kj(α)+ko(α2)+...+k,α(α,)= 0.注：3的逆不成立，即(α),o(α2),.",α(α,)线性相关，α,α2,,α,未必线性相关事实上，线性变换可能把线性无关的向量组变成线性相关的向量组．如零变换

若    1 2 , , , r 线性相关，则        1 2 , , ,    r  也线性相关. 事实上，若有不全为零的数 k k k 1 2 , , , r 使 1 1 2 2 0 r r k k k        则由2即有， 1 1 2 2       0. r r k k k           线性相关的向量组. 如零变换. 事实上，线性变换可能把线性无关的向量组变成 注：3的逆不成立，即        1 2 , , ,    r  线性相关， 1 2 未必线性相关. , , ,   r

三、有关例子例4下列变换中，哪些是线性变换？1. 在 R中, α(x,X2,x)=(2xi,X2,X2 -X)2. 在P[x],中, α(f(x))= f2(x),3.在线性空间V中，()=+α，αV非零固定4. 在 pnxn中, α(X)= AX, Ae pnxn固定.o(x)=x :5．复数域C看成是自身上的线性空间6.C看成是实数域R上的线性空间，α(x)=x·

例4 下列变换中，哪些是线性变换？ 3．在线性空间V中，           , V 非零固定. 4．在 P n n 中，   , n n  X AX A P    固定. 2．在 P x [ ]n 中，   2  f x f x ( ) ( ).  1．在 中， 3 R   x x x x x x x 1 2 3 1 2 2 3 , , (2 , , ).    5．复数域C看成是自身上的线性空间， ( ) . x x  6．C看成是实数域R上的线性空间， ( ) . x x  三、有关例子

第七章知识框架运算（加数乘乘方幂逆）一一对应关系线性变换的矩阵^相似原像与像的坐标关系特征值，特征向量（求法）线性变换对角化人对角化的判定方法特征子空间不变子空间>值域与核及其关系应用（空间分解）最小多项式及性质

                             （加 数乘 乘 方幂 逆） 一一对应关系 相似 原像与像的坐标关系 特征值，特征向量（求法） 对角化的判定方法 特征子空间 值域与核及其关系 应用（空间分解） 运算 线性变换的矩阵 对角化 不变子空 线性变 间 最小多项式及性质 换 第七章知识框架

$ 7. 2线性变换的运算线性变换的乘积及其运算规律一、纟二、 线性变换的和三、线性变换的数量乘法四、线性变换的逆五、线性变换的多项式

一、线性变换的乘积及其运算规律 二、线性变换的和 §7.2 线性变换的运算 三、线性变换的数量乘法 四、线性变换的逆 五、线性变换的多项式