陕西师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第三章 线性方程组

第三章线性方程组线性方程组的基本问题是：它有没有解？如果有解有多少组解？如何解？以及解的结构问题

第三章 线性方程组 线性方程组的基本问题是：它有没有解？如果有解， 有多少组解？如何解？以及解的结构问题

消元法S 3. 1一、一般线性方程组的基本概念二、消元法解一般线性方程组三、齐次线性方程组

一、一般线性方程组的基本概念 二、消元法解一般线性方程组 三、齐次线性方程组

一、一般线性方程组的基本概念1：一般线性方程组是指形式为axi +ai2X +... + ainxn = ba2iXj + a22X2 + ... + a2nxn = b,(1)asxj +asx, +...+asnx,=b的方程组，其中xi,x2,x,代表r个未知量的系数s是方程的个数；a(i=1,2,,S,j=1,2,,n)称为方程组的系数；b.（i=1,2,,s）称为常数项

1．一般线性方程组是指形式为 (1) 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n s s sn n s a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b                  是方程的个数 ; ( 1,2, , , 1,2, , ) ij s a i s j n   1 2 , , , n 的方程组，其中 x x x 代表 n 个未知量的系数， 称为方程组的系数； ( 1,2, , ) 称为常数项 。 i b i s  一、一般线性方程组的基本概念

2.方程组的解设k,kz,,k,是n个数，如果x,xz,,x分别用kj,kz,,k，代入后，(1)中每一个式子都变成恒等式则称有序数组（ki,k2,,kn)是（1）的一个解(1)的解的全体所成集合称为它的解集合无解解集合是空集时就称方程组（1）3.同解方程组如果两个线性方程组有相同的解集合，则称它们是同解的

2．方程组的解 设 是 个数，如果 分别用 1 2 , , , n k k k n 1 2 , , , n x x x 1 2 , , , n k k k 代入后，(1)中每一个式子都变成恒等式, 则称有序数组 1 2 是（1）的一个解. ( , , , ) n k k k (1)的解的全体所成集合称为它的解集合． 解集合是空集时就称方程组（1）无解． 3．同解方程组 如果两个线性方程组有相同的解集合，则称它们 是同解的．

4方程组的系数矩阵与增广矩阵au a22a21an2矩阵A=aslas2a.sn称为方程组（1）的系数矩阵6aua12aYb,a2na21a22而矩阵A=baa.as2sn称为方程组（1）的增广矩阵

4．方程组的系数矩阵与增广矩阵 矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n s s sn a a a a a a A a a a            称为方程组（1）的系数矩阵 ; 而矩阵 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 n n s s sn s a a a b a a a b A a a a b            称为方程组（1）的增广矩阵．

二、消元法解一般线性方程组解线性方程组1.引例2x -x, -3x, =12x-2x2-x=13x +2x2 -5x, = 0解：第二个方程乘以2，再与第一个方程对换次序得Xi -X2 -X = 22x -x2 -3x =13x +2x2-5xg= 0第二个方程减去第一个方程的2倍，第三个方程减去第一个方程的3倍，得

1．引例 解：第二个方程乘以2，再与第一个方程对换次序得 第二个方程减去第一个方程的2倍， 二、消元法解一般线性方程组 解线性方程组 1 2 3 1 1 1 2 2 2 1 2 3 1 2 3 2 3 1 1 3 2 5 0 x x x x x x x x x               1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 3 1 3 2 5 0 x x x x x x x x x               第三个方程减去第一个方程的3倍，得

X -X2 -X = 2X2 - xs = -35x, - 2xg = -6第三个方程减去第二个方程的5倍，得Xi -X2 -X = 2X2 - Xg = -33xg = 91，得第三个方程乘以3Xi -X2 - X =2X2 -Xs = -3x=3

第三个方程减去第二个方程的5倍，得 1 2 3 2 3 2 3 2 3 5 2 6 x x x x x x x               1 2 3 2 3 3 2 3 3 9 x x x x x x             第三个方程乘以 ，得 1 3 1 2 3 2 3 3 2 3 3 x x x x x x            

第一个方程加上第三个方程；第二个方程加上第三个方程，得Xi -x2 = 5x, = 0X3 =3这样便求得原方程组的解为X=5x =0[=3或 (5,0,3)

1 2 2 3 5 0 3 x x x x          第一个方程加上第三个方程； 第二个方程加上第三个方程，得 这样便求得原方程组的解为 1 2 3 5 0 3 x x x         或 (5,0,3)

2.线性方程组的初等变换定义线性方程组的初等变换是指下列三种变换(1)用一个非零的数乘某一个方程（2）将一个方程的倍数加到另一个方程上：(3)交换两个方程的位置性质线性方程组经初等变换后，得到的线性方程组与原线性方程组同解

定义 线性方程组的初等变换是指下列三种变换 （1） 用一个非零的数乘某一个方程； （2）将一个方程的倍数加到另一个方程上； （3） 交换两个方程的位置． 性质 线性方程组经初等变换后，得到的线性方程 组与原线性方程组同解． 2．线性方程组的初等变换

如对方程组（1）作第二种初等变换：aixi +ai2X2 +... +ainxn = b,a21xi +a22x, +... +a2nx, = b,(1)asix, +as2x, +...+asnxn =b简便起见，不妨设把第二个方程的k倍加到第一个方程得到新方程组（1'）：(au + ka21)x; +(a12 + ka22)x, +... +(ain + ka2n)x, = b, + kb,a21, +a2X, + ...+ a2nx, = b,(1)asij +as2x2 +...+asx, =bsn设（Cj,C2，,cn是方程组（1）的任一解，则

11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 (1) n n n n s s sn n s a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b                  11 21 1 12 22 2 1 2 1 2 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) n n n n n s s sn n s a ka x a ka x a ka x b kb a x a x a x b a x a x a x b                      如对方程组（1）作第二种初等变换: 简便起见，不妨设把第二个方程的k倍加到第一个 方程得到新方程组（1'）． （1'） 设 ( , , , ) c c c 1 2 n 是方程组（1）的任一解，则