重庆医科大学：《线性代数》课程教学课件（讲稿）第三章 矩阵的初等变换与线性方程组

第三章矩阵的初等变换与线性方程组

第三章 矩阵的初等变换 与 线性方程组

克拉默法则知识点回顾：aux,+ai2x,+...+ainx,=ba2iX,+a22X,+...+a2nx,=b,(1)设anX, +anx, +...+anx, =b结论1#如果线性方程组（1)的系数行列式不等于零，则该线性方程组一定有解，而且解是唯一的．（P.24定理4）结论1如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零（P.24定理4’）用克拉默法则解线性方程组的两个条件：线性方程组的解受哪些因素(1）方程个数等于未知量个数：的影响？修(2）系数行列式不等于零?

知识点回顾：克拉默法则 结论 1 如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，则 该线性方程组一定有解,而且解是唯一的.（P. 24定理4） 结论 1′如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的 系数行列式必为零. （P.24定理4'） 设 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 (1) n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b                    用克拉默法则解线性方程组的两个条件： (1) 方程个数等于未知量个数； (2) 系数行列式不等于零. 线性方程组的 解受哪些因素 的影响？

s 1矩阵的初等变换初等变换的概念矩阵之间的等价关系初等变换与矩阵乘法的关系一四、初等变换的应用

§1 矩阵的初等变换 一、初等变换的概念 二、矩阵之间的等价关系 三、初等变换与矩阵乘法的关系 四、初等变换的应用

一、矩阵的初等变换(Elementary Transformation)引例：求解线性方程组2xi - X2 - X+ X4 =2,12Xi + X2-2x + X4 =4,③4x, -6x, +2x -2x4 = 4,3x, +6x, -9x, +7x4 =9.?

引例：求解线性方程组 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 2, 2 4, 4 6 2 2 4, 3 6 9 7 9. x x x x x x x x x x x x x x x x                        ① ② ③ ④ 一、矩阵的初等变换(Elementary Transformation)

[2 - X - X+ X= 2,12xi+X-2x+x=4,34x-6x2+2x-2x4=4,43x +6x2-9x+7x4 =9.1+②③:21X+ X-2x+ x4 =4,2x - X2- X+ X =2,2

①②③④ 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 4, 2 2, 2 3 2, 3 6 9 7 9. x x x x x x x x x x x x x x x x                     1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 2, 2 4, 4 6 2 2 4, 3 6 9 7 9. x x x x x x x x x x x x x x x x                     ① ② ③÷ 2 ①②③④

1Xi + X,-2x + X4 =4,22x- X - X+ x =2,32x -3x2 + X - x =2,43x, +6x2 -9x, +7x4 = 9.③-2×①④-3×①x, + x,-2x,+ x4

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 4, 2 2, 2 3 2, 3 6 9 7 9. x x x x x x x x x x x x x x x x                     ② － ③ ③ － 2×① 1 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 4, 2 2 2 0, 5 5 3 6, 3 3 4 3. x x x x x x x x x x xxx                     ④ － 3×① ①②③④①②③④

?:4,X,+ x-2x+ x=22x, -2x +2x4 = 0,3-5x, + 5x -3x4 = -6,43x, -3x, +4x4 =-3.②)-2③+5×②④-3×②x, + x,-2x+ x =

1 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 4, 2 2 2 0, 5 5 3 6, 3 3 4 3. x x x x x x x x x x xxx                     ② ÷ 2 ③ ＋ 5×② 1 2 3 4 2 3 444 2 4, 0, 2 6, 3. x x x x x x xxx                ④ － 3×② ①②③④①②③④

4.Xi+ X -2x + X =20,X- X+ =32x4 = -6,4X4 = -3.④-2×③1X+ X-2x+ X =2X- X+ X= 0

1 2 3 4 2 3 444 2 4, 0, 2 6, 3. x x x x x x xxx                ④ － 2×③ 1 2 3 4 2 3 44 2 4, 0, 3, 0 0. x x x x x x xx               ③ ④ ①②③④①②③④

①4,Xi+ X2-2x + X =②:0,X X+ X=3X4 = -3,恒等式40= 0.取x为自由变量，则Xi3c+3X2令x=c，则X:=C01X3C0-3

1 2 3 4 2 3 4 4 2 4, 0, 3, 0 0. x x x x x x x x                  取 x3 为自由变量，则 1 3 2 3 4 4, 3, 3. x x x x x            令 x3 = c ，则 1 2 3 4 4 3 3 x c x c X x c x                              恒等式 1 4 1 3 . 1 0 0 3 c                            ① ② ③ ④

三种变换：V交换方程的次序，记作①一→①；V以非零常数k乘某个方程，记作①×k；一个方程加上另一个方程的k倍，记作①+k①结论：其逆变换是：1.由于对原线性方程组施行的变因此变换前后换是可逆变换，①1?的方程组同解①xk①:k2.在上述变换过程中，实际上只对方程组的系数和常数进行运①-k①i)+k1算，未知数并未参与运算

三种变换： 交换方程的次序，记作 ； 以非零常数 k 乘某个方程，记作 ； 一个方程加上另一个方程的 k 倍，记作 . 其逆变换是： 结论： 1. 由于对原线性方程组施行的变 换是可逆变换，因此变换前后 的方程组同解. 2.在上述变换过程中，实际上只 对方程组的系数和常数进行运 算，未知数并未参与运算． i j i ×k i ＋k j i j i ×k i +k j i j i ÷k i －k j