第二章一阶微分方程的初等解法主要是介绍几类微分方程的初等积方法，即限于微分方程历史的第一个时期：十七世纪的后二十五年至十八世纪所得到的求解微分方程解的成果。求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一目求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究《常微分方程》教学课件广东第二师范学院结束首页市
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 第二章 一阶微分方程的初等解法 主要是介绍几类微分方程的初等积方法，即限于微分 方程历史的第一个时期：十七世纪的后二十五年至十八 世纪所得到的求解微分方程解的成果。 求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦 求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解 。也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况 ，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能 ，还有助于进行关于解的其他研究
2.1变量分离方程与变量变换变量分离方程的求解二、可化为变量分离方程的类型三、应用举例A教学课件《常微分方程》广东第二师范学院首页F结束一市二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 2.1 变量分离方程与变量变换 二、可化为变量分离方程的类型 三、应用举例 一、变量分离方程的求解
$2.1变量分离方程与变量变换d =x2(y2 +1)先看例子：dy=ye'eye'tydx莱布尼茨提出了常微分方程的变量分离法f(x)p(y)(2.1)方程，对于形如的并于1691年函告惠更斯同年，他还给出=（）的求解方法。XAM《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页上二南结束二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 §2.1 变量分离方程与变量变换 x y ye dx dy + = ( 1) 2 2 = x y + dx dy y x = ye e 先看例子： 莱布尼茨提出了常微分方程的变量分离法。 对于形如的 方程， 并于1691年函告惠更斯。 同年，他还给出 的求解方法。 f (x) ( y) (2.1) dx dy =
dy - F(x,y)形如定义1dxdy = f(x)p(y)(2.1)dx方程，称为变量分离方程这里f(x),(y)分别是x,y的连续函数A7《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页结束一市二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 定义1 形如 f (x) ( y) (2.1) dx dy = 方程,称为变量分离方程. 这里f (x),(y)分别是x, y的连续函数. F(x, y) dx dy =
dy(2.1)f(x)p(y)变量分离方程的求解dx10分离变量，当β(y)±0时,将(2.1)写成dyf(x)dx,这样变量就“分离”开了，p(y)20两边积分得[-1d+(2.2)f(x）的某一原函数的某一原函数p(y)由(2.2)所确定的函数y=(x,c)就为(2.1)的解A二《常微分方程》教学课件广东第二师范学院结束首页上市二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 一、变量分离方程的求解 1 , 0 分离变量( ) , ( ) f x dx y dy = 这样变量就“分离”开了. ( ) (2.2) ( ) f x dx c y dy = + 的某一原函数 ( ) 1 y f (x)的某一原函数 由(2.2)所确定的函数y =(x,c)就为(2.1)的解. f (x) ( y) (2.1) dx dy = 2 0 两边积分得当(y) 0时,将(2.1)写成
dy =x2(2+1)例：dxdyx?dx分离变量：2+1d=[xdx+C两边积分：11+CarctanyX3AM《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页结束一市二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 例： ( 1) 2 2 = x y + dx dy x dx y dy 2 2 1 = + x dx C y dy = + + 2 2 1 y = x +C 3 3 1 arctan 分离变量: 两边积分:
若存在yo,使p(yo)=0,则y=y也是(2.1)的解,可能注：它不包含在方程（2.2）的通解中必须予以补上dyV=y(1例1求微分方程的所有解dx10方程两边同除以y(1-)解：再积分10dy=[dx+cyv(110yIn积分得：=x+C10-yA二《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页F结束一市二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 (2.2) , . , ( ) 0, (2.1) , 0 0 0 它不包含在方程 的通解中 必须予以补上 注: 若存在y 使 y = 则y = y 也是 的解 可能 例1 求微分方程 ) 10 (1 y y dx dy = − 的所有解. 解: 方程两边同除以 ),再积分 10 (1 y y − 1 ) 10 (1 dx c y y dy = + − 积分得: 1 10 ln x c y y = + −
从上式中解出v.再将常数记为c.得10C+0.V=-x1+ce由(1-)=0,求出方程的所有解为y=0和y=1010故方程的所有解为：10c为任常数，和y=0y福1+ceyIn=X十C10-yA二7《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页结束
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 从上式中解出y,再将常数记为c,得 , 1 10 x ce y − + = c 0. ) 0, 0 10, 10 (1− = y = y = y 由y 求出方程的所有解为 和 故方程的所有解为: , , 1 10 c为任常数 ce y −x + = 和y = 0. 1 10 ln x c y y = + −
3-dy-2-求微分方程X例2的通解dx3y 2dy=-dx解：分离变量后得x: -2y 2 = n|x+ci两边积分得：44整理后得通解为：y(In|x|+c)?(n|cxl)2此外还有解y=0,这个解未包含在通解中，应补上A二《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页上一二市结束二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 解: 分离变量后得 dx x y dy 1 2 3 = − 两边积分得: 1 2 1 − 2y = ln x + c − 整理后得通解为: 2 1 (ln ) 4 x c y + = , (ln ) 4 2 cx = 此外还有解y = 0,这个解未包含在通解中,应补上. 例2 2 3 y dx dy 求微分方程 x = 的通解
例3求微分方程dyp(x)ydx的通解,其中p(x)是x的连续函数d=p(x)dx解：将变量分离后得y: In||= p(x)dx +ci两边积分得：由对数的定义有[=e p(a)da+eA二《常微分方程》教学课件广东第二师范学院F结束首页上市二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 例3 求微分方程 p x y dx dy = ( ) 的通解,其中p(x)是x的连续函数. 解: 将变量分离后得 p x dx y dy = ( ) 两边积分得: 1 ln y = p(x)dx + c 由对数的定义有 1 p( x)d x c y e + =