广东第二师范学院：《常微分方程》课程教学资源（PPT课件）第五章 线性微分方程组 5.2 线性微分方程组的一般理论

5.2线性微分方程组的一般理论一齐次线性微分方程组二非齐次线性微分方程组国教学课件《常微分方程》广东第二师范学院首页f-结束市二面

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 5.2 线性微分方程组的一般理论 一 齐次线性微分方程组 二 非齐次线性微分方程组

一阶线性微分方程组：dx = A()x+ f(0), (5.14)dt这里A(t）和f(t）在a<t<b上连续若f(t)=0则(5.14)变为dx=A(t)x,(5.15)dt称（5.15）为一阶齐线性微分方程组若f()≠0,则称(5.14)为非齐线性微分方程组A《常微分方程》教学课件广东第二师范学院结束首页一市二面

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 ( ) ( ), (5.14) dx A t x f t dt = + 这里 和 在 上连续 A t f t a t b ( ) ( ) ,   一阶线性微分方程组: 若 则 变为 f t( ) 0 (5.14) = ( ) , (5.15) dx A t x dt = 称(5.15)为一阶齐线性微分方程组. 若 则称 为 f t( ) 0, (5.14)  非齐线性微分方程组

dx一齐次线性微分方程组= A(t)x, (5.15)dt1叠加原理如果x（t),xt)..，x（t)是方程组(5.15)的m个解定理2则它们的线性组合cx（t）+cx（)+.+cmxmt）也是方程组(5.15)的解,这里c,C2,…·cm是任常数证明：由于x,(t)(i=1,2,m)是方程组(5.15)的m个解dx,(@ - A(0)x,(0), i=1,2,., m则有dtmddx() -c, A(t)x,()所以Lcx,(t)-Ecdtdti-1i1i-1m=A(t)Ecx,(t)i-1二《常微分方程》教学课件广东第二师范学院上二市结束首页

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 一 齐次线性微分方程组 1 叠加原理 1 2 1 1 2 2 1 2 ( ), ( ) , ( ) (5.15) , ( ) ( ) ( ) (5.15) , , , . m m m m x t x t x t c x t c x t c x t c c c + + + 如果 是方程组 的m个解 则它们的线性组合 也是 方程组 的解 这里 是任常数 定理2 证明: ( )( 1,2, ) (5.15) i 由于 是方程组 的m个解 x t i m = 则有 ( ) ( ) ( ), 1,2, , i i dx t A t x t i m dt = = 所以 1 ( ) m i i i d c x t dt =  1 ( ) m i i i dx t c dt = =  ( ) ( ) A t x t i 1 ( ) ( ) m i i i A t c x t = =  1 m i i c = =  ( ) , (5.15) dx A t x dt =

2函数向量组线性相关与无关定义设x(t),x2(t),,xm()是一组定义在区间[a, b)上的函数列向量，如果存在一组不全为零的常数CC,…,Cm，使得对所有a≤t≤b，有恒等式Cx(t)+cx(t)+...+cmxm(t)=0则称x（)（)，.xm)在区间[a,bl上线性相关否则就称这组向量函数在区间[a,b]上线性无关A《常微分方程》教学课件广东第二师范学院上二市结束首页二面

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 2 函数向量组线性相关与无关 定义 设 1 2 ( ), ( ), , ( ) m x t x t x t 是一组定义在区间[ , ] a b 上的函数列向量，如果存在一组不全为零的常数C1 , C2 , ., Cm , 使 得对所有 a t b   ，有恒等式 否则就称这组向量函数在区间[ , ] a b 上线性无关. 则称 1 x t( ), 2 x t( ) , ., ( ) m x t 在区间[ , ] a b 上线性相关; 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 m m c x t c x t c x t + + + 

例1证明：函数向量组cos?t[1-sin't1x(t) =1,x(0)=2tt在任何区间都是线性相关的取c =1,cz=-1,则证明：[o]cos"t-(l-sin"t)01-1cx(t)+cx(t)二Vt0t-t故x(t),x(t)在任何区间线性相关K\教学课件《常微分方程》广东第二师范学院首页上一页结束下面

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 证明: 1 2 取 则 c c = = − 1, 1, 1 1 2 2 c x t c x t ( ) ( ) + t 1 2 故x t x t ( ), ( )在任何区间线性相关 例1 证明:函数向量组 2 1 cos ( ) 1 , t x t t     =       在任何区间都是线性相关的. 2 2 1 sin ( ) 1 , t x t t   −   =       2 2 cos (1 sin ) 1 1 t t t t   − −   = −     −   0 0 , 0     =      

例2证明：函数向量组21et0ee31x;(t)=0 , x (0)=e3t,xg(t)=e~0在（-00,+00）上线性无关证明：要使2t0eeo=00+C2+C3cx(t)+cx(t)+cx(t)=C0MA《常微分方程》教学课件广东第二师范学院上一真结束首页二面

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 证明: 要使 1 1 2 2 3 3 c x t c x t c x t ( ) ( ) ( ) + + 2 3 3 1 2 3 0 0 1 0 t t t t t e e c c e c e e −             = + +                    0 例2 证明:函数向量组 1 ( ) 0 , t t e x t e −     =       3 2 0 ( ) , 1 t x t e     =       在(- ,+ )上线性无关.   2 3 3 ( ) , 0 t t e x t e     =      

则需e2,e'070Ce31e30=0C2-8<t<+8ev1010Ce21e'0因为e3e30=-2e"+0,Vt0lev1所以C=C2=C=0故x(),x(),x,(t)线性无关AM教学课件《常微分方程》广东第二师范学院首页上一页结束二面

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 2 1 3 3 2 3 0 0 0 0 , 1 0 0 t t t t t e e c e e c t e c −           = −    +                则需 因为 2 3 3 0 0 1 0 t t t t t e e e e e − 4 2 t = − e  0, 所以 1 2 3 c c c = = = 0, 1 2 3 故 x t x t x t ( ), ( ), ( ) 线性无关. t

3函数向量组线性相关与无关的判别准则(1)Wronsky行列式设有n个定义在a≤t≤b上的向量函数Xin(t)X(t)Xi2(t)X2(t)X2n(t)X22(t)x(t)=x(0)=x(t).xm(t)x2(t)xm(t)nn由这n个向量函数所构成的行列式Xin(t)X12(t)x.(t)X22(t)X2n(t)2i(t)·W[x(t),x,(t),...x,(t)]=W(t)..-...Xm(t)Xn2(t)xm(t)称为这n个向量函数所构成的Wronsky行列式I《常微分方程》教学课件广东第二师范学院结束首页

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 3 函数向量组线性相关与无关的判别准则 (1) Wronsky行列式 设有n a t b 个定义在   上的向量函数 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) , , ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n nn x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t             = = =                               由这n个向量函数所构成的行列式 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ), ( ), ( )] ( ) , ( ) ( ) ( ) n n n n n nn x t x t x t x t x t x t W x t x t x t W t x t x t x t  称为这n个向量函数所构成的Wronsky行列式

(2）定理3如果向量函数x(),x()..,x)在a≤t<b上线性相关则它们的Wronsky行列式W（t）=O,a≤t≤b证明：因x(t),x(t).,x(t)在a≤t<b上线性相关从而存在不全为零的常数c,,…,C，使cx(t)+c,x,()+...+c,x,(t)=0,a<t<b故对任一确定的t。=[a,b],有xi(to)+cx(to)+...+c,x,(to)=0即常向量组x(to),xz(to),x,(t)线性相关,故W(t)=0,由t的任意性有w(t)=0a≤t≤b二《常微分方程》教学课件广东第二师范学院T结束首页市

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 (2)定理3 1 2 ( ), ( ) , ( ) , ( ) 0, . n x t x t x t a t b W t a t b      如果向量函数 在 上 线性相关 则它们的Wronsky行列式 证明: 1 2 ( ), ( ) , ( ) , n 因 在 上线性相关 x t x t x t a t b  1 2 , , , n 从而存在不全为零的常数 ,使 c c c 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 0, n n c x t c x t c x t a t b + + +    0 故对任一确定的 有 t a b [ , ], 1 0 2 0 0 ( ), ( ) , ( ) n 即常向量组 线性 x t x t x t 0 故W t( ) 0, = 0 由 的任意性 t 有W t a t b ( ) 0, .    1 1 0 2 2 0 0 ( ) ( ) ( ) 0, n n c x t c x t c x t + + + = 相关

(3)定理4如果（5.15）的解x(t),x(t).,x(t)线性无关则它们Wronsky的行列式W（t）+O,a≤t<b“反证法”若有tE[a,b]使得W（t）=0证明：则数值向量组x(to),x(to)..,x,(to)线性相关从而存在不全为零的常数c,c…c，使得cx(to)+cx(t)+...+c,x,(to)=0,(5.17)现在考虑函数向量x(t)=cx(t)+cx(t)+...+cnx(t)由定理2知,x(t)是(5.15)的解A\《常微分方程》教学课件广东第二师范学院结束首页上市

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 (3)定理4 1 2 ( ), ( ) , ( ) , ( ) 0, . n x t x t x t W t a t b    如果(5.15)的解 线性无关 则它们Wronsky的行列式 证明: 0 0 “反证法” 若有 使得 t a b W t  = [ , ], ( ) 0, 则 1 0 2 0 0 ( ), ( ) , ( ) n 数值向量组 线性相关, x t x t x t 1 2 , , , n 从而存在不全为零的常数 ,使得 c c c 1 1 0 2 2 0 0 ( ) ( ) ( ) 0, (5.17) n n c x t c x t c x t + + + = 现在考虑函数向量 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n n x t c x t c x t c x t + + + 由定理2知, x t( ) (5.15) , 是 的解