§3.4 奇 解 教学目的 了解包络和奇解的定义，掌握它们的求法 教学要求 掌握包络和奇解的概念及其之间的关系，掌握奇解的求法。 教学重点 包络和奇解的求法。 教学难点 奇解及其求法 教学方法 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 教学手段 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 一、包络和奇解 1．包络的定义： 定义、设给定原参数曲线族 (x, y,c) = 0 （3.23） 其中 C 是参数， (x, y,c) = 0 是 x,y,c 的连续可微函数，曲线族 (3.23)的包络是指：它本身并不包含在曲线(3.23)中，但过这曲线 的每一点有(3.23) 的一条和它在这点相切 例如 曲线族 2 2 2 (x − c) + y = R （C 为参数，R 为整数） 表示以(c,0)为心，半径为 R 的一族圆，此曲线的包络显然为：y=R 和 y=－R 注：一般曲线族并不一定有包络， 0 y 圆心圆族
2．包络的求法 曲线族(3.23)的包络包含在下列两方程， ( , , ) 0 ( , , ) 0 ' = = x y c x y c 消去 c 而得到的曲线之中，此曲线称为(3.23)的 c 一到引曲线 注：c-判别有时，除包络外，还有其它曲线 例1． 求曲线族 ( ) 0 3 2 ( ) 2 3 y − c − x − c = (3.20) 的包络 解：将(3.20)对 c 求导，得 ( ) 0 2 y − c − x − c = (3.31) 为了从(3.32)及(3.31)消去 c,将(3.31)代入(3.30),得 ] 0 3 2 ( ) [( ) ( ) 0 3 2 ( ) 3 4 3 − − − = − − − = x c x c x c x c 即 从 x-c=0,得 y=x (3.32) 从 x-c- 3 2 =0 得 y=x- 3 2 (3.33) 因此 c-判别曲线包括两条曲线(3.22)和(3.33),容易验证 y=x 不是包络，而直 线 y=x- 3 2 是包络。 3．奇解的定义 定义.微分方程的某一个解称为奇解，如果在这个解的每一点上至少还有方 程的另外一个解存在。 注：一阶微分方程的通解包络一定是奇解，反之微分方程的奇解（若存在）也 是微分方程通解的包络。 如：方程 2 ( ) 3 2 x dx dy x dx dy y = − + 的解为： 为任整数 此外 也是它的解 e x cx c c ， y x y 3 2 3 , 2 = + + = y= cx e 。 x y e x 是通解 2的包络 3 3 2 = + + 4.奇解的求法
方程 ( , , ) = 0 dx dy f x y (3.14) 的奇解包含在由方程组 '( , , ) 0 ( , , ) 0 = = f x y p f x y p (3.14) 消去 P 而得到的曲线中,这里 f (x, y, p) 是 x,y,p 的连续可微函数, 例 2,求方程 ( ) 1 0 2 2 + y − = dx dy 的奇解 解 从 2 0 1 0 2 2 = + − = p p y 消去 P 得到 P-判别式曲线 y = 1 容易验证,此两直线都是方程的奇解,因为容易得到原立程的通解为 y = sim(x + c) 而 y = 1 正是可微方程的解,且正好是通解的包括. 二,克莱罗,称为 Clairaut 方程.这里 dx dy p = , f ( p) 是 P 连续可微函数. 将(3.16)两边对 X 求导,可以将 dx dy p = 代入,得到 dx dy p f p dx dy p = x + + '( ) 即 (x + f '( p)) = 0 dx dy 如果 = 0 dx dy ,则得到 p = c 将它代入(3.36).得到 y = ax + f (c) (3.37) 这里的 C 为任意常数,这就是(3.36)的通解 如果 x + f '( p) = 0 ,将它和(3.36)合起来 '( ) '( ) 0 y xp f p x f p = + + = 消去 P 也得到方程一个解
(求此解正好是从通通解求思路一样,此解也是通解的条件) 例 3,求解方程 _ y = xp+ p 解,这是 Clairaut 方程,因而它的就是 c y cx 1 = + 从 c y cx c x 1 0 1 2 = + − = 消去 C 得到方程解 y 4x 2 = y 4x 2 = 为 c y cx 1 = + 的解