第一章绪论教学目的了解微分方程的基本概念及例子教学要求了解微分方程与生产实践的关系，掌握微分方程的有关基本概念教学重点通过讲授微分方程一些具体的应用实例，使学生认识到学习本课程的重要性；基本概念（阶、线性、非线性、解、特解、通解、初始条件、初值问题、积分曲线与方向场）教学难点分析模型，通解的定义教学方法讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。教学手段传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。课题导入常微分方程是现代数学的一个重要分支，是人们解决各种实际问题的有效工具，它在几何，力学，物理，电子技术，自动控制，航天，生命科学，经济等领域都有着广泛的应用，本章将通过几个具体例子，粗略地介绍常微分方程的应用，并讲述一些最基本概念微分方程的概念和实例弄清一个问题中度量之间的函数关系及其变化趋势对问题的解决往往有着至关重要的作用，但在一些较复杂的变化过程中，变量之间的函数关系无法直接得到，这时需要在一些理论或经验的基础上找到问题中的一些变量及其导数之间的关系，也就是先找出一个含有未知函数及其导娄所满足的方程，它称为微分方程，然后通过求解这个方程得到变量间的函数关系，或者在微分方程的基础上进行数值计算和渐态研究，从而了解一个系统的发展变化规律，下面先给出一些导出微分方程的例子，再给出微分方程中所涉及的一些定义，一。导出微分方程的一些实际例子为了定量地研究一些实际问题的变化规律，往往是要对所研究的问题进行适当的简化和假设，建立数学模型，当问题涉及变量的变化率时，该模型就是微分方程，下面通过几个典型的例子来说明建立微分方程模型的过程例一镭的衰变规律：设镭的衰变速率与该时刻现有的量成正比，且已知t=0时，镭元素的量为Ro克，试确定在任意时刻t镭元素的量
第一章 绪论 教学目的 了解微分方程的基本概念及例子 教学要求 了解微分方程与生产实践的关系，掌握微分方程的有关基本概念。 教学重点 通过讲授微分方程一些具体的应用实例，使学生认识到学习本课程的重要性；基 本概念（阶、线性、非线性、解、特解、通解、初始条件、初值问题、积分曲线与方向场） 教学难点 分析模型，通解的定义 教学方法 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 教学手段 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 课题导入 常微分方程是现代数学的一个重要分支,是人们解决各种实际问题的有效工 具,它在几何,力学,物理,电子技术,自动控制,航天,生命科学,经济等领域都有 着广泛的应用,本章将通过几个具体例子,粗略地介绍常微分方程的应用,并讲述 一些最基本概念. 微分方程的概念和实例 弄清一个问题中度量之间的函数关系及其变化趋势对问题的解决往往有着 至关重要的作用,但在一些较复杂的变化过程中,变量之间的函数关系无法直接 得到,这时需要在一些理论或经验的基础上找到问题中的一些变量及其导数之间 的关系,也就是先找出一个含有未知函数及其导娄所满足的方程,它称为微分方 程,然后通过求解这个方程得到变量间的函数关系,或者在微分方程的基础上进 行数值计算和渐态研究,从而了解一个系统的发展变化规律,下面先给出一些导 出微分方程的例子,再给出微分方程中所涉及的一些定义. 一. 导出微分方程的一些实际例子 为了定量地研究一些实际问题的变化规律,往往是要对所研究的问题进行适 当的简化和 假设,建立数学模型,当问题涉及变量的变化率时,该模型就是微分方程,下面通 过几个典型的例子来说明建立微分方程模型的过程. 例一 镭的衰变规律: 设镭的衰变速率与该时刻现有的量成正比,且已 知 t=0 时,镭元素的量为 R0克,试确定在任意时刻 t 镭元素的量
解：设t时刻镭元素的量为R（t），由于镭元素的衰变率就是R（t)dR().根据题目中给对时间的变化率Ldt出的衰落变规律，可以得到（下面的一阶微分方程及初始重要重要条件）CdR_-KR(1)dtR (O)=Ro这里K>0,这是由于R(t)随时间的增加而减少.由数分求导的经验知：R(t)=ce-Rt满足微分方程（1），其中c为任意常数，再由R（O)=R有c=R，于是我们得到了镭元(2)素的存量随时间变化的函数表达式R(t)=Roe-k2）式表明，铺元素的存量是按指数规律衰落变的例二R-L-C电路，设有一个由电阻R，电感L，电容C和电源E串联组成的如图所示R-L-C电路，其中R,L及C是常数，电源电动势E（t）是时间t的已知函数.我们要求建立，当开关K合上后，电流I应该满足的微分方程.设电路中的电流为I(t)，电容器上的电量为Q(t)，两极间的电压为Uo，电解：I=, ,=感电势E，由电学知识知道，Odtc由回路电压定律(在闭合回路中，所有支路的电压代数和等于零)得到：E(t)=+RI++R+=(t)即有cdt?dtdtC这就是串联电路的振荡方程.例三。传染病模型.长期以来，建立传染病的数学模型未描述传染病的传播过程，一直是各国有关专家和官员关注的课题.人们不能去做传染病传播的试验以获取数据.所以通常主要是依据机理分析的方法建立模型假设在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变，时间以天为计量单位.假设条件为（1）在时刻t人群中易感染者（健康）和已感染者（病人）在总人数中所占比例分别为S（t）和i（t）(2)每个病人每天有接触的平均人数是，入称日接触率，（病人与健康者接触时，健康者变为病人）解：根据假设，每个病人每天可使S（t）个健康者变为病人.因为病人数Ndi_为Ni（t)，所以每天共有aNS（t)i（t)个健康者被感染，于是病人增加率：dtANSi又因为S(t)+i(t)=l
解: 设 t 时刻镭元素的量为 R(t),由于镭元素的衰变率就是 R(t) 对时间的变化率 dt dR(t) .根据题目中给 出的衰落变规律,可以得到(下面的一 阶微分方程及初始重要重要条件) KR dt dR = − (1) R(0)=R0 这里 K>0,这是由于 R(t)随时间的增加 而减少. 由数分求导的经验知 : R(t)=ce-Rt 满足微分方程(1),其中 c 为任意常数,再由 R(0)=R0有 c=R,于是我们得到了镭元 素的存量随时间变化的函数表达式 R(t)=R0e -Kt (2) (2)式表明,镭元素的存量是按指数规律衰落变的. 例二. R-L-C 电路,设有一个由电阻 R,电感 L,电容 C 和电源 E 串联组成的如 图所示 R-L-C 电路,其中 R,L 及 C 是常数,电源电动势 E(t)是时间 t 的已知函数.我们要求建立,当开关 K 合上后,电流 I 应该满足的微分 方程. 解: 设电路中的电流为 I(t),电容器上的电量为 Q(t),两极间的电压为 U0,电 感电势 EL,由电学知识知道, I= dt dQ ,U0= C Q(t) ,EL=L dt dI , 由回路电压定律(在闭合回路中,所有支路的电压代数和等于零)得到: E(t)=L dt dI +RI+ C Q(t) 即有 L 2 2 dt d Q +R dt dQ + C Q =E(t) 这就是串联电路的振荡方程. 例三. 传染病模型. 长期以来,建立传染病的数学模型未描述传染病 的传播过程,一直是各国有关专家和官员关注的课题.人们不能去做传染病传播 的试验以获取数据.所以通常主要是依据机理分析的方法建立模型. 假设在疾病传播期内所考察地区的总人数 N 不变 ,时间以天为计量单位.假 设条件为(1)在时刻 t 人群中易感染者(健康)和已感染者(病人)在总人数中所占 比例分别为 S(t)和 i(t) (2)每个病人每天有接触的平均人数是 , 称日接触 率.(病人与健康者接触时,健康者变为病人) 解: 根据假设,每个病人每天可使 S(t)个健康者变为病人.因为病人数 为 Ni(t),所以每天共有 NS(t)i(t)个健康者被感染,于是病人增加率: N dt di = NSi 又因为 S(t)+i(t)=1
di再设初始时刻（t=0)的病人的比例为io则=ni(1-i)dtLi (0)=io它的解1为:i(t)=（Logistic模型）-1)e-1+(1.X如从上图可看出(1)为t=时，达到最大值(兴)。，这个时候为t=2dtdt2-1，这时病人增加最快.当t趋于时，i趋于1,即有人群被感染，不符合-1)n(10实际情况，需修正，二、微分方程概念微分方程：凡含有自变量，未知函数及未知函数的导数(或微分)的方程称为
再设初始时刻(t=0)的病人的比例为 i0,则 i(1 i) dt di = − i(0)=i0 它的解 为:i(t)= t e i − + −1) 1 1 ( 1 0 (Logistic 模型) 如 从上图可看出(1)为 t= 2 1 时, dt di 达到最大值( dt di )m ,这个时候为 tm= 1) 1 ( 0 1 − − i n ,这时病人增加最快.当 t 趋于 时,i 趋于 1,即 有人群被感染,不符合 实际情况,需修正. 二、微分方程概念 微分方程: 凡含有自变量,未知函数及未知函数的导数(或微分)的方程称为
微分方程.下面是一些微分方程的例子：+Ky=0(1")dxd'y.=0+xu(2 )dx?dxd'y+sd'y(3')+3y=sinxdx?dx?d'udu(4' )= F(t,u,ndt?dta'u,"u.a'u1=0(5')ax2+ay2+a?常微分方程：如果微分方程中的未知函数只依赖于二个自变量，称为常微分方程（（1’）---（4）如果未知函数依赖于二个或两个以上的自变量，称为偏微分方程（5”）个微分方程中，未知函数的最高阶导娄，称为方程的阶数。（2”）2阶(3）4阶一般的n阶微分方程的一一般形为：d"y)=0(2)F(x,y, ..dx"的已知函数,y是未知函数，,x是自变量.这里F为x,y，…..dx"如果一个微分方程关于未知函数及其各阶导数都是线性的，则称它为线性微分方程，（3）否则称它为非线性微分方程.（2）如果(2)的左式为y及...的一次有理式,则称(2)为n阶线性微分方dx,"dx"程.一般的n阶线性微分方程的一般形式为dy+a,(x)d"-ydy+a.(x)y= f(x), a,(x)(i=1,...n), f(x). +an-(x)dxn-1dx"dx为已知函数，2.解.①如果函数y=p(x）代入方程(2)后，能使它变为恒等式，则称函数y=p(x)为方程(2)的解如y=ce是微分方程崇=-kr的一个解. =ce*是(1’）的一个解.dt
微分方程. 下面是一些微分方程的例子: + Ky = 0 dx dy (1’) ( ) 0 3 2 2 + = dx dy xy dx d y (2’) y x dx d y dx d y 5 3 sin 2 2 2 4 + + = (3’) ( , , ) 2 2 dt du F t u dt d u m = (4’) 0 2 2 2 2 2 2 = + + t u y u x u (5’) 常微分方程: 如果微分方程中的未知函数只依赖于一个自变量,称为常微 分方程( (1’)-(4’) ) 如果未知函数依赖于二个或两个以上的自变量,称为偏微分方程(5’) 一个微分方程中,未知函数的最高阶导娄,称为方程的阶数.(2’) 2 阶 (3’) 4 阶 一般的 n 阶微分方程的一一般形为: F(x,y,. , n n dx d y )=0 (2) 这里 F 为 x,y,., n n dx d y 的已知函数,y 是未知函数,x 是自变量. 如果一个微分方程关于未知函数及其各阶导数都是线性的,则称它为线性微 分方程,(3’) 否则称它为非线性微分方程.(2’) 如果(2)的左式为 y 及 n n dx d y dx dy . , 的一次有理式,则称(2)为 n 阶线性微分方 程.一般的 n 阶线性微分方程的一般形式为 ( ) . ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 a x y f x dx dy a x dx d y a x dx d y n n n n n n + + + − + = − − , a (x)(i 1,2.n), i = f(x) 为已知函数. 2. 解. ①如果函数 y = (x) 代入方程(2)后,能使它变为恒等式,则称函数 y = (x) 为方程(2)的解. 如 kt y ce − = 是微分方程 kr dt dr = − 的一个解. kx y ce − = 是(1’)的一个解
②如果关系式Φ(x,J)=0决定的隐函数y=p(x)是(2)的解，则我们称Φ(x,J)=0是(2)的一个隐式解.如：xdx+ydy=0有隐式解x?+y2-c=0③含有几个相互独立的任意常数c..的解y=(,....)称为n阶微分方程(2)的通解.比如y=p(x,C..c）含有n个相互独立的常数的含义是指存在s.(x,..c）的某一个命题使opopopapac,Ocac,ac.apaapa0ap,p..0#0acOc2Oc,ac4(C....Cn.)Og"-1Op"-1lOp"-!Op"-lac,ac2Oc,ac4y"+V=O的通解.而如y=C,sinx+Ccosx就是二阶线性方程y=c,sinx+c,cosx不是该方程的通解④在通解之中另一组任意常数确定时，所得到确定的解称为特解如y=sinx,y=cosx,y=cosx+sinx为y+y=o的特解③为确定微分方程的一个特解，通常给出这个解所必须满足的条件，这就是定解条件.常驻机构见的定解条件是初始条件，即指n阶微分方程在某一定点xo所满足的条件：dyn-dyi(3) d = yo-(x) .这是xo.为给定的n+1个常数求微分方程满足定解条件的解，就是定解问题.当定解条件为初始条件时，相应的定解问题为初值问题，微分方程(2)连同初始条件（3）一起称为初始问题.如：dR=-kRdtR(0) = Ro
②如果关系式 (x, y) = 0 决定的隐函数 y = (x) 是(2)的解,则我们称 (x, y) = 0 是(2)的一个隐式解. 如: xdx + ydy = 0 有隐式解 0 2 2 x + y − c = . ③含有几个相互独立的任意常数 n c ,c ,.,c 1 2 的解. ( , ,., ) 1 n y = x c c 称为 n 阶微分 方程(2)的通解.比如 ( , ,., ) 1 n y = x c c 含有 n 个相互独立的常 数的含义是指存在 ( , ,., ) 1 n x c c 的某一个命题使 0 . . . . ( , ,., ) ( , ,., ) 4 1 3 1 2 1 1 1 4 ' 3 ' 2 ' 1 ' 1 2 3 4 1 2 ' ( 1) = − − − − − c c c c c c c c c c c c c c c n n n n n n 如 y c sin x c cos x = 1 + 2 就是二阶线性方程 0 '' y + y = 的通解.而 y c sin x c cos x = 1 + 2 不是该方程的通解. ④在通解之中另一组任意常数确定时,所得到确定的解称为特解. 如 y = sin x, y = cos x, y = cos x + sin x 为 y''+y = 0 的特解. ⑤为确定微分方程的一个特解,通常给出这个解所必须满足的条件,这就是定解 条件. 常驻机构见的定解条件是初始条件,即指 n 阶微分方程在某一定点 x0所满足 的条件: 1 1 0 1 0 0 0 0 0 ( ) , ' ,., − − = − = = = = n n x x n x x y dx dy y dx dy y x y (3) 这是 1 0 0 0 0 , , ' ,., n− x y y y 为给定的 n+1 个常数. 求微分方程满足定解条件的解,就是定解问题.当定解条件为初始条件时,相 应的定解问题为初值问题,微分方程(2)连同初始条件(3)一起称为初始问题. 如: 0 R(0) R kR dt dR = = −
就是初始问题例4.验证y=cje+C,e-+c,e2+3是微分方程y"-2y"-y+2y=6的通解，解：把y=ce+c,e+c,e2*+3代入方程左边=(ce* +C,e* +8c,e*)-2(c,e* +C,e"* +4c,e?*)-(cje*-C,e"*+2c,e*)+2(c,e* +Ce"* +C,e?+3)=6=右边故y=Cje"+Ce-*+C,e2*+3为方程的解er e*e2又 (00,g)故是通解.-e-x2e2x+0a(c,C2,cg)Jete4e2三、积分曲线和方向场1．一阶微分方程=f(x,y)(4)dx的解y=p(x)代表xy平面上的一条曲线，称它为微分方程的积分曲线.而（4)的通解y=p(x,c)对立于xy上的一族曲线，称这族曲线为积分曲线族.满足初始条件y(x。）=y。的特解就是通过(xo,yo)的一条积分曲线.比外，方程（4)的积分曲线在每一点(x,y)上的切线斜率崇刚好等于函数(x,")在这点的值.反之,如果在一dx条曲线上每点的切线斜率刚好等于f(x,J)在这点的值.则这条曲线就是（4)的积分曲线.2.设函数f(x,y)的定义域为D.在D内每一点(x,y)处,都画上一个以f(x,y)的值为斜率，中心在(x,y)点的线段，我们把带有这种直线段的值域D称为由方程（4)规定的方向场这种求(4)经过(xo,yo)的曲线，使其上每一点处切线的斜率都与方向场在该点的方向相吻合。在方向场中，方向相同的点的几何轨迹称为等斜线.（4)的等斜线方程为f(x,J)=k其中K为参数.给出K的一系列充分接近的值，就可得到足够密集的等斜线族，借此可以近似的作出（4)的积分曲线，还必须进一步弄清楚积分曲线的极值点和拐点等.显然极值点和拐点如果存在的话，一般地，它们将分别满足方程
就是初始问题. 例 4. 验证 3 2 = 1 + 2 + 3 + x −x x y c e c e c e 是微分方程 y"'−2y"−y'+2y = 6 的通解. 解:把 3 2 = 1 + 2 + 3 + x −x x y c e c e c e 代入方程, 左边= + = = 右边 + + − + + − − + + + + − − − − 3) 6 ( 8 ) 2( 4 ) ( 2 ) 2( 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3 x x x x x x x x x x x x c e c e c e c e c e c e c e c e c e c e c e c e 故 3 2 = 1 + 2 + 3 + x −x x y c e c e c e 为方程的解. 又 0 4 2 ( , , ) ( , ', ") 2 2 2 1 2 3 = − − − − x x x x x x x x x e e e e e e e e e c c c 故是通解. 三、 积分曲线和方向场 1. 一阶微分方程 f (x, y) dx dy = (4) 的解 y = (x) 代表 xy 平面上的一条曲线,称它为微分方程的积分曲线.而(4)的通 解 y = (x,c) 对立于 xy 上的一族曲线,称这族曲线为积分曲线族.满足初始条件 0 0 y(x ) = y 的特解就是通过(x0,y0)的一条积分曲线.比外,方程(4)的积分曲线在 每一点(x,y)上的切线斜率 dx dy 刚好等于函数 f (x, y) 在这点的值.反之,如果在一 条曲线上每点的切线斜率刚好等于 f (x, y) 在这点的值.则这条曲线就是(4)的积 分曲线. 2. 设函数 f (x, y) 的定义域为 D. 在 D 内每一点(x,y)处,都画上一个以 f (x, y) 的值为斜率,中心在(x,y)点的线段,我们把带有这种直线段的值域 D 称为 由方程(4)规定的方向场. 这种求(4)经过(x0,y0)的曲线,使其上每一点处切线的斜率都与方向场在该 点的方向相吻合. 在方向场中,方向相同的点的几何轨迹称为等斜线.(4)的等斜线 方程为 f (x, y) = k 其中 K 为参数.给出 K 的一系列充分接近的值,就可得到足够密集的等 斜线族,借此可以近似的作出(4)的积分曲线,还必须进一步弄清楚积分曲线的极 值点和拐点等.显然极值点和拐点如果存在的话,一般地,它们将分别满足方程
(x, )=0及(,)+af(x,y)=0+ f(x.y)axay例5．研究方程业=1+xy的积分曲线dx解：等斜线是双曲线1+xy=k，特别k=1时双曲线转化为一时直线x=0和y=0,即过x轴和轴和轴上积分曲线有相同的切线方向进一步考虑积分曲线的极值点和拐点，为此令k=0时得1+xy=0，在此双曲线上y=0,y"=y+x(1+xy)=y,可见积分曲线在双曲线的一支（对应于y>0）上的极小值，而在另一支（对应于对应于y的方向场和积分曲dx线.解：在x的网络点点画出方向场的方向
0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 = + = y f x y f x y x f x y f x y 及 . 例5. 研究方程 xy dx dy = 1+ 的积分曲线. 解: 等斜线是双曲线 1+xy=k,特别 k=1 时双曲线转化为一时直线 x=0 和 y=0,即 过 x 轴和轴和轴上积分曲线有相同的切线方向. 进一步考虑积分曲线的极值点和拐点,为此令 k=0 时得 1+xy=0,在此双曲线 上 y' = 0, y" = y + x(1+ xy) = y, 可见积分曲线在双 曲线的一支(对应于 y>0)上的极小值,而在另一 支(对应于对应于 y<0)上达到极大.同样易知积 分曲线的拐点位于曲线 ( 1) 0 2 x + x + y = 上.根据 以上提供的信息,即可画积分曲线的分布概 况.(如图) 例5. 在区域 D ={(x, y)| x | 2,| y | 2} 内画 出方程 y dx dy = − 的方向场和积分 曲 线. 解: 在|x|的网络点点画出方向场的方向