3.2解的延拓教学课件《常微分方程》广东第二师范学院首页F结束南
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 3.2 解的延拓
内容提要局部利普希兹条件>解的延拓的引入延拓方法解的延拓定理推论>解的延拓定理及其推论例子本节要求>理解解的延拓方法。>会应用解的延拓性定理估计解的存在区间。A《常微分方程》教学课件广东第二师范学院结束首页市
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 ➢ 解的延拓的引入 延拓方法 局部利普希兹条件 ➢ 解的延拓定理及其推论 例子 推论 解的延拓定理 内容提要 本节要求 ➢ 理解解的延拓方法。 ➢ 会应用解的延拓性定理估计解的存在区间。 2
() R(,))引例求初值问题d=1+y2, y(0)=0(2)R=((x,y)/x≤1y≤1)dx(3)R=((x,y)/x<1,y≤2)解的存在区间解对任意a,b,函数f(x,y)均在矩形区域R=((x,y)/x<≤a,y<b)内连续，且对有连续的偏导数，计算bM-Masl(x,/-1+b;h=min(a1b(x,y)eRb最大由于a和b都可任意取，我们选取b，使1+62bb为的最大值显然b=1时1+621+b?2二《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页一南结束
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 引例 求初值问题 2 1 , (0) 0 dy y y dx = + = 解的存在区间. 解 对任意a,b, 函数f (x, y)均在矩形区域 R ={(x, y)| x a, y b} 内连续,且对y有连续的偏导数,计算 ( , ) ( , ) M Max f x y x y R = 1 ; 2 = + b } 1 min{ , 2 b b h a + = 由于a和b都可任意取, 我们选取 使 2 最大 1 , b b b + . 2 1 1 1 1 , 显然 时 2 为 2 的最大值 b b b b b + = + = 1 1 {( , ) | 1, } 2 {( , ) | 1, 1} {( , ) | 1, 2} R x y x y R x y x y R x y x y = = = （） （2） （3）
问题提出dy=f(x, ), R:|x- xo/ ≤a,y-yol ≤b,dx对于初值问题y(xo)=yo上节解存在唯一性定理告诉我们在一定条件下它的解在区间x-xl≤h上存在唯，这里h=min(a,),M=Maxf(x,y)(x,y)eRM根据经验，如果f(x，y)的定义域R越大，解的存在唯区间也应越大但根据定理的结论，可能出现这种情况即随着f(x,）的定义域的增大，解的存在唯一区间反而缩小，这显然是我们不想看到的A7《常微分方程》教学课件广东第二师范学院结束首页市
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 问题提出 对于初值问题 , ( ) ( , ) 0 0 = = y x y f x y dx dy : , , R x − x0 a y − y0 b 上节解存在唯一性定理告诉我们,在一定条件下, , 它的解在区间x − x0 h上存在唯一 min( , ), ( , ) ( , ) M Max f x y M b h a x y R 这里 = = , , ( , ) , 区间也应越大 根据经验 如果f x y 的定义域R越大 解的存在唯一 , . ( , ) , , , 缩小 这显然是我们不想看到的 即随着 的定义域的增大 解的存在唯一区间反而 但根据定理的结论 可能出现这种情况 f x y
dy=x?+y?dx例如初值问题y(0)=0当取定义域为R：-1≤x≤1-1≤y≤1时解的存在唯区间x≤h=min1?12当取定义域为R：-2≤x≤2-2≤y≤2时解的存在唯一区间x≤h=min 248正因为如此，上节中所介绍的存在唯一性定理也叫做解的局部存在唯一性定理，这种局部性使我们门感到非常不满意，而且实践上也要求解的存在区间能尽量扩大．这样就需要讨论解延拓的问题．为此先给出下列定义.教学课件广东第二师范学院《常微分方程》上一克面结束首页
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 , (0) 0 2 2 = = + y x y dx dy 例如 初值问题 当取定义域为R:−1 x 1,−1 y 1时, . 2 1 } 2 1 解的存在唯一区间x h = min{1, = 当取定义域为R:−2 x 2,−2 y 2时, . 4 1 } 8 2 解的存在唯一区间x h = min{ 2, =
1饱和解及饱和区间定义1对定义在平面区域G上的微分方程dy(3.1)f(x,y),dx设y=(x）为方程(3.1)定义在区间(αi,β）的连续解若存在方程(3.1)的另解y=(x）,它在区间(α2,β）上有定义，且满足(1)(α2,β)(α,β)但(α2,β)±(α,)(2)当xE(α,β)时,y(x)=(x);则称解y=p(x),xEαi,β）是可延拓的，并且称解y=(x)是解y=p(x)在(α2,β)的一个延拓7《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页结束
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 1 饱和解及饱和区间 定义1 对定义在平面区域G上的微分方程 f (x, y), (3.1) dx dy = ( ) (3.1) ( , ) , 设y = x 为方程 定义在区间1 1 的连续解 有定义 且满足 若存在方程 的另一解 它在区间 上 , (3.1) ( ), ( , ) 2 2 y = x (1) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ), 2 2 1 1 但 2 2 1 1 (2) ( , ) , ( ) ( ); 1 1 当x 时 x = x ( ) ( ) ( , ) . ( ), ( , ) , 2 2 1 1 是解 在 的一个延拓 则称解 是可延拓的 并且称解 y x y x y x x = = =
若不存在满足上述条件的解y=(x）,则称解yp(x),xE（αi，β）为方程的一个不可延拓解，或饱和解此时把不可延拓解的定义区间(α，β）称为个饱和区间2局部李普希茨（Lipschitz）条件定义2若函数f(x,y)在区域G内连续,且对G内的每点P有以P为中心完全含于G内的闭矩形R，存在在R，上f（x，y）关于y满足Lipschitz条件（对不同的点域R，大小和常数L可能不同）则称f（xy）在G内关于y满足局部Lipschitz条件《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页市结束
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 ( ), ( , ) , . ( ), 1 1 为方程的一个不可延拓解 或饱和解 若不存在满足上述条件的解 则称解 = = x x y x y ( , ) . 此时把不可延拓解的定义区间1 1 称为一个饱和区间 2 局部李普希茨(Lipschitz)条件 定义2 . ), ( , ) ( , ) ( , , , ( , ) , 于 满足局部 条件 域 大小和常数 可能不同 则称 在 内关 在 上 关于 满足 条件 对不同的点 一点 有以 为中心完全含于 内的闭矩形 存在 若函数 在区域 内连续 且对 内的每 y Lipschitz R L f x y G R f x y y Lipschitz P P G R f x y G G P P P
对定义2也可如下定义对定义在平面区域G上函数fxy)若对V（xiy）EG矩形R=((x)x-<a-<b)cG及常数L(与x,,a,b有关),使对V(x,y),(x,y)eR有f(x,y)-f(x,y)<Liy-y恒成立，则称f（x，y）在G内关于y满足局部Lipschitz条件注若f(x,y)及f(x,y)在G内连续,则f(x,y)在G内关于y满足局部Lipschitz条件A7《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页一市结束
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 对定义2也可如下定义 与 有关 使对 有 矩形 及常数 对定义在平面区域 上函数 若对 1 ' '' 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( , , , ), ( , ),( , ) {( , )| , } ( , ), ( , ) , L x y a b x y x y R R x y x x a y y b G G f x y x y G = − − ' " 1 ' " f (x, y ) − f (x, y ) L y − y 恒成立,则称f (x, y)在G内关于y满足局部Lipschitz条件. . ( , ) ( , ) , ( , ) 满足局部 条件 若 及 在 内连续 则 在 内关于 y Lipschitz 注 f x y f y x y G f x y G
3解的延拓定理如果方程（3.1)右侧函数fx.v）在有界区域G定理中连续，且在在G内f（x，y）关于y满足局部Lipschitz条件那么方程（3.1）通过G内任点（xy）的解y=0(x）可以延拓，直到点（x(x）任意接近G的边界以向x增大的一方来说，如果y=(x）只延拓到区间x≤xm时，（xp(x））趋于区域G的边界7《常微分方程》教学课件广东第二师范学院-结束首页市
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 3 解的延拓定理 定理 , ( , ( )) . . (3.1) ( , ) ( ) , ( , ) (3.1) ( , ) 0 0 可以延拓 直到点 任意接近 的边界 件那么方程 通过 内任一点 的解 中连续 且在在 内 关于 满足局部 条 如果方程 右侧函数 在有界区域 x x G G x y y x G f x y y Lipschitz f x y G = . , ,( , ( )) , ( ) 0 边界 间 上 则当 时 趋于区域 的 以向 增大的一方来说 如果 只延拓到区 x x m x m x x G x y x → =
V(xo,y）EG,由解存在唯性定理初值问题证明上dy= f(x,y), (2)dxy(xo)=yo存在唯一解y=(x),解的存在唯区间为x-x(二《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页店结束
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 证明 (x0 , y0 )G,由解存在唯一性定理,初值问题 , (2) ( ) ( , ) 0 0 = = y x y f x y dx dy ( ), . 0 h0 存在唯一解y = x 解的存在唯一区间为x − x 则初值问题 取 以 为心作一小矩形 , , ( ), ( , ) 1 1 0 0 1 1 1 1 R G x x h y x x y = + = , (3) ( ) ( , ) 1 1 = = y x y f x y dx dy 1 1 存在唯一解y x x x h = − ( ), 0. 解的存在唯一区间为