《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 § 4.1 高阶线性微分方程的一般理论 § 4.2 常系数高阶线性方程的解法 § 4.3 高阶方程的降阶和幂级数解法 本章内容
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 4.1 线性微分方程的一般理论 一、解的存在唯一性定理 二、齐线性方程的解的结构与性质 三、非齐线性方程与常数变易法
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 3 ➢ 理解高阶齐次线性方程解的性质和解的结构 ➢ 理解高阶非齐次线性方程解的性质和解的结构 本节要求
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 一、解的存在唯一性定理 1 n阶线性微分方程 定义1 阶微分方程 称为 阶线性微分方程 它的一般形式为 未知函数 及其各阶导数 均为一次的 , , , , n n dt d x dt dx x n n ( ) ( ) ( ) (4.1) 1 1 1 a t x f t dt d x a t dt d x n n n n n + + + = − − 其中a (t)(i 1,2, n)及f (t)都是a t b的连续函数. i = 如果f (t) 0,则方程(4.1)变为 ( ) ( ) 0 (4.2) 1 1 + 1 + + = − − a t x dt d x a t dt d x n n n n n 称(4.2)为(4.1)对应的n阶齐线性方程,(4.1)称为非齐线性方程
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 ( ) 0 2 2 2 2 2 + + t − n x = dt dx t dt d x t 2 3 0 2 2 + + x = dt dx dt d x ( ) 2 1 2 2 2 a x f t dt dx a t dt d x t + + = x t dt d x 4 sin 2 2 + = n阶齐线性方程 n阶非齐线性方程
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 2 解的存唯一性定理 定理1 足初始条件 程 存在唯一解 定义于区间 且满 连续函数 则对任一 及任意 方 如果 及 都是区间 的 (4.1) ( ), , , [ , ] , , , , ( )( 1,2, ) ( ) ( ) 0 (1) 0 0 x t a t b t a b x x x a t i n f t a t b n i = = ( 1) 1 0 0 ( 1) (1) 0 0 0 0 ( ) , , ( ) ( ) , − − − = = = n n n x dt d t x dt d t t x
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 二、齐线性方程的解的性质和结构 先讨论n阶齐线性方程 ( ) ( ) 0 (4.2) 1 1 + 1 + + = − − a t x dt d x a t dt d x n n n n n 的一般理论,假设a (t)(i 1,2, n)在a t b上连续. i = 定理2 , , , . ( ) ( ) ( ) (4.2) ( ), ( ) , ( ) (4.2) , 1 2 1 1 2 2 1 2 的解 这里 是任常数 们的线性组合 也是方程 如果 是方程 的 个解 则它 k k k k c c c c x t c x t c x t x t x t x t k + + + 1 叠加原理
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 证明: 由于xi (t)(i =1,2, k)是方程(4.2)的k个解 故有 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 1 1 + 1 + + = − − a t x t dt d x t a t dt d x t n n i i n n i n i =1,2, k 上面的k个等式中,第i个乘ci ,然后相加得 ( ) ( ) 0 1 1 + 1 + + = − − a t x dt d x a t dt d x n n n n n ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 x t c x t c x t c x t 这里 = + ++ k k 故c1 x1 (t) + c2 x2 (t) ++ ck xk (t)是方程(4.2)的解
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 9 问题： k = n 时，若 ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 x c x t c x t c x t = + ++ n n 能否成为方程（4.2）的通解？ y coswx 1 = y 5coswx 2 = y C coswx C 5coswx = 1 + 2 不一定 不包含解 y C sin wx = 2 要使 ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 x c x t c x t c x t = + ++ n n 为方程（4.2）的通解 x (t), x (t), , x (t) 1 2 n 还需满足一定的条件。? 当 x (t), x (t), , x (t) 1 2 n 是齐线性方程的解， 如在上例中
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 例1 验证sint, cost,(t) = c1 sin t +c2 cost是方程 x 0 " + x = 的解. 解: 分别将sint, cost,(t)代入方程有 (sint) sint 0 " + = ( ) + (t) = " t (cost) cost 0 " + = [(sint) sint] " = c1 + [(cost) cost] " + c2 + = 0 " 1 2 (c sin t + c cost) (c sin cos ) 1 2 + t +c t