本章内容S4.1高阶线性微分方程的一般理论S4.2常系数高阶线性方程的解法S4.3高阶方程的降阶和幂级数解法广教学课件《常微分方程》广东第二师范学院首页结束南二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 § 4.1 高阶线性微分方程的一般理论 § 4.2 常系数高阶线性方程的解法 § 4.3 高阶方程的降阶和幂级数解法 本章内容
4.1线性微分方程的一般理论解的存在唯一性定理一二齐线性方程的解的结构与性质三、非齐线性方程与常数变易法-教学课件《常微分方程》广东第二师范学院首页F结束市二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 4.1 线性微分方程的一般理论 一、解的存在唯一性定理 二、齐线性方程的解的结构与性质 三、非齐线性方程与常数变易法
本节要求>理解高阶齐次线性方程解的性质和解的结构>理解高阶非齐次线性方程解的性质和解的结构一教学课件《常微分方程》广东第二师范学院结束首页一市二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 3 ➢ 理解高阶齐次线性方程解的性质和解的结构 ➢ 理解高阶非齐次线性方程解的性质和解的结构 本节要求
一、解的存在唯一性定理1n阶线性微分方程d"xdx均为一次的定义1未知函数x及其各阶导数dtdtnn阶微分方程称为n阶线性微分方程它的一般形式头dn-'xd"x-+a,(t))(4.1)+...+a(t)x=f(t)din-1dt"其中a（t)(i=1,2,..n）及f(t)都是a≤t<b的连续函数如果f(t)=0,则方程(4.1)变为dn-lxd"x(4.2)a(t)..+at)x=0dtn-1dtn称(4.2)为（4.1)对应的n阶齐线性方程（4.1)称为非齐线性方程A\A教学课件《常微分方程》广东第二师范学院T结束首页
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 一、解的存在唯一性定理 1 n阶线性微分方程 定义1 阶微分方程 称为 阶线性微分方程 它的一般形式为 未知函数 及其各阶导数 均为一次的 , , , , n n dt d x dt dx x n n ( ) ( ) ( ) (4.1) 1 1 1 a t x f t dt d x a t dt d x n n n n n + + + = − − 其中a (t)(i 1,2, n)及f (t)都是a t b的连续函数. i = 如果f (t) 0,则方程(4.1)变为 ( ) ( ) 0 (4.2) 1 1 + 1 + + = − − a t x dt d x a t dt d x n n n n n 称(4.2)为(4.1)对应的n阶齐线性方程,(4.1)称为非齐线性方程
d'x一2+(t2-n)x=0L十dt?n阶齐线性方程一d'x一+23x=0+df?d'xdx2+ax=f(t)+a,tdf?dtn阶非齐线性方程d'x一+4x=sintdt?二A教学课件《常微分方程》广东第二师范学院上一真结束首页二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 ( ) 0 2 2 2 2 2 + + t − n x = dt dx t dt d x t 2 3 0 2 2 + + x = dt dx dt d x ( ) 2 1 2 2 2 a x f t dt dx a t dt d x t + + = x t dt d x 4 sin 2 2 + = n阶齐线性方程 n阶非齐线性方程
2解的存唯一性定理定理1如果a（t)i=1,2,...n）及f(t）都是区间a≤tb的连续函数，则对任t[a,b]及任意xox"…,n，方程（4.1)存在唯一解x=(t),定义于区间a≤t<≤b,且满足初始条件d(n-lp(to)dp(to)x(n-1)p(to)=Xo,dtn-idtA《常微分方程》教学课件广东第二师范学院上一真结束首页二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 2 解的存唯一性定理 定理1 足初始条件 程 存在唯一解 定义于区间 且满 连续函数 则对任一 及任意 方 如果 及 都是区间 的 (4.1) ( ), , , [ , ] , , , , ( )( 1,2, ) ( ) ( ) 0 (1) 0 0 x t a t b t a b x x x a t i n f t a t b n i = = ( 1) 1 0 0 ( 1) (1) 0 0 0 0 ( ) , , ( ) ( ) , − − − = = = n n n x dt d t x dt d t t x
二、齐线性方程的解的性质和结构先讨论n阶齐线性方程dn-lxd"x+a,(t)(4.2)...+a,(t)x=0一din-1dtn的般理论假设a（t)(i=1,2,..n)在a≤t<b上连续1叠加原理如果x(t),xz(t).,x(t)是方程(4.2)的k个解,则它定理2们的线性组合cx（t)+cx（t)++cx（t）也是方程（4.2）的解,这里ci,C2,…C,是任常数A二《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页结束-一市
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 二、齐线性方程的解的性质和结构 先讨论n阶齐线性方程 ( ) ( ) 0 (4.2) 1 1 + 1 + + = − − a t x dt d x a t dt d x n n n n n 的一般理论,假设a (t)(i 1,2, n)在a t b上连续. i = 定理2 , , , . ( ) ( ) ( ) (4.2) ( ), ( ) , ( ) (4.2) , 1 2 1 1 2 2 1 2 的解 这里 是任常数 们的线性组合 也是方程 如果 是方程 的 个解 则它 k k k k c c c c x t c x t c x t x t x t x t k + + + 1 叠加原理
证明：由于x(t)(i=1,2,...k)是方程(4.2)的k个解故有d"x,(t)dn-'x,(t)+...+a,(t)x,(t)=0+a,(t)dtn-1dtni=1,2,...k上面的k个等式中第个乘c，然后相加得dn-lxd"x+a,(t)...+a(t)x=0dtn-1dtn这里x(t)=Cx(t)+cx(t)+...+Cix(t)故cx(t)+cx(t)+.….+Cx(t)是方程(4.2)的解。二《常微分方程》教学课件广东第二师范学院结束首页市
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 证明: 由于xi (t)(i =1,2, k)是方程(4.2)的k个解 故有 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 1 1 + 1 + + = − − a t x t dt d x t a t dt d x t n n i i n n i n i =1,2, k 上面的k个等式中,第i个乘ci ,然后相加得 ( ) ( ) 0 1 1 + 1 + + = − − a t x dt d x a t dt d x n n n n n ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 x t c x t c x t c x t 这里 = + ++ k k 故c1 x1 (t) + c2 x2 (t) ++ ck xk (t)是方程(4.2)的解
问题：当k=n时，若x(t),xz(t),,x,(t）是齐线性方程的解，x=cx(t)+cx,(t)+..+c,x,(t)能否成为方程（4.2）的通解？不一定y2=5coswx如在上例中y=COSWXy=Ccoswx+C5coswx不包含解y=C,sinwx要使x=cx(t)+cx(t)+.+cx(t）为方程（4.2）的通解x(t)x(t),x,(t)还需满足一定的条件。?教学课件《常微分方程》广东第二师范学院结束首页
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 9 问题： k = n 时，若 ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 x c x t c x t c x t = + ++ n n 能否成为方程（4.2）的通解？ y coswx 1 = y 5coswx 2 = y C coswx C 5coswx = 1 + 2 不一定 不包含解 y C sin wx = 2 要使 ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 x c x t c x t c x t = + ++ n n 为方程（4.2）的通解 x (t), x (t), , x (t) 1 2 n 还需满足一定的条件。? 当 x (t), x (t), , x (t) 1 2 n 是齐线性方程的解， 如在上例中
例1验证sint,cost,p(t)=c,sint+C,cost是方程X+x=0的解解：分别将sint, cost,p(t)代入方程有(sint)"+sint =0(cost)"+cost=0p (t)+p(t) =(c, sin t+C, cost)+(c, sin t +C, cost)= c,[(sint)"+ sint] +C2[(cost)"+ cost]=0《常微分方程》教学课件广东第二师范学院结束首页上市
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 例1 验证sint, cost,(t) = c1 sin t +c2 cost是方程 x 0 " + x = 的解. 解: 分别将sint, cost,(t)代入方程有 (sint) sint 0 " + = ( ) + (t) = " t (cost) cost 0 " + = [(sint) sint] " = c1 + [(cost) cost] " + c2 + = 0 " 1 2 (c sin t + c cost) (c sin cos ) 1 2 + t +c t