4.27常系数线性微分方程的解法复值函数与复值解常系数齐线性方程和欧拉方程三、常系数非齐线性方程的解法四、质点振动>4教学课件《常微分方程》广东第二师范学院首页F结束市二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 4.2 常系数线性微分方程的解法 一、复值函数与复值解 二、常系数齐线性方程和欧拉方程 三、常系数非齐线性方程的解法 四、质点振动
回忆齐次线性微分方程d"xOX+a(x)+..+a(t)x=f(t)(4.1)din-1dt"非齐次线性微分方程d"xdhX(4.2)+...+a,(t)x=0axdin-1dtn问题：讨论（4.1）－（4.2）的通解？于是有下面两个重要定理A教学课件《常微分方程》广东第二师范学院上一页结束首页二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 ( ) ( ) ( ) (4.1) 1 1 1 a t x f t dt d x a x dt d x n n n n n + + + = − − 1 1 1 ( ) ( ) 0 (4.2) n n n n n d x d x a x a t x dt dt − − + + + = 齐次线性微分方程 非齐次线性微分方程 问题：讨论（4.1）-（4.2）的通解？ 于是有下面两个重要定理 回忆
齐次线性微分方程通解结构定理定理6如果x（t),x（t)x）是方程（4.2）的n个线性无关的解，则方程（4.2）的通解可表为：x=cx(t)+c,x(t)+...+c,x,(t)(4.11)其中cC2，，cn是任意常数。且通解（4.11）包括了方程（4.2）的所有解。非齐次线性微分方程通解结构定理定理7设x（t),xz0)x（t）为方程（4.2）的基本解组，而x（t是方程（4.1）的某一个解，则方程（4.1）的通解可表为x=cx(t)+c,x(t)+...+c,x,(t)+x(t)(4.14)其中c，C2，C，为任意常数，而且这个通解（4.14）包括了方程（4.1）的所有解。A>《常微分方程》教学课件广东第二师范学院结束首页市
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 ( ) ( ) ( ) ( ) (4.14) 1 1 2 2 x c x t c x t c x t x t = + ++ n n + 其中 为任意常数，而且这个通解（4.14）包括了方程（4.1）的 所有解。 n c ,c , ,c 1 2 定理7 设 为方程（4.2）的基本解组，而 是方程 （4.1）的某一个解，则方程（4.1）的通解可表为 ( ), ( ), , ( ) 1 2 x t x t x t n x t( ) 定理6 如果 是方程（4.2）的n个线性无关的解，则方 程（4.2）的通解可表为： （4.11） 其中 是任意常数。且通解（4.11）包括了方程（4.2）的所有解。 ( ), ( ), , ( ) 1 2 x t x t x t n ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 x c x t c x t c x t = + ++ n n n c，c ，，c 1 2 齐次线性微分方程通解结构定理 非齐次线性微分方程通解结构定理
因此，关于线性微分方程的通解结构问题，从理论上说，已经解决了，但是，求方程通解的方法还没有具体给出。事实上，对于一般的线性微分方程是没有普遍解法的。但通过寻求一些特殊类型方程的解法对求解一般方程的解还是有帮助和启发的。所以，介绍求解问题能够彻底解决的一类方程一常系数线性微分方程及可以化为这一类型的方程；同时将看到，为了求得常系数齐次线性微分方程的通解，只须解一个代数方程而不必通过积分运算。对于某些特殊的非齐线性微分方程也可以通过代数运算和微分运算求得它的通解。以及注意到物理问题提供微分方程很直观的物理背景，而微分方程为更深刻地理解物理现象提供有力的工具。教学课件《常微分方程》广东第二师范学院结束首页市
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 因此，关于线性微分方程的通解结构问题，从理论上说，已经 解决了，但是，求方程通解的方法还没有具体给出。事实上，对 于一般的线性微分方程是没有普遍解法的。但通过寻求一些特殊 类型方程的解法对求解一般方程的解还是有帮助和启发的。所以 ，介绍求解问题能够彻底解决的一类方程——常系数线性微分方 程及可以化为这一类型的方程；同时将看到，为了求得常系数齐 次线性微分方程的通解，只须解一个代数方程而不必通过积分运 算。对于某些特殊的非齐线性微分方程也可以通过代数运算和微 分运算求得它的通解。 以及注意到物理问题提供微分方程很直观的物理背景，而微 分方程为更深刻地理解物理现象提供有力的工具
、复值函数与复值解1复值函数如果(t）与y(t）是区间a≤t≤b上定义的实函数我们称z(t)=o(t)+iyr(t）为区间a<t<b上的复值函数若o(t)与y(t)在区间a≤t≤b上连续，则称z(t)在a≤t<b上连续若p(t)与y(t)在a≤t≤b上可微，则称z(t)在a≤t<b上可微，且z(t）的导数为z(t)=p (t)+iy (t)复函数的求导法则与实函数求导法则相同A《常微分方程》教学课件广东第二师范学院结束首页
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 一、复值函数与复值解 1 复值函数 ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) , 我们称 为区间 上的复值函数 如果 与 是区间 上定义的实函数 z t t i t a t b t t a t b = + . ( ) ( ) , ( ) 上连续 若 与 在区间 上连续 则称 在 a t b t t a t b z t 上可微 且 的导数为 若 与 在 上可微 则称 在 , ( ) ( ) ( ) , ( ) a t b z t t t a t b z t ( ) ( ) ( ) ' ' ' z t = t +i t 复函数的求导法则与实函数求导法则相同
2复指数函数定义 z(t)=e =e(α+) =e"(cos βt +isin βt)cos βt=(eip +e-ipl)2欧拉公式：eiprsin βt =2i性质：e(ki+h2)t=ektekteh =eh, (2)(1)dndkt= kelt, (4)kt(3)3eAeehdtdtnA《常微分方程》教学课件广东第二师范学院结束首页一市二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 2 复指数函数 ( ) (cos sin ) ( ) z t e e e t i t kt i t t = = = + + 欧拉公式: ( ) 2 1 cos i t i t t e e − = + ( ) 2 1 sin i t i t e e i t − = − 性质: 定义 (1) , kt kt e = e (2) , 1 2 1 2 (k k )t k t k t e = e e + (3) , kt kt e k e dt d = (4) , kt n kt n n e k e dt d =
3复值解dn-lxd"x+a,(t)(4.1)..+a.(t)x=f(t)dtn-1dtnd"xdn-"x(4.2)+a,(t)...+a,(t)x=0dtn-1dt"(1)定义定义于区间a≤t≤b上的实变量复值函数z(),称为方程（4.1）的复值解，如果dn-lz(t)d"z(t)+a,(t)+...+a,(t)z(t)=f(t)dtn-1dt"对于a≤t≤b恒成立《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页上一真结束二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 3 复值解 ( ) ( ) ( ) (4.1) 1 1 1 a t x f t dt d x a t dt d x n n n n n + + + = − − (1)定义 称为方程 的复值解 如果 定义于区间 上的实变量复值函数 (4.1) , a t b z(t), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 a t z t f t dt d z t a t dt d z t n n n n n + + + = − − 对于a t b恒成立. ( ) ( ) 0 (4.2) 1 1 + 1 + + = − − a t x dt d x a t dt d x n n n n n
d'x例如，x=e"是方程+x=0的复值解dt?如果方程（4.2)的所有系数a（t）（i=1,2,.,n）(2)定理8都是实值函数，而x=z(t)=o(t)+i(t)是方程的复值解，则z(t）的实部o(t）和虚部(t)及z(t）的共轭复数z(t）也都是方程（4.2）的解《常微分方程》教学课件广东第二师范学院上一真结束首页二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 (2)定理8 (4.2) . , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) (4.2) ( )( 1,2, , ) 也都是方程 的解 解 则 的实部 和虚部 及 的共轭复数 都是实值函数 而 是方程的复值 如果方程 的所有系数 z t t t z t z t x z t t i t ai t i n = = + = 例如， 是方程 2 0的复值解 2 = + x = dt d x x e i t
具体内容来复值函数与复值解来常系数齐次线性微分方程和欧拉方程来非齐次线性微分方程的解法：比较系数法和拉普拉斯变换法来应用分析：质点振动金教学课件《常微分方程》广东第二师范学院上一真结束首页二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 具体内容 复值函数与复值解 常系数齐次线性微分方程和欧拉方程 非齐次线性微分方程的解法： 比较系数法和拉普拉斯变换法 应用分析：质点振动
若方程(3）定理9d"xdn-x+a(t)...+a,(t)x=u(t)+iv(t)dtn-ldtn有复值解x=U(t)+iV（t),这里a（t）i=1,2n）及u(t),v(t)都是实值函数，则这个解的实部U(t)和虚部V（t）分别是方程dn-xd"x+a(t)...+a,(t)x=u(t)dtn-1dtn和qnd"x小+a,(t)+...+a(t)x=v(t)dtn-1dt"的解二教学课件广东第二师范学院《常微分方程》上二市结束首页二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 (3)定理9 若方程 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 a t x u t iv t dt d x a t dt d x n n n n n + + + = + − − 部 分别是方程 及 都是实值函数 则这个解的实部 和虚 有复值解 这里 ( ) ( ), ( ) , ( ) ( ) ( ), ( )( 1,2, , ) V t u t v t U t x =U t + iV t ai t i = n ( ) ( ) ( ) 1 1 1 a t x u t dt d x a t dt d x n n n n n + + + = − − 和 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 a t x v t dt d x a t dt d x n n n n n + + + = − − 的解