广东第二师范学院：《常微分方程》课程教学资源（PPT课件）第五章线性微分方程组 5.3 常系数线性微分方程组

一、矩阵指数expA的定义和求法二基解矩阵的计算公式三拉普拉斯变换的应用

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5.3常系数线性微分方程组矩阵指数expA的定义和求法基解矩阵的计算公式三拉普拉斯变换的应用L教学课件《常微分方程》广东第二师范学院首页F结束市二面

《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页上一页下一页结束 5.3 常系数线性微分方程组一、矩阵指数expA的定义和求法二基解矩阵的计算公式三拉普拉斯变换的应用

一阶常系数线性微分方程组：dxx= Ax+ f(t),dt这里系数矩阵A为nxn常数矩阵，f(t）在a≤t≤b上连续的向量函数；若f(t)=0,则对应齐线性微分方程组为dx=Ax,(5.33)dt本节主要讨论（5.33）的基解矩阵的求法A《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页上一真结束二面

《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页上一页下一页结束 ( ), dx Ax f t dt = + A n n f t , ( ) a t b    这里系数矩阵为常数矩阵在上连续的向量函数; 一阶常系数线性微分方程组: 若则对应齐线性微分方程组为 f t( ) 0, = , (5.33) dx Ax dt = 本节主要讨论(5.33)的基解矩阵的求法

一、矩阵指数expA的定义和求法1expA的定义定义设A为n×n常数矩阵，则定义矩阵指数expA为下列矩阵级数的和A?AkAm802expA=E+A+(5.34)二十2！k!m!k=0其中E为单位矩阵A"为A的m次幂，A°=E.0!=1注1：矩阵级数（5.34）是收敛的AVAAS由于收敛.而数项级数k!k!k!A1《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页上二南结束二面

《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页上一页下一页结束一、矩阵指数expA的定义和求法 1 expA的定义定义 , exp A n n A 设为  常数矩阵则定义矩阵指数为下列矩阵级数的和 2 0 exp (5.34) ! 2! ! k m k A A A A E A k m  = = = + + + + +  0 , , ,0! 1. m 其中为单位矩阵为的次幂 E A A m A E = = 注1: 矩阵级数(5.34)是收敛的. 由于 , ! ! k k A A k k  而数项级数 1 ! k k A k  =  收敛

注2：级数H-2AmAk2t2tk1m=E+At+expAt=+-m!在t的任何有限区间上是一致收敛的AckAktk由于≤c,<k!k!ckAlk002而数项级数收敛.k!k-1A教学课件《常微分方程》广东第二师范学院首页上一页结束二面

《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页上一页下一页结束注2: 级数在t的任何有限区间上是一致收敛的. 由于 , , ! ! k k k k A t A c t c k k   而数项级数 1 ! k k k A c k  =  收敛 . 2 2 0 exp ! 2! ! k m k m k A A A At t E At t t k m  = = = + + + + + 

2矩阵指数的性质BA+BA若AB=BA.则e(1)ee三A'Bk-1k80(A+B)221由于:exp(A + B)=l!(k-!k!k=0 1=0k=08BA'Bk-Ik8元2I2expAexpB-一l!(k-D!1=0k=0介绝对收敛级数的乘法定理(2）对任何矩阵A,(expA)-存在，且(exp A)=exp(-A)由于: exp Aexp(-A)exp(A+(-A)=exp0=EA《常微分方程》教学课件广东第二师范学院上二市结束首页二面

《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页上一页下一页结束 2 矩阵指数的性质 (1) , . A B A B AB BA e e e + 若则 = = 1 (2) ,(exp ) A A 对任何矩阵存在,且 − 1 (exp ) exp(- ). A A − = 由于: 0 ( ) exp( ) ! k k A B A B k  = + + = k 0  = =  0 ; !( )! k l k l l A B l k l − = −  0 0 exp exp ! ! i j i j A B A B i j   = = =   = 0 0 [ ]; !( )! k l k l k l A B l k l  − = = −   绝对收敛级数的乘法定理  由于: exp exp(- ) A A = + exp( (- )) A A = exp0= E

(3）若T是非奇异的,则exp (T-AT)= T-(expA)Texp("AT)-"AT)由于：k!k=0SarinT-"AT2=E+=E+k!k!k=1k=lAh8=T-T+ T-(Z07k!k=1Ah8W=T-(E+)T = T(exp A)Tk!k=1A《常微分方程》教学课件广东第二师范学院上一真结束首页二面

《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页上一页下一页结束 (3) , 若是非奇异的则 T AT A T ) (exp ) . = -1 -1 exp(T T 由于: AT) = -1 exp(T 1 0 ( ) ! k k T AT k  − =  = + E 1 1 ( ) ! k k T AT k  − =  = + E 1 1 ! k k T A T k  − =  1 T T− = + 1 1 ( ) ! k k A T T k  − =  1 1 ( ) ! k k A T E T k  − = = + = (exp ) . A T -1 T

3常系数齐线性微分方程组的基解矩阵矩阵(1）定理9Φ(t) = exp At是（5.33)的基解矩阵，且Φ（O）=E证明：当t=O时,由expAt定义知Φ(O)=E;(t)=(expAt)又因为AAAm2=A++t+-1H-22!(m-1)!Amt2=AE+At+tm+.)=AexpAt=AΦ(t)m!故Φ(t)=expAt是基解矩阵《常微分方程》教学课件广东第二师范学院结束首页一市面

《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页上一页下一页结束 3 常系数齐线性微分方程组的基解矩阵 (1)定理9 矩阵  = ( ) exp t At 是(5.33)的基解矩阵,且  = (0) . E 证明: 当时由定义知 t At = 0 , exp  = (0) ; E 又因为 ' '  = ( ) (exp ) t At 2 3 2 1 1! 2! ( 1)! m A A A m A t t t m − = + + + + + − = A = A 故是基解矩阵  = ( ) exp t At 2 2 ( ) 2! ! m A A m E At t t m + + + + + exp At = A( ), t

例1如果A是一个对角矩阵aazA=an试求出x=Ax的基解矩阵解由(5.34)得aaia22a2texpAt=E+中21112aannA教学课件广东第二师范学院《常微分方程》首页.结束克

《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页上一页下一页结束例1 如果A是一个对角矩阵 1 2 n a a A a     =           ' 试求出的基解矩阵 x Ax = . 解由(5.34)得 exp At = E 1 2 1! n a a t a     +           2 1 2 2 2 2 2! n a a t a       +        

aneianettm+··+m!anant-21试求出xx的基解矩阵例202解因为22010A=十00200福而后面两个矩阵是可交换的A教学课件《常微分方程》广东第二师范学院首页上一真结束二面

《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页上一页下一页结束 + 1 2 ! m m m m n a a t m a       +         + 1 2 n a t a t a t e e e       =         例2 ' 2 1 . 0 2 x x   =     试求出的基解矩阵解因为 2 1 0 2 A   =     2 0 0 1 0 2 0 0     = +         而后面两个矩阵是可交换的

200O02E,一20000020C故expAt=expoxexp20002102t010eXE+t+00002!0210T1TO2tX02t福0金《常微分方程》教学课件广东第二师范学院结束首页V市

《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页上一页下一页结束 2 0 2 , 0 2 E   =     2 0 1 0 0 , 0 0 0 0     =         故 exp At 2 0 exp( ) 0 2 t   =     0 1 exp( ) 0 0 t        2 2 0 0 t t e e   =     2 2 0 1 0 1 { } 0 0 0 0 2 ! t E t      + + +         2 2 0 0 t t e e   =     1 0 1  t     2 1 . 0 1 t t e   =    

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