3.4奇解教学课件《常微分方程》广东第二师范学院首页F结束南
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包络和奇解一包络的定义定义1：对于给定的一个单参数曲线族：(3.23)Φ(x, y,c) =0,其中c是参数,Φ(x,y,c)是xy,c的连续可微函数曲线族（3.23）的包络是指这样的曲线它本身不包含在曲线（3.23）中，但过这曲线的每一点有（3.23）中的一条曲线和它在这点相切7A教学课件《常微分方程》广东第二师范学院首页上一页结束二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 一、包络和奇解 1 包络的定义 定义1：对于给定的一个单参数曲线族： (x, y,c) = 0, (3.23) 其中c是参数,(x, y,c)是x, y,c的连续可微函数, 曲线族(3.23)的包络是指这样的曲线, 它本身不包含在 曲线(3.23)中,但过这曲线的每一点有(3.23)中的一条 曲线和它在这点相切
或定义：对于给定的一个单参数曲线族：l.:Φ(x,y,c) = 0其中cEICR为参数.若存在一条曲线1满足下列条件(1) / g(1.)eer;(xo,yo)el, 存在唯一的 Co e l, 使得(2)对任意的(xo,yo)elc。且 1 与 le在(xo,yo)有相同的切线则称1为曲线族l.：Φ(x,y,)=0的一条包络线简称为包络A《常微分方程》教学课件广东第二师范学院上二市结束首页二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 对于给定的一个单参数曲线族： l c : (x, y,c) = 0 其中 cI R 为参数. 若存在一条曲线 l, 满足下列条件: (1) ; c c I l l (2) 对任意的 ( , ) , 0 0 x y l 存在唯一的 , 0 c I 使得 ( ) 0 0 0 , c x y l 且 l 与 0 c l 在 有相同的切线. 则称 l 为曲线族 l c : (x, y,c) = 0 的一条包络线, 简称为包络. ( x y 0 0 , ) 或定义：
例如单参数曲线族：(x-c)?+y?=R（其中R是常数，c是参数）表示圆心为（c.0）而半径等于R的一族圆.如图1从图形可见，此曲线族的包络显然为：y=R和y=-RA教学课件广东第二师范学院《常微分方程》上一真结束首页二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 例如 单参数曲线族： 2 2 2 (x −c) + y = R （其中R是常数，c是参数）表示圆心为（c,0）而半 径等于R的一族圆. 如图 R 从图形可见,此曲线族的包络显然为: y = R和y = −R
注：并不是每个曲线族都有包络例如：单参数曲线族：x?+y?=c?（其中c为参数）表示一族同心圆如图从图形可见，」此曲线族没有包络1教学课件《常微分方程》广东第二师范学院上一页结束首页二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 注:并不是每个曲线族都有包络. 例如: 单参数曲线族: 2 2 2 x + y = c (其中c为参数)表示一族同心圆. 如图 从图形可见, 此曲线族没有包络
问题：对于给定的单参数曲线族Φ(x, y,c)= 0其cEI是参数如何判断它是否有包络？如果有包络，如何求？根据定义，假设该单参数曲线族有包络l，则对任意的导(x,y)el.(x,y)el,存在唯一的 E l,使得于是得到对应关系c:1>1,(x,y)c(x,y)A1教学课件广东第二师范学院《常微分方程》上一真结束首页二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 问题:对于给定的单参数曲线族: (x, y,c) = 0 其c I是参数. 如何判断它是否有包络? 如果有包络, 如何求? 根据定义, 假设该单参数曲线族有包络 l, 则对任意的 (x, y)l, 存在唯一的 c I, 使得 ( , ) . c x y l 于是得到对应关系: c : l → I, (x, y) c(x, y)
从而得到二元函数c=c(x,y),(x,y)El使得D(x, y,c(x, y) = 0, (x, y) e l.若1可用参数形式表示为：x=p(t),te(α,β)y=y(t),记 c = c(p(t), y(t)) = c(t),则Φ(g(t), y(t),c(t) = 0,t e (α, β)dcdpdy于是，=0.Φ+Φ+Φx1dtdtdtA二教学课件《常微分方程》广东第二师范学院首页结束一市
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 从而得到二元函数 c = c(x, y), (x, y) l 使得 (x, y,c(x, y)) 0, (x, y) l. 若 l 可用参数形式表示为: ( , ) ( ), ( ), = = t y t x t 记 c = c((t),(t)) c(t), 则 ((t),(t), c(t)) 0, t (, ) 于是, + + 0. dt dc dt d dt d x y c
现在l上任取一个固定点M，则M在某一条曲线l。上，由于[与1。在M点有相同的切线，而1与。在M点的切线的斜率ddy分别为与所以，有ddxTdpdyd+Φ=0x1dtdt从而一0d三C一由于在1上不同的点也在不同的l。上，即因此+0Φ=0.A二教学课件《常微分方程》广东第二师范学院首页上一真结束二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 l 上任取一个固定点M, 则M在某一条曲线 c l 上. 由于 l 与 c l 在M点有相同的切线, 而 l 与 c l 在M点的切线的斜率 分别为 dx dy 与 , y x − 所以, 有 从而 0. dt dc c + 0, dt d dt d x y 由于在 l 上不同的点也在不同的 c l 上, 即 0, dt dc 因此 0. c 现在
因此，包络线Φ(x, y,c) = 0任意一点M不仅要满足Φ.(x,y,c)=0而且还要满足把联立方程组：d(x, y,c) = 0Φ.(x,y,c)=0中消去参数c得到的方程F(x,y)-0所表示的曲线1*称为曲线族(1。)el 的c-判别曲线A《常微分方程》教学课件广东第二师范学院结束首页一市二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 因此, 包络线 l 任意一点M不仅要满足 (x, y,c) = 0, 而且还要满足 (x, y,c) = 0. c 把联立方程组: = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 x y c x y c c 中消去参数c得到的方程F(x,y)=0所表示的曲线 l * 称为曲线族 c c I l 的c-判别曲线
(3.23)Φ(x,y,c)=02包络的求法曲线族（3.23）的包络包含在下列两方程Φ(x, y,c) = 0Φ(x, y,c)= 0消去参数c而得到的曲线F(x,y)=0之中曲线F(x,y)=0称为(3.23)的c-判别曲线注：c-判别曲线有时除包络外还有其它曲线《常微分方程》教学课件广东第二师范学院结束首页上一页二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 ' x y c x y c c 曲线F(x, y) = 0称为(3.23)的 2 包络的求法 曲线族(3.23)的包络包含在下列两方程 消去参数c而得到的曲线F(x, y) = 0之中, c −判别曲线. 注: c −判别曲线有时除包络外还有其它曲线. (x, y,c) = 0, (3.23)