《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 1.2 基本概念和常微分方程的发展历史 1.2.1 常微分方程的基本概念
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 定义1: 联系自变量、未知函数及未知函数导数（或微 分）的关系式称为微分方程. ( ) ; 1 2 dy x dx = (2) ; xdy ydx − = 0 3 2 2 ( ) ; 3 0 d x dx tx x dt dt + + = 4 2 4 2 ( ) sin ; 4 5 3 d x d x x t dt dt + + = ( ) ; 5 z z z x y + = 2 2 2 2 ( ) . 6 0 u u x y uz x y + + + − = 例1：下列关系式都是微分方程 一、常微分方程与偏微分方程
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个， 则这样的微分方程称为常微分方程. ( ) ; 1 2 dy x dx = (2) ; xdy ydx − = 0 3 2 2 ( ) ; 3 0 d x dx tx x dt dt + + = 4 2 4 2 ( ) sin ; 4 5 3 d x d x x t dt dt + + = 都是常微分方程 1.常微分方程 如
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两 个以上,称为偏微分方程. ( ) ; 5 z z z x y + = 2 2 2 2 ( ) . 6 0 u u x y uz x y + + + − = 注: 本课程主要研究常微分方程. 同时把常微分方程简称 为微分方程或方程. 2.偏微分方程 如 都是偏微分方程
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 定义2：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或 微分的阶数称为微分方程的阶数. ( ) 1 2 dy x dx = 是一阶微分方程； (2) xdy ydx − = 0 是二阶微分方程； 3 2 2 ( ) 3 0 d x dx tx x dt dt + + = 是四阶微分方程. 4 2 4 2 ( ) sin 4 5 3 d x d x x t dt dt + + = 二、微分方程的阶 如:
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 ( , , ) ( ) 0 1 n n dy d y F x, y, dx dx = n阶微分方程的一般形式为 0 , , , . n n n n n n dy d y dy d y F(x, y, , , ) x, y, , , dx dx dx dx d y y x dx 这里 = 是 的已知函数 而且一定含有 是未知函数 是自变量
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 ( ) 1 2 dy x dx = 是线性微分方程. (2) xdy ydx − = 0 4 2 4 2 ( ) sin 4 5 3 d x d x x t dt dt + + = 三 线性和非线性 0 n n dy d y F(x, y, , , ) dx dx = 如 , , , . n n dy d y y dx dx n 的左端为 及 的一次有理式 则称其为 阶线性方程 1. 如果方程
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 如 是非线性微分方程. 3 2 2 ( ) 3 0 d x dx tx x dt dt + + = 2. n阶线性微分方程的一般形式 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 n n n n n d y d y a x a x y f x dx dx − − + + + = 1 ( ), ( ), ( ) . n 这里a x a x f x x 是 的已知函数 不是线性方程的方程称为非线性方程
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 四 微分方程的解 定义4 如果函数y x x I = ( ), , : 满足条件 (1) ( ) ; y x I n = 在 上有直到 阶的连续导数 2 0 ' ( ) : ( , ( ), ( ), ( )) , n 对 x I F x x x x 有 (x) 0 . n n dy d y y F(x, y, , , ) dx dx I 则称 = = 为方程 在 上的一个解
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 例2 0 sin cos ( , ) . " y x, y x y y = = + = − + 验证 都是微分方程 在 上的一个解 证明: 对y x = sin ,由于 cos sin ' " y x, y x = = − 故对 − + x ( , ),有 " y y + =−sin x +sin x = 0 sin ( , ) . 0 " 故y x y y = + = − + 是微分方程 在 上的一个解 cos ( , ) . 0 " 同理y x y y = + = − + 是微分方程 在 上的一个解