1.2基本概念和常微分方程的发展历史1.2.1常微分方程的基本概念7教学课件《常微分方程》广东第二师范学院首页F结束一市二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 1.2 基本概念和常微分方程的发展历史 1.2.1 常微分方程的基本概念
一、常微分方程与偏微分方程定义1：联系自变量、未知函数及未知函数导数（或微分）的关系式称为微分方程例1：下列关系式都是微分方程dy=2x;(1)(2)xdy-ydx=0;dxd'xd'xd'xdx+5(3)+x=0;(4)+3x=sint;+txdt4dt?dt?dtzOza'ua'u(5)Z;=(6)+x+y-uz=0axayax?ay?A二7《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页上二页结束二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 定义1: 联系自变量、未知函数及未知函数导数（或微 分）的关系式称为微分方程. ( ) ; 1 2 dy x dx = (2) ; xdy ydx − = 0 3 2 2 ( ) ; 3 0 d x dx tx x dt dt + + = 4 2 4 2 ( ) sin ; 4 5 3 d x d x x t dt dt + + = ( ) ; 5 z z z x y + = 2 2 2 2 ( ) . 6 0 u u x y uz x y + + + − = 例1：下列关系式都是微分方程 一、常微分方程与偏微分方程
1.常微分方程如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样的微分方程称为常微分方程dy=2x;(2)xdy-ydx=0;如 (1)dxd'xdx(3)+tx+x=0;dt?dtd'xd'x(4)5+3x= sint;十dt4dt?都是常微分方程A二《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页上一页结束下面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个， 则这样的微分方程称为常微分方程. ( ) ; 1 2 dy x dx = (2) ; xdy ydx − = 0 3 2 2 ( ) ; 3 0 d x dx tx x dt dt + + = 4 2 4 2 ( ) sin ; 4 5 3 d x d x x t dt dt + + = 都是常微分方程 1.常微分方程 如
2.偏微分方程如果在一个微分方程中，自变量的个数为两个或两个以上，称为偏微分方程OzOz如 (5)Z;axaya'ua"u(6)十+x+y-uz=0ax?ay都是偏微分方程注：本课程主要研究常微分方程.同时把常微分方程简称为微分方程或方程A二《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页上一页结束面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两 个以上,称为偏微分方程. ( ) ; 5 z z z x y + = 2 2 2 2 ( ) . 6 0 u u x y uz x y + + + − = 注: 本课程主要研究常微分方程. 同时把常微分方程简称 为微分方程或方程. 2.偏微分方程 如 都是偏微分方程
二、微分方程的阶定义2：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶数dy如：()-=2x(2)xdy-ydx=0dx是一阶微分方程：dr)3d'x(3)是二阶微分方程；+x=0+txdt?dt会d'x(4)+3x=sint是四阶微分方程+dr?AM教学课件广东第二师范学院《常微分方程》首页上一页结束下二一页
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 定义2：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或 微分的阶数称为微分方程的阶数. ( ) 1 2 dy x dx = 是一阶微分方程； (2) xdy ydx − = 0 是二阶微分方程； 3 2 2 ( ) 3 0 d x dx tx x dt dt + + = 是四阶微分方程. 4 2 4 2 ( ) sin 4 5 3 d x d x x t dt dt + + = 二、微分方程的阶 如:
n阶微分方程的一般形式为dyd"=0(1)F(x,y,dxdr"d"ydydyd"y的已知函数，这里F(x,=0是xy,dxdxdx"d"d"y而且一定含有，是未知函数，x是自变量，dx"A二教学课件《常微分方程》广东第二师范学院首页上一页结束下
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 ( , , ) ( ) 0 1 n n dy d y F x, y, dx dx = n阶微分方程的一般形式为 0 , , , . n n n n n n dy d y dy d y F(x, y, , , ) x, y, , , dx dx dx dx d y y x dx 这里 = 是 的已知函数 而且一定含有 是未知函数 是自变量
三纟线性和非线性dydn1.如果方程F(x, y,0dxdxd"ydy的一次有理式的左端为y及dr"dx则称其为n阶线性方程业2x(2)xdy-ydx =0如(1)d4d'xx是线性微分方程(4)5+3x=sint+dt4dy?《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页L结束一市二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 ( ) 1 2 dy x dx = 是线性微分方程. (2) xdy ydx − = 0 4 2 4 2 ( ) sin 4 5 3 d x d x x t dt dt + + = 三 线性和非线性 0 n n dy d y F(x, y, , , ) dx dx = 如 , , , . n n dy d y y dx dx n 的左端为 及 的一次有理式 则称其为 阶线性方程 1. 如果方程
不是线性方程的方程称为非线性方程d'xdx如 (3)+x=0+tx是非线性微分方程dt?dt2.n阶线性微分方程的一般形式d"y(2)+a(x)...+a(xy=f(x)-dr"-1dr"这里a(x),a,(x),f(x)是x的已知函数AM教学课件《常微分方程》广东第二师范学院首页上一页结束下一页
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 如 是非线性微分方程. 3 2 2 ( ) 3 0 d x dx tx x dt dt + + = 2. n阶线性微分方程的一般形式 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 n n n n n d y d y a x a x y f x dx dx − − + + + = 1 ( ), ( ), ( ) . n 这里a x a x f x x 是 的已知函数 不是线性方程的方程称为非线性方程
四微分方程的解定义4如果函数y=p(x),xeI,满足条件：(1)y=p(x)在I上有直到n阶的连续导数(2)对Vxe I有 : F(x,p(x),p (x),...p"(x)= 0,dyd"y则称y=p(x）为方程0F(x,y,dxdx"在I上的一个解AM《常微分方程》教学课件广东第二师范学院结束首页一市二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 四 微分方程的解 定义4 如果函数y x x I = ( ), , : 满足条件 (1) ( ) ; y x I n = 在 上有直到 阶的连续导数 2 0 ' ( ) : ( , ( ), ( ), ( )) , n 对 x I F x x x x 有 (x) 0 . n n dy d y y F(x, y, , , ) dx dx I 则称 = = 为方程 在 上的一个解
例2验证y=sinxy=cosx都是微分方程y"+y=0在(-80,+8)上的一个解证明：对y=sinx,由于y=cosx,y=-sinx故对Vx(-00,+0),有y+y=-sinx+sinx=0故y=sinx是微分方程y"+y=0在（-80+）上的一个解同理y=cosx是微分方程y+y=0在（-80,+o0）上的一个解A二《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页市结枣
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 例2 0 sin cos ( , ) . " y x, y x y y = = + = − + 验证 都是微分方程 在 上的一个解 证明: 对y x = sin ,由于 cos sin ' " y x, y x = = − 故对 − + x ( , ),有 " y y + =−sin x +sin x = 0 sin ( , ) . 0 " 故y x y y = + = − + 是微分方程 在 上的一个解 cos ( , ) . 0 " 同理y x y y = + = − + 是微分方程 在 上的一个解