2.2全线性方程与常数变易法一阶非齐线性方程方程二、伯努利(Bernoulli)A教学课件《常微分方程》广东第二师范学院首页面结束一市
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 2.2 线性方程与常数变易法 一、一阶非齐线性方程 二、伯努利（Bernoulli）方程
一阶线性微分方程dy+b(x)y+c(x) = 0a(x)dx在a（x）+0的区间上可写成dy = P(x)y+Q(x)(1)dx这里假设P(x),Q(x)在考虑的区间上是x的连续函数若Q(x)=0,则(1)变为dy=P(x)y(2)dx(2)称为一阶齐次线性方程若Q(x)+0,则(1)称为一阶非齐线性方程二《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页上一真结束二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 ( ) + b(x) y + c(x) = 0 dx dy a x 一阶线性微分方程 在a(x) 0的区间上可写成 P(x) y Q(x) (1) dx dy = + 这里假设P(x),Q(x)在考虑的区间上是x的连续函数 若Q(x) = 0,则(1)变为 P(x) y (2) dx dy = (2)称为一阶齐次线性方程 若Q x( ) 0, (1) 则 称为一阶非齐线性方程
一阶线性微分方程的解法----常数变易法10解对应的齐次方程业p(x)y得对应齐次方程解y= ce pl"dx,c为任意常数20常数变易法求解(将常数c变为x的待定函数c(x),使它为(1)的解）令y=c(x)el ()a为(1)的解,则A教学课件《常微分方程》广东第二师范学院首页上一真结束下一页
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 一 一阶线性微分方程的解法-常数变易法 1 0 解对应的齐次方程 p x y dx dy = ( ) 得对应齐次方程解 2 0 常数变易法求解 (将常数c变为x的待定函数c(x),使它为(1)的解) y ce dx c为任意常数 p x , ( ) = 令 ( ) 为(1)的解,则 ( ) = p x dx y c x e
dy_dc(x)J p(x)dx+c(x)p(x)el p(ax/rdxdxdc(x) = 0(x)e / 2(aMr代入（1)得dxc(x)=o(x)e- Jp(xdrdx+c积分得30故(1)的通解为y= aifo(x)e /eoax)dxdx +c)(3)注求（1）的通解可直接用公式（3）二《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页结束一市二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 p x d x p x d x e c x p x e dx dc x dx dy + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 代入(1)得 p x d x Q x e dx dc x = − ( ) ( ) ( ) 积分得 ~ ( ) c(x) Q(x)e dx c p x d x + = − 3 0 故(1)的通解为( ( ) ) (3) ~ ( ) ( ) y e Q x e dx c p x d x p x d x + = − 注 求(1)的通解可直接用公式(3)
例1求方程dyny = e'(x+1)n+l(x+1)dx通解，这里为n常数dyny+e"(x+l)解：将方程改写为dxx+1dyn的通解首先，求齐次方程Vdxx+1dyndyndx分离变量得从x+1ydxx+1ny=nnx+1+c两边积分得A二教学课件《常微分方程》广东第二师范学院首页F结束市二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 例1 求方程 1 ( 1) ( 1) + + − = + x n ny e x dx dy x 通解,这里为n常数 解: 将方程改写为 x n y e x x n dx dy ( 1) 1 + + + = 首先,求齐次方程 y x n dx dy +1 = 的通解 从 y x n dx dy +1 = 分离变量得 dx x n y dy +1 = 1 1 两边积分得 ln y = nln x + +c
y=c(x+1)故对应齐次方程通解为Jμd=c(x+1)"(p(x)dx=ce"y=ce其次应用常数变易法求非齐线性方程的通解令y=c(x）(x+1）"为原方程的通解，代入得dc(x)x+1)"+nc(x)(x+1)"-=nc(x)(x+1)"-+e"(x+1)dxdc(x)=exc(x)=e"+c积分得即dxy=（x+1)"(e+c),c为任意常数故通解为一←二《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页结束
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 故对应齐次方程通解为 n y = c(x +1) 其次应用常数变易法求非齐线性方程的通解, 令y = c(x)(x +1) n 为原方程的通解,代入得 n n n x n x nc x x nc x x e x dx dc x ( 1) ( )( 1) ( )( 1) ( 1) ( ) 1 1 + + + = + + + − − 即 x e dx dc x = ( ) 积分得 ~ c(x) e c x = + 故通解为 为任意常数 ~ ~ y (x 1) (e c), c n x = + + n d x x n p x d x y ce ce c(x 1) 1 ( ) = + = = +
dy.y例2求方程通解?dx2x-y解：原方程不是未知函数y的线性方程，但将它改写为dx2dx2x-y=-x-y即dyydyy它是以x为未知函数，v为自变量的线性方程Jrojoe Jod)x=e0故其通解为-Jeijioeato=y(-ln以+c),c为任意常数。一←《常微分方程》教学课件广东第二师范学院束首页
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 例2 求方程 2 2x y y dx dy − = 通解. 解: 原方程不是未知函数y的线性方程， 但将它改写为 y x y dy dx 2 2 − = 即 x y dy y dx = − 2 它是以x为未知函数, y为自变量的线性方程， 故其通解为 ( ( ) ) ~ ( ) ( ) x e Q y e dy c p y d y p y d y + = − ( ( ) ) ~ 2 2 e y e dy c d y y d y y + − = − y ( ln y c), c为任意常数。 ~ 2 = − +
例3求值问题dy_3y+ 4x2 +1,y(1) = 1一dxx的解解：先求原方程的通解(J o(x)e / p(0)dsy=e/ p(n)ds(dx+c)13二0dxdx((4x? + 1)exXdx+c)=e'1= x (j(4x2 +1)dx+c)x二《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页结束一市二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 例3 求值问题 4 1, (1) 1 3 2 = y + x + y = dx x dy 的解. 解: 先求原方程的通解 ( ( ) ) ~ ( ) ( ) y e Q x e dx c p x d x p x d x + = − ( (4 1) ) ~ 3 2 3 e x e dx c dx x dx x + + = − ) 1 ( (4 1) ~ 3 3 2 dx c x x x = + +
1x (f(4x? +1)dx+c)=x(4ln x+C22Xx43r3Inx+cx23将初始条件y(1)=1代入后得C二2故所给初值问题的通解为3x3y= x n x*+X22A二A教学课件《常微分方程》广东第二师范学院首页上一真结束二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 ) 2 1 (4ln ~ 2 3 c x = x x − + 3 ~ 3 4 2 ln c x x = x x − + 将初始条件y(1) =1代入后得 2 3 ~ c = 故所给初值问题的通解为 2 2 3 ln 3 4 3 x y = x x + x − ) 1 ( (4 1) ~ 3 3 2 dx c x x x + +
伯努利(Bernoulli）方程形如dy1p(x)y+Q(x)ydx的方程,称为伯努利方程.这里P(x),Q(x)为x的连续函数解法：1°引入变量变换z=yl-n,方程变为dz=(1-n)P(x)z+(1-n)Q(x)dx20°求以上线性方程的通解30变量还原A二教学课件《常微分方程》广东第二师范学院首页F结束一市二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 二 伯努利( ) Bernoulli 方程 形如 n p x y Q x y dx dy = ( ) + ( ) 的方程,称为伯努利方程. 这里P(x),Q(x)为x的连续函数。 解法: 1 0 引入变量变换z = y 1−n ,方程变为 (1 n)P(x)z (1 n)Q(x) dx dz = − + − 2 0 求以上线性方程的通解 3 0 变量还原