《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 2.2 线性方程与常数变易法 一、一阶非齐线性方程 二、伯努利（Bernoulli）方程
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 ( ) + b(x) y + c(x) = 0 dx dy a x 一阶线性微分方程 在a(x) 0的区间上可写成 P(x) y Q(x) (1) dx dy = + 这里假设P(x),Q(x)在考虑的区间上是x的连续函数 若Q(x) = 0,则(1)变为 P(x) y (2) dx dy = (2)称为一阶齐次线性方程 若Q x( ) 0, (1) 则 称为一阶非齐线性方程
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 一 一阶线性微分方程的解法-常数变易法 1 0 解对应的齐次方程 p x y dx dy = ( ) 得对应齐次方程解 2 0 常数变易法求解 (将常数c变为x的待定函数c(x),使它为(1)的解) y ce dx c为任意常数 p x , ( ) = 令 ( ) 为(1)的解,则 ( ) = p x dx y c x e
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 p x d x p x d x e c x p x e dx dc x dx dy + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 代入(1)得 p x d x Q x e dx dc x = − ( ) ( ) ( ) 积分得 ~ ( ) c(x) Q(x)e dx c p x d x + = − 3 0 故(1)的通解为( ( ) ) (3) ~ ( ) ( ) y e Q x e dx c p x d x p x d x + = − 注 求(1)的通解可直接用公式(3)
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 例1 求方程 1 ( 1) ( 1) + + − = + x n ny e x dx dy x 通解,这里为n常数 解: 将方程改写为 x n y e x x n dx dy ( 1) 1 + + + = 首先,求齐次方程 y x n dx dy +1 = 的通解 从 y x n dx dy +1 = 分离变量得 dx x n y dy +1 = 1 1 两边积分得 ln y = nln x + +c
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 故对应齐次方程通解为 n y = c(x +1) 其次应用常数变易法求非齐线性方程的通解, 令y = c(x)(x +1) n 为原方程的通解,代入得 n n n x n x nc x x nc x x e x dx dc x ( 1) ( )( 1) ( )( 1) ( 1) ( ) 1 1 + + + = + + + − − 即 x e dx dc x = ( ) 积分得 ~ c(x) e c x = + 故通解为 为任意常数 ~ ~ y (x 1) (e c), c n x = + + n d x x n p x d x y ce ce c(x 1) 1 ( ) = + = = +
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 例2 求方程 2 2x y y dx dy − = 通解. 解: 原方程不是未知函数y的线性方程， 但将它改写为 y x y dy dx 2 2 − = 即 x y dy y dx = − 2 它是以x为未知函数, y为自变量的线性方程， 故其通解为 ( ( ) ) ~ ( ) ( ) x e Q y e dy c p y d y p y d y + = − ( ( ) ) ~ 2 2 e y e dy c d y y d y y + − = − y ( ln y c), c为任意常数。 ~ 2 = − +
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 例3 求值问题 4 1, (1) 1 3 2 = y + x + y = dx x dy 的解. 解: 先求原方程的通解 ( ( ) ) ~ ( ) ( ) y e Q x e dx c p x d x p x d x + = − ( (4 1) ) ~ 3 2 3 e x e dx c dx x dx x + + = − ) 1 ( (4 1) ~ 3 3 2 dx c x x x = + +
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 ) 2 1 (4ln ~ 2 3 c x = x x − + 3 ~ 3 4 2 ln c x x = x x − + 将初始条件y(1) =1代入后得 2 3 ~ c = 故所给初值问题的通解为 2 2 3 ln 3 4 3 x y = x x + x − ) 1 ( (4 1) ~ 3 3 2 dx c x x x + +
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 二 伯努利( ) Bernoulli 方程 形如 n p x y Q x y dx dy = ( ) + ( ) 的方程,称为伯努利方程. 这里P(x),Q(x)为x的连续函数。 解法: 1 0 引入变量变换z = y 1−n ,方程变为 (1 n)P(x)z (1 n)Q(x) dx dz = − + − 2 0 求以上线性方程的通解 3 0 变量还原