4.3高阶微分方程的降阶和幂级数解法可降阶的一些方程类型二阶线性方程的幂级数解法三、第二宇宙速度的计算L教学课件《常微分方程》广东第二师范学院首页上一页结束二
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 4.3 高阶微分方程的降阶和幂级数解法 一、可降阶的一些方程类型 二、二阶线性方程的幂级数解法 三、第二宇宙速度的计算
般的高阶微分方程没有普遍的解法，处理方法：降阶特别是，对于二阶（变系数）齐线性方程，如果知道它的一个非零特解，则可利用降阶法来求得与它线性无关的另一个特解，从而得到方程的通解。对于非齐线性方程，只需再运用常系数变易法求出它的一个特解问题也就解决了。因此，问题的关键：在于寻找齐线性方程的一个非零特解。A教学课件广东第二师范学院《常微分方程》结束首页-一市二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 特别是，对于二阶（变系数）齐线性方程，如果知 道它的一个非零特解，则可利用降阶法来求得与它线性 无关的另一个特解，从而得到方程的通解。对于非齐线 性方程，只需再运用常系数变易法求出它的一个特解， 问题也就解决了。 一般的高阶微分方程没有普遍的解法，处理方法：降阶。 在于寻找齐线性方程的一个非零特 解。 因此，问题的关键：
一、可降阶的一些方程类型F(t,x,x,...,x(n))=0n阶微分方程的一般形式：1不显含未知函数×，或更一般不显含未知函数及其直到k-1（k>1）阶导数的方程是F(t, x(h),x(k+),..,x(") =0(4.57)若令xk）=y.则可把方程化为y的n-k阶方程F(t,y,y,...,y(n-k))=0(4.58)若能求得（4.58)的通解y=(t,C，,Cn-k）即x(k) = p(t,C1,,Cn-k)对上式经过k次积分，即可得（4.57）的通解这里c,…,c为任常数x=y(t,C,..",cn),福二《常微分方程》教学课件广东第二师范学院结束首页
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 一、可降阶的一些方程类型 n阶微分方程的一般形式: ( , , , , ) 0 ' ( ) = n F t x x x 1 不显含未知函数x, 或更一般不显含未知函数及其直到k-1(k>1)阶导数的方 程是 ( , , , , ) 0 (4.57) ( ) ( 1) ( ) = k k+ n F t x x x 若令x (k ) = y,则可把方程化为y的n − k阶方程 ( , , , , ) 0 (4.58) ' ( ) = n−k F t y y y 若能求得(4.58)的通解 ( , , , ) 1 n k y t c c = − 对上式经过k次积分,即可得(4.57)的通解 即 ( , , , ) 1 ( ) n k k x t c c = − x =(t,c1 , ,cn ), 这里c1 , ,cn 为任常数
F(t,x(k),x(k+l),...,x(n)) = 0(4.57)解题步骤：令（k）=y则方程化为第一步：F(t,y,y,...,y(n-k))=0第二步：求以上方程的通解y=p(t,Cj,",cn-）即x(k) = p(t, Cj,, n-k)第三步：对上式求k次积分，即得原方程的通解这里c,c为任常数x=y(t,c,..,c),A\《常微分方程》教学课件广东第二师范学院上二南结束首页二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 解题步骤: 第一步: 令x (k ) = y,则方程化为 ( , , , , ) 0 ' ( ) = n−k F t y y y 第二步: 求以上方程的通解 ( , , , ) 1 n k y t c c = − 即 ( , , , ) 1 ( ) n k k x t c c = − 第三步: 对上式求k次积分,即得原方程的通解 x =(t,c1 , ,cn ), 这里c1 , ,cn 为任常数 ( , , , , ) 0 (4.57) ( ) ( 1) ( ) = k k+ n F t x x x
d'x1d'x例1求方程0的通解dstdt4d'x解令则方程化为=y,dt4dy1y=0dtt这是一阶方程，其通解为y=ct，d'x即有=ct,dt4对上式积分4次，得原方程的通解为X=Ct'+c,t3+ct+cyt+Cs,A教学课件《常微分方程》广东第二师范学院上一真结束首页二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 解 令 , 4 4 y dt d x = 则方程化为 0 1 − y = dt t dy 这是一阶方程,其通解为 y = ct, 即有 , 4 4 ct dt d x = 对上式积分4次, 得原方程的通解为 , 4 5 2 3 3 2 5 1 x = c t + c t + c t + c t + c 例1 0 . 1 4 4 5 5 求方程 − = 的通解 dt d x dt t d x
2不显含自变量t的方程一般形式：F(x,x,..,x(n))=0,(4.59)此时以=x作为新的未知函数，而把x作为新的自变量dx.因为yd'x7dydydxdt?dxdtdxdtdyd(yd'xd'xdddxdxdr3dt?dtdtdtdxdxd'yV二dr2dxA《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页结束一市二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 2 不显含自变量t的方程, 一般形式: ( , , , ) 0, (4.59) ' ( ) = n F x x x , , 此时以y = x ' 作为新的未知函数 而把x作为新的自变量 y, dt dx 因为 = = dt dy = 2 2 dt d x dx dy = dt dx , dx dy y 3 2 3 2 d x d d x dt dt dt = dt d = ( ) dx dy y dx dx dy d( y ) = dt dx , 2 2 2 dx d y + y 2 ( ) dx dy = y
用数学归纳法易得：d(k-1),dy2x(k)可用y(k≤n）来表达dxdr(k-1)将这些表达式代入（4.59）可得d'ydydyF(x,y,y0=0Vdr2dxdx即有新方程d(n-1)dyG(x,y,0dxdr(n-1)它比原方程降低一阶A《常微分方程》教学课件广东第二师范学院上一真结束首页二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 用数学归纳法易得: 可用 , , , ( 1) ( )来表达 ( 1) ( ) k n dx d y dx dy x y k k k − − 将这些表达式代入(4.59)可得: 2 2 2 2 ( , , , ( ) , ) 0 dy dy d y F x y y y y dx dx dx + = 即有新方程 ( , , , , ) 0 ( 1) ( 1) = − − n n dx d y dx dy G x y 它比原方程降低一阶
解题步骤：令y=x，并为新的未知函数，x为新的第一步：自变量，原方程化为d(n-1)dyG(x,y,dr(n-1)dx第二步：求以上方程的通解y=p(x,ci,",cn-解方程第三步：dxp(x,Ci,..,Cn-)dt二即得原方程的通解A教学课件《常微分方程》广东第二师范学院首页上一页结束二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 解题步骤: 第一步: 自变量 原方程化为 令 并 为新的未知函数 为新的 , , , ' y = x y x ( , , , , ) 0 ( 1) ( 1) = − − n n dx d y dx dy G x y 第二步: 求以上方程的通解 ( , , , ) = 1 n−1 y x c c 第三步: 解方程 ( , , , ) = 1 n−1 x c c dt dx 即得原方程的通解
d'x()2=0的通解例2求方程xdt?dtdx解令dty,并以x作为新的自变量dy12=0xy则方程化为dxdy_yy=0,从而可得及dxx这两方程的全部解是y=cx,dx再代回原来变量得到=Cx,dtX=C,e所以得原方程的通解为A《常微分方程》教学课件广东第二师范学院上一真结束首页二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 解 令 y,并以x作为新的自变量, dt dx = 则方程化为 0 2 − y = dx dy x y 从而可得 y = 0, 及 , x y dx dy = 这两方程的全部解是 , 1 y = c x 例2 ( ) 0 . 2 2 2 求方程 − = 的通解 dt dx dt d x x 再代回原来变量得到 , 1 c x dt dx = 所以得原方程的通解为 1 2 , c t x c e =
【例】求数学摆的运动方程dgsindt?de=0满足初始条件：0时,P=P>0,的解。dt分析：引进变换，改写原方程，求解，讨论dp2g+cos-cosPo有dt利用初始条件，有dp2g2gdto/cos-cosPA《常微分方程》教学课件广东第二师范学院上二市结束首页二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 = − sin 2 2 l g dt d 【例】 求数学摆的运动方程 满足初始条件：t=0时， = 0 0, = 0 的解。 dt d 分析：引进变换，改写原方程，求解，讨论. 0 cos cos 2 = − l g dt d 有 l g dt t l d t 2g 2 cos cos 0 0 0 = − = − − 利用初始条件，有