第五章线性微分方程组教学目的讨论线性微分方程组的基本理论及其求解方法（包括常数变易法，常系数方程组基本解矩阵的求法）教学要求理解微分方程组解的存在唯一性定理，掌握逐步逼近法，掌握线性微分方程组的基本理论和基本解矩阵的性质，掌握常系数线性方程组基本解矩阵的计算，特别是expA的定义、性质和计算方法，理解高阶线性微分方程与线性微分方程组的关系，会将线性微分方程组的有关结论推广到高阶线性微分方程。教学重点解的存在唯一性定理叠加原理；问量函数的线性相关性的定义;Wronsky行列式；解矩阵的定义和性质；常数变易法；解的结构；矩阵指数expA的定义及其性质；基本解矩阵的计算公式。教学难点向量和矩阵列的收敛性的定义；二者的范数定义及其相关性质；向量函数的线性相关性；Wronsky行列式的定义及其性质；根子空间的分解；基本解矩阵的计算公式的推导。教学方法讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法教学手段传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。课题导入前面几章研究了只含一个未知函数的一阶及高阶微分方程，但在许多实际问题（如工程物理,生物等)和一些理论问题中,往往涉及若干个未知函数以及它的导数的方程组成的方程组,即微分方程.本章将介绍一阶微分方程组的一般解法,重点仍在线性方程组的基本理论和常数变易线性方程组的解法35.1存在唯一性定理教学目的讨论线性微分方程组的解的存在唯一性定理。高阶线性微分方程与线性微分方程组的关系
第五章 线性微分方程组 教学目的 讨论线性微分方程组的基本理论及其求解方法（包括常数变易法，常系数方程组 基本解矩阵的求法） 教学要求 理解微分方程组解的存在唯一性定理，掌握逐步逼近法，掌握线性微分方程组的 基本理论和基本解矩阵的性质，掌握常系数线性方程组基本解矩阵的计算，特别 是 expA 的定义、性质和计算方法，理解高阶线性微分方程与线性微分方程组的 关系，会将线性微分方程组的有关结论推广到高阶线性微分方程。 教学重点 解的存在唯一性定理；叠加原理；向量函数的线性相关性的定义；Wronsky 行列式； 解矩阵的定义和性质；常数变易法；解的结构；矩阵指数 expA 的定义及其性质； 基本解矩阵的计算公式。 教学难点 向量和矩阵列的收敛性的定义；二者的范数定义及其相关性质；向量函数的线性相关性； Wronsky 行列式的定义及其性质；根子空间的分解；基本解矩阵的计算公式的推导。 教学方法 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 教学手段 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 课题导入 前面几章研究了只含一个未知函数的一阶及高阶微分方程,但在许多实际问题(如工程, 物理,生物等)和一些理论问题中,往往涉及若干个未知函数以及它的导数的方程组成的方程 组,即微分方程.本章将介绍一阶微分方程组的一般解法,重点仍在线性方程组的基本理论和 常数变易线性方程组的解法. §5.1 存在唯一性定理 教学目的 讨论线性微分方程组的解的存在唯一性定理。高阶线性微分方程与线性微分方程 组的关系
教学要求理解微分方程组解的存在唯一性定理，掌握逐步逼近法，理解高阶线性微分方程与线性微分方程组的关系，会将线性微分方程组的有关结论推广到高阶线性微分方程。教学重点存在唯一性定理及其证明教学难点向量和矩阵列的收敛性的定义；二者的范数定义及其相关性质。教学方法讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。教学手段传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。1.线性微分方程组的有关概念例，多回路的电路问题，如图所示是含有两个回路的电路问题E(t)是电源电压，I是电感，C是电容器的电路R,和R,是两个电阻，i,是通过电感L的电流，i，是通过电容C的电流，其中L,C，R和R,是常数,E(t)是已知函数,所列出i及i应满足的微分方程解：根据基尔霍夫第二定理，得[Ld +R(i -i2)= E(0).dt[iz(s)ds= 0R(i2 -i)+R,i2 +lidi+ R,(i, -i2)= E(t)dtdif22di,di,1L)+RR,(-5=0dtdtdt即（di,--R,R1++0)2i+dtLR?di,R'C-LR,(t)I.-故(di(R +R,)(R, +R,) 2(R +R,)L以上就是一个关于i，的线性微分方程组
教学要求 理解微分方程组解的存在唯一性定理，掌握逐步逼近法，理解高阶线性微分方程 与线性微分方程组的关系，会将线性微分方程组的有关结论推广到高阶线性微分 方程。 教学重点 存在唯一性定理及其证明 教学难点 向量和矩阵列的收敛性的定义；二者的范数定义及其相关性质。 教学方法 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 教学手段 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 1. 线性微分方程组的有关概念 例,多回路的电路问题,如图所示是含有两个回路的电路问题E(t)是电源电压,I是电感, C是电 容器的电路 R1 和 R2 是两个电阻, 1 i 是通过电感L的电流, 2 i 是通过电容C的电流,其中L,C, R1 和 R2 是常数,E(t)是已知函数,所列出 1 i 及 2 i 应满足的微分方程. 解:根据基尔霍夫第二定理,得: − + + = + − = t i s ds C R i i R i R i i E t dt di L 0 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 ( ) 0 1 ( ) ( ) ( ) 即 − + + = + − = 0 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 i dt C di R dt di dt di R R i i E t dt di L 故 + + + − + + = − = − + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1 1 t R R L R i R R R C L i R R R dt di t L i L R i L R dt di 以上就是一个关于 1 2 i ,i 的线性微分方程组
1.线性微分方程组的定义：a形为：[x) =a(t)x +a(t)x2 +...+an(t)x, + fi(t)x2=a2i(t)x+a2(t)x,++azn(t)xn+f(t)x, =am(t)x, +am2(t)x2 +...+am(t)xn + f,(t).(5.1)的微分方程组,形为一阶线性微分方程组,其中au(ij=1,2""n）f,(t)(i=1,2"""n)在a≤t<b上连续设函数组(0)(i=1,2.n）在a≤t≤b上可微,且bdx,(t)=a,x, +a2x +.+amx,+f,(t)(i=1,2...n)dt则称函数组(0),x(1)x,()为微分方程组(5.1)的在a≤t≤b上的一个解.(5.1)含有n个独立常数为G,C2",Cn的解x, =β,(t,c,C2,..,c.),i=1,2,...,n称为(5.1)的通解2.函数向量和函数矩阵在线性微分方程组的讨论中,向量,矩阵及其用到是非另有用的,下面我们将介绍有关函数向量和函数矩阵（即向量，矩阵元素为函数）的一些基本性质（1）函数向量和函数矩阵n阶函数列向量定义为[x;(t)x2(t)x(t)x,(t)每—x,91)i=1,2,n)在区间内le有定义nxn函数矩阵A(t)定义为a(t) a2(t) .ain (t)a2i(t)a22(t)..a2n(t)A(t) =[am(t)an(1).am()每—a,(1)在le有定义注：关于向量或矩阵的代为运算的性质，对于以上函数作为元素的矩阵同样成立(2）函数向量和矩阵的连续，微分和积分的概念
1. 线性微分方程组的定义: a 形为： = + + + + = + + + + = + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 21 1 22 2 2 2 1 11 1 12 2 1 1 x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t n n n nn n n n n n n : (5.1) 的微分方程组,形为一阶线性微分方程组,其中 ij a (i,j=1,2 ```n) i f (t)(i=1,2`````n)在 a t b 上连续. b 设函数组 ( )( 1,2 ) xi1 t i = n 在 a t b 上可微,且 ( ) ( ) 1 1 2 2 a x a x a x f t dt dx t i i in n i i = + ++ + (i = 1,2n) 则称函数组 ( ), ( ), , ( ) 1 2 x t x t x t n 为微分方程组(5.1)的在 a t b 上的一个解. (5.1)含有n个独立常数为 n c ,c , ,c 1 2 的解 xi = i (t,c1 ,c2 , ,cn ),i =1,2, ,n 称为(5.1)的通解. 2. 函数向量和函数矩阵 在线性微分方程组的讨论中,向量,矩阵及其用到是非另有用的,下面我们将介绍有关函 数向量和函数矩阵(即向量,矩阵元素为函数)的一些基本性质. (1) 函数向量和函数矩阵 n阶函数列向量定义为 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 x t x t x t x t n 每一 x 9t)(i 1,2, ,n) i = 在区间内Ie有定义. nn 函数矩阵A(t)定义为 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 22 12 1 21 11 a t a t a t a t a t a t a t a t a t A t nn n n n n 每一 a (t) ij 在Ie有定义 注:关于向量或矩阵的代为运算的性质,对于以上函数作为元素的矩阵同样成立. (2) 函数向量和矩阵的连续,微分和积分的概念
连续函数可微函数如果函数向量x(t)或函数矩阵A()的每一个元素都是区间α≤t≤b上的[可积函数.则【连续可微可积称x(t)或A(t)在a≤t≤b此时,它们的导数与积分分别定义为a.(t), ai2(t), ..a.(t)[x(0)a,(t),a22(t), a2n(t)x2(0)A():x(t)=am(t),an2(t),..am(t)x()x(s)ds"au(s)ds, fai2(s)ds,... f"ain(s)dsI" a2i(s)ds, " an(s)ds, f' a2n(s)dsx,(s)dsx(s)ds =["A(s)ds =x,(s)dsI" am(s)ds, ' an (s)ds,' am (s)ds注：关于函数向量及矩阵的概念，积分运算法法则和普通及值函数类型，(3)矩阵向量的基数及nxn矩阵A=(a,),定义它们的基数为定义：对于n阶列列向量x=(a,2,",x)=x, I4- ]a设A,B是n×n矩阵,x和y是n阶列向量,A(t),x(t)是在[a,b])上,可数的函数矩阵和向量,则易验证有下面的性质1 AB|≤A·B IAx≤A·204++++30[° x(s)ds '1x(s)s A(s)ds ≤'/4(s)kis(a<b)(4)向量与矩阵序列的收敛性a向量序列),=(u，2k,w）称为在a1≤b上收敛(一致收效)的.如果对于每一个(=12, ,),两数序列(()在a≤1≤b上收敏(一致)收效的
如果函数向量x(t)或函数矩阵A(t)的每一个元素都是区间 a t b 上的 可积函数 可微函数 连续函数 ,则 称x(t)或A(t)在 a t b 上 可积 可微 连续 此时,它们的导数与积分分别定义为: = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 x t x t x t x t n , = ( ) ( ) ( ) ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ) 2 1 2 22 12 1 21 11 a t a t a t a t a t a t a t a t a t A t nn n n n n = t t n t t t t t t x s ds x s ds x s ds x s ds 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 , = t t n n t t n t t n t t n t t t t t t n t t t t t t a s ds a s ds a s ds a s ds a s ds a s ds a s ds a s ds a s ds A s ds 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) , , , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 注:关于函数向量及矩阵的概念,积分运算法法则和普通及值函数类型. (3)矩阵向量的基数 定义:对于n阶列列向量 T n x (x , x , , x ) = 1 2 及 nn 矩阵 A = aij nn ( ) ,定义它们的基数为 = = i 1 i x x , = = n i j A aij , 1 , 设A,B是 nn 矩阵,x和y是n阶列向量,A(t),x(t)是在[a,b]上,可数的函数矩阵和向量,则易验证 有下面的性质. o 1 AB A • B , A1 A • x 0 2 A+ B A + B , x + y x + y 0 3 x s ds x s ds b a b a ( ) ( ) , A s ds A s ds b a b a ( ) ( ) , (a b) (4)向量与矩阵序列的收敛性 a 向量序列 xk , T k k k nk x (x , x , , x ) = 1 2 称为在 a t b 上收敛(一致收敛)的. 如果对于 每一个 i(i = 1,2, ,n) ,函数序列 xk (t) 在 a t b 上收敛(一致)收敛的
Ex(0)是函数向量收敛,如果其部分和所作成的函数向量序列在α≤t≤b上收敛(一B 设k=lZx()致收敛),则称合在a≤t≤b上收敛(一致收敛)如果Ix(0)≤Mka≤t≤bZx(0)2x()在a≤tb上是一致收敛的而级数收敛,则函数向量级数=如果连续函数向量序列(;(0)在a≤t≤b上收敛(一致)收敛的,则lim f × (0)dt = I lim(0)dt对矩阵序列也有类似的结果设(4）是nxn矩阵序列,其中4 =(a"）m,如果对一切ij=1,2.,n,数列(4,）却收敛,则称4k也是收敛的,Z4ZAk设二是矩阵级数,如果其部分和所作成的矩阵序列是收敛的则称=收敛Ea(k)ZA台“收敛台台”收敛(i,j=1,2,n)如果对于每一个阶数k,都有IAkKMk而M收敛,则A发散。k=lk=l同样，可给出函数矩阵级数A（t)的一致收敛定义和有关结果。I（5）一阶微分方程组的向量表示对 (5.1)若记A(t)=(a,(t)nsx=(x),x2...,x,),f(t)=(f(t),..f,(t)=A(0)x+F0)(5.4)则(5.1)可写成dy定义1设A(t)是a≤t<b上的连续的n*n矩阵,f(t)在a<t<b上连续的n维向量,方程组
B 设 =1 ( ) k k x t 是函数向量收敛,如果其部分和所作成的函数向量序列在 a t b 上收敛(一 致收敛),则称 =1 ( ) k k x t 在 a t b 上收敛(一致收敛). 如果 k Mk x (t) , a t b 而级数 =1 ( ) k k x t 收敛,则函数向量级数 =1 ( ) k k x t 在 a t b 上是一致收敛的. 如果连续函数向量序列 xk (t) 在 a t b 上收敛(一致)收敛的,则 x t dt x t dt k b a k b a k k ( ) ( ) lim → lim → = 对矩阵序列也有类似的结果 设 Ak 是 nn 矩阵序列,其中 n n k Ak = aij ( ) ( ) ,如果对一切 i, j = 1,2, ,n ,数列 k Aij 却收 敛,则称 Ak 也是收敛的. 设 k=1 Ak 是矩阵级数,如果其部分和所作成的矩阵序列是收敛的,则称 k=1 Ak 收敛. k=1 Ak 收敛 =1 ( ) k k aij 收敛,( i, j = 1,2, ,n ). 如果对于每一个阶数k,都有 AK MK || || 而 k =1 M k 收敛,则 k=1 Ak 发散。 同样，可给出函数矩阵级数 =1 ( ) k k A t 的一致收敛定义和有关结果。 （5）一阶微分方程组的向量表示 对（5.1） 若记 T n T ij n n n A(t) (a (t)) , x (x , x , , x ) , f (t) ( f (t), f (t)) 1 , = * = 1 2 = 则(5.1)可写成 A(t)x f (t) dy dx = + (5.4) 定义 1 设 A(t)是 a t b 上的连续的 n*n 矩阵,f(t)在 a t b 上连续的 n 维向量,方程组
(5.4)x=A(t)x+f(t)在α≤tβ([α,β][a,b])的解向量u(t),是指u(t)在α≤t≤β满足(5.4),即u'(t) = A(t)u(t)+ f(t)α<t≤β定义2初值问题(5.5).x(to)=nx=A(t)x+f(t)的解就是方程组(5.4)在包含t。的区间α≤t≤β上的解u(t),使得u(t。)=n例：将受回路电路中的电流1,1,所满足的微分方程写成矩阵形式..dl=-R1+RRy1解：1。-Φ(t)Ldl,LLR?dl,RiC-LR,(t)dl,(R +R,)L(R, +R,)LC(R +R)LkiR.1-d(t)IL如果令：AR?R,i2R'C-Ld(t)L(R, +R,)L(R, +R)L (R, +R)LC则I=AI+f是初值问题例2验证向量u(t)F01x, x(0) =在区间-00<t<+o0上的解10/1[][]解：显然u(0)=因为e-和-e-处处有连续导数，积分得到0-[][][因此，u(t)是满足初值问题的解3.n阶线性微分方程的初值问题与线性微分方程组的初值问题关系对n阶线性微分方程的初值问题
( ) ( ) , x = A t x + f t (5.4) 在 t([,] [a,b]) 的解向量 u(t),是指 u(t)在 t 满足(5.4),即 ( ) ( ) ( ) ( ) , u t = A t u t + f t t 定义 2 初值问题 ( ) ( ) , x = A t x + f t x(t 0 ) = (5.5). 的解就是方程组(5.4)在包含 0 t 的区间 t 上的解 u(t),使得 u(t 0 ) = 例: 将受回路电路中的电流 1 2 l ,l 所满足的微分方程写成矩阵形式. 解: ( ) 1 2 1 1 1 2 1 t L l L R l L R dl dl = − + + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 t R R L R l R R LC R C L l R R L R dl dl + + + − + + = − 如果令: + = + − + − − = = ( ) ( ) ( ) 1 , ( ) ( ) , 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 t R R L R t L f R R LC R C L L R R R L R L k A i i I 则 I = AI + f ' 例 2 验证向量 − = − − t t e e u(t) ,是初值问题 = = 1 1 , (0) 0 1 1 ' 0 x x x 在区间 − t + 上的解. 解: 显然 u(0)= − = − 1 1 0 0 e e 因为 t t e e − − 和− 处处有连续导数,积分得到 ( ) 0 1 1 0 0 1 1 0 ( ) ' u t e e e e u t t t t t = − = − = − − − − 因此,u(t)是满足初值问题的解. 3.n 阶线性微分方程的初值问题与线性微分方程组的初值问题关系. 对 n 阶线性微分方程的初值问题
x(n)+a;(t)x(n-l)+..+an-(0)x+a,(t)x=f()(5.6)Gx(to)=n,x ()n2 .,. (n-1)(to)=nn其中a,(t)(i=1,2,.n),f(t)在a≤A≤b上连续,A。Ea,n,(i=1...n)为常数令若..,x, =("l)则有X =x,x2=x...x = x= x2x2 = x"= x3x,=x(n) =....a,(t)x, +f(t)-a,()x,-an-()x)而且, x(fo)= (to)= n1,x (o)= x (to)= n2,x,(0)= x(μ-)(to)= n :即方程(5.6)可化为-0001(5.7)0x-a,(t),-an- (t),-an-2 (t)....-a,(t)f(t)nn2x(to)==nn若(t)是(5.6)在包含t的区间a≤t≤b上的任一解,则令：[0(0)]P2(t),这里g()=y(),()=y ().,P,()= y()(t),a≤t≤bp(t) =L9,()]则(t)是(5.7)的解.显然[g,(to)]y(to)702(to)y (to)n2p(to) =mLo,(to)nnLo
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) , ( ) ' 1 ( 1) 1 ( ) 0 ( 1) 0 2 ' 0 1 x a t x a t x a t x f t x t x t ，x t n n n n n n + ++ + = = = − − − (5.6) 其中 ai (t)(i =1,2,.n), f (t)在a A b上连续，A 0 a,i (i =1,.n)为常数 若 令 , ,., , ' ( 1) 1 2 − = = = n n x x x x x x 则 有 : ( ) ( ) . ( ) ( ) . 1 1 2 1 ' ( ) 3 ' '' 2 2 ' ' 1 x x a t x a t x a t x f t x x x x x x n n n n n = = − − − + = = = = − 而且, n n n x t = x t = x t = x t = x t = x t = − ( ) ( ) , ( ) ( ) ,., ( ) ( ) 0 ( 1) 0 2 0 ' 1 0 0 1 2 0 . 即方程(5.6)可化为 0 1 0 . 0 0 = ' x 0 0 1 . 0 x + 0 (5.7) . . ( ), ( ), ( ). ( ) 1 2 1 a t a t a t a t − n − n− − n− − f(t) x(t 0 ) = n . 2 1 = 若 (t) 是(5.6)在包含 t 的区间 a t b 上的任一解,则令: t t t t t t a t b t t t t n n n = = = = − , ( ) ( ), ( ) ( ),., ( ) ( ), ( ) . ( ) ( ) ( ) ' ( 1) 1 1 2 1 这里 则 (t) 是(5.7)的解. 显然 = = = = − n n n t t t t t t t . ( ) . ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) 2 1 0 ( 1) 0 ' 0 0 2 0 1 0 0
且92(t)0T0i(t)y'(t)g;(t)000g,(t)y (t)p (t)=p(t)9,(t)001y(t)Lo,(t)(m) (t)a,(t)f(t)a.(ta,(t)a,(t)P,(t)g,(t)000Lf(t)反之，设u(t)=（u,t).u,()"是在包含的区间a≤t≤b上的(5.7)的解定义函数W(t)=u,(t),则W(t)是(5.6)的解,由u;(o)0100u,(t)000u (t)0u,(t)[u,(t)]-a,(t)a()u()f(t)知W'(t) = ui(t) = uz ()W"(t)= u, (t)= u, (0)W(n-l) = un-,(t) = u, (t)W(") (t)= u,(t)= -a, (t)u,()..-a,(t)u, (0)+ f(t) = -a,(t)W(n-) (0) -..-a, ()W(t)+ f()即w()(t)+a(t)W(n-)(t)+...+a,(t)W()= f(t)且w(to)=a,(to)= ...W(.I(t)=a,(to)=nn即初值问题(5.6)与(5.7)的解等价,即给出其中一个初值问题的解可构造另一个初值问题的解.例3:将初值问题x"+2x-8tx=e,x(0)=1,x(O)=-4化为与之等价的一价阶方程组的初值问题解:设x(t)=x,x()=x,则有x2=x=-2x+8tx+e=8tx,-2x+ex, = x2也即即有[x,=8tx,-2x, +e
且 ( ) ( ) . . . ( ) 0 0 0 . 1 . . . . . 0 0 1 . 0 0 1 0 . 0 ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) 1 1 ( 1) 1 3 2 ( ) '' ' ' ' 2 ' 1 ' t a t a t f t t t a t t t a t t t t t t t t t t t n n n n n n n − − = − − − + = = = − + ( ) 0 . 0 0 f t 反之,设 ( ) ( ( ),., ( )) (5.7) . u t = u1 t un t T 是在包含t的区间a t b上的 的解 定义函数 + − − = ( ) . 0 0 ( ) . ( ) ( ) ( ) . . . ( ) . . . . . 0 0 1 . 0 0 1 0 . 0 ( ) . ( ) ( ) 2 1 1 ' ' 2 ' 1 u t f t u t u t u t a t a t u t u t n n n 知 : ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) 1 1 1 ( ) ' ' 1 ( 1) 3 ' 2 '' 2 ' 1 ' W t u t a t u t a t u t f t a t W t a t W t f t W u t u t W t u t u t W t u t u t n n n n n n n n n = = − − + = − − − + = = = = = = − − − n n n n n n W t a t W t a t W t a t W t a t W t f t = = = = + + + = − − ( ) ( ) ,., ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) 0 0 ( 1) 0 1 0 1 ( 1) 1 ( ) 且 即 即初值问题(5.6)与(5.7)的解等价,即给出其中一个初值问题的解可构造另一个初值问题的解. 例 3:将初值问题 2 8 , (0) 1, (0) 4 '' ' ' x + x − tx = e x = x = − t 化为与之等价的一价阶方程组的 初值问题. 解:设 t t x t = x x t = x x = x = − x + tx + e = tx − x + e 1 2 '' ' 2 ' ' 1 ( ) , 2 ( ) ,则有 2 8 8 2 即有 = − + = t x tx x e x x 1 2 ' 2 2 ' 1 8 2 也即 W(t) = u1 (t),则W(t)是(5.6)的解,由
x()1x()x(0) =8t-2x ()x,(t)/2注：每一个n阶线性微分方程可化为n个一价线性微分方程组，反之却不成立[10][x如：方程组：x不能化为一个二价微分方程x.x[0 1][x2]二存在唯一性定理1.定理1如果A(t)是n*n矩阵,f(t)是n维列向量,它们都在区间a≤t≤b上连续,则对任t[a,b]及任一常向量n=(n1,72,n,)初值问题x = A(t)x+ f(t)(5.5)x(to)=n在区间a≤t≤b上存在唯一解x=p(t)该定理的证明与第三章定理1的证明完全类似都可以用PICARD逐步法分五步证明只要把定理1的绝对值设成向量的范数即可2.存在唯一性定理证明命题1,设p(t)是初值问题(5.5)定义于区间a≤t≤b上的解.则(t)是积分方程x(t)=n+["[A(s)x(s)+ f(s)ds a≤t≤b(5.8)的定义于a≤t≤b上的连续解.反之亦然证明完全类似于第三章定理1的命题.略，构造Picard选代向量函数到(o(t))Po(t)=n[0(0)=n+[4(s)-(0)+ (s)]s a≤1≤b(5.9)向量函数P()为(5.5)的第K次近似的解命题2对于所有t级数K,向量函数（t)在a≤t≤b上有定义且连续命题3向量函数列((t))在区间a≤t≤b上是一致收敛的考虑向量函数(0)+Z[e,(0)-Pj-(0)], a≤1≤b(5.10)j=l由于级数(5.10)的部分和为0(1)+Z[,(1)-,-(0)]=P()i=l
− = + − = 4 1 , (0) 0 ( ) ( ) 8 2 0 1 ( ) ( ) 2 1 ' 2 1 x x t e x t x t t x t t 注:每一个 n 阶线性微分方程可化为 n 个一价线性微分方程组,反之却不成立. 如:方程组: = = 2 ' 1 , 0 1 1 0 x x x x x 不能化为一个二价微分方程. 二 存在唯一性定理 1.定理 1 如果 A(t)是 n*n 矩阵,f(t)是 n 维列向量,它们都在区间 a t b 上连续,则对任 [ , ] t 0 a b 及任一常向量 T n ( , ,., ) = 1 2 初值问题 = = + ( ) ( ) ( ) 0 ' x t x A t x f t (5.5) 在区间 a t b 上存在唯一解 x = (t) 该定理的证明与第三章定理 1 的证明完全类似.都可以用 PICARD 逐步法分五步证明. 只要把定理 1 的绝对值设成向量的范数即可 2.存在唯一性定理证明 命题 1,设 (t) 是初值问题(5.5)定义于区间 a t b 上的解.则 (t) 是积分方程 = + + t t x t A s x s f s ds 0 ( ) ( ) ( ) ( ) a t b (5.8) 的定义于 a t b 上的连续解.反之亦然. 证明完全类似于第三章定理 1 的命题. 略. 构造 Picard 选代向量函数到 (t) = + + = − t t k t A s k t f s ds t 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 a t b (5.9) 向量函数 k (t)为(5.5)的第K次近似的解 命题 2 对于所有 t 级数 K,向量函数 (t) k 在 a t b 上有定义且连续. 命题 3 向量函数列{ (t) k }在区间 a t b 上是一致收敛的. 考虑向量函数 = + − − 1 0 1 ( ) ( ) ( ) j j j t t t , a t b (5.10) 由于级数(5.10)的部分和为 = + − − 1 0 1 ( ) ( ) ( ) j j j t t t = (t) k
因此,要证明序列(p(t))在a≤t≤b上一致收敛,只要证明(5.10)在a≤t≤b上致收敛即可.因A(t),f(t)都在a≤t≤b上连续,所以A(t)/f(t)都在a≤t≤b上有界,即有在函数L和K使得A(t)≤L,f(t)≤k,a≤t<b,a≤t≤b取M<L|n|+k,下面证明在[a,b]一致收敛由(5.9)可导出下面的Ig,(t)- P(t)<[1 A(s)po(s)+ f(s) ds≤M(t-t),t。≤t≤b102(1)-0(0)≤ j1 A(s)[0(s)-0(s)] ds ≤' LM(s-t0)dsM(t-1.)t,≤1sb-l由数学归纳法可得,对于所以不在正数K10.(0)-0()k MI-(k1-(1-1.),115bMLk-1<(s -t。)*,t。≤1≤b(5.13)k!而正级数M-1(t-t。)*发散故级数(5.10)在t。≤t≤b一致收敛L台K!故设lim()=(t)则.(t)在t≤t≤b连续命题四o(t)是微分方程(5.8)的定义区间a≤t<b的连续解证明:由p(t)=p (t)(k→0)s(a,b)对(5.9)两边取极限lim Px(t) = n + lim ['(A(s)Pk-1(s)+ f(s)ds= n+ lim A(s)Pk-I(s)+ f(s)ds即p(t)= n+ '(A(s)Pk-I(s)+ f(s)ds
因此,要证明序列{ (t) k }在 a t b 上一致收敛,只要证明(5.10)在 a t b 上致收敛即 可.因 A(t),f(t)都在 a t b 上连续,所以 A(t) , f (t) 都在 a t b 上有界,即有在函数L 和 K 使得 A(t) L, f (t) k , a t b , a t b 取 M L | n | +k,下面证明{k }在[a,b]一致收敛 由(5.9)可导出下面的 则 在 连续 故设 而正级数 发散故级数 在 一致收敛 由数学归纳法可得 对于所以不在正数 t t t b t t t t t t b k ML L M s t t t b k ML t t t t b k ML t t K t t t t b z ML t t A s s s ds LM s t ds t t A s s f s ds M t t t t b o k k o k k o k o k o k o k o k o o t t o t = − − − − = − − − − − + − → = − − − . ( ) lim ( ) ( ) ( ) . (5.10) ! ( ) , (5.13) ! ( ) , ! | ( ) ( ) | , ( ) ! | ( ) ( ) | | ( )[ ( ) ( )] | ( ) | ( ) ( ) | | ( ) ( ) ( ) | ( ), 1 1 1 1 2 1 2 0 0 0 2 1 1 0 0 0 1 0 0 命题四 (t)是微分方程(5.8)的定义区间a t b的连续解 t n A s s f s ds n A s s f s ds t n A s s f s ds t t k s a b t k k k t k k k k k ( ) ( ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim ( ) lim ( ( ) ( ) ( ) (5.9) : ( ) ( )( ) ( , ) 0 1 1 0 1 = + + = + + = + + = → − − − 即 对 两边取极限 证明 由